2024-2025学年高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学案含解析新人教A版必修3

PAGE2．2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征[目标]1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差；2.理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法；3.会应用相关学问解决简洁的统计实际问题．[重点]样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差的求解及应用．[难点]对样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差意义的理解．学问点一众数、中位数、平均数[填一填]名称定义在频率分布直方图中的估计方法众数一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数最高的矩形的中点中位数一组数据按从小到大的依次排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等平均数一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数，数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和[答一答]1．一组数据的平均数、中位数、众数唯一吗？提示：一组数据的平均数、中位数都是唯一的，众数不唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有．假如有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数．2．在一组数据中，共有10个数，其中3出现2次，9出现4次，－3出现1次，5出现3次，则这组数据的平均数为5.4.解析：3出现2次，其和为6,9出现4次，其和为36，－3出现1次，其和为－3,5出现3次，其和为15，则这10个数据之和为6＋36－3＋15＝54，则这组数据的平均数eq\x\to(x)＝eq\f(54,10)＝5.4.学问点二标准差、方差[填一填]1．标准差(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．(2)计算公式：s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).2．方差(1)定义：标准差的平方．(2)计算公式：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．[答一答]3．标准差与方差的作用是什么？提示：(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采纳标准差．4．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这个数组的标准差是1.解析：由s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\x\to(x)2，得s2＝eq\f(1,10)×100－32＝1，所以s＝1.类型一众数、中位数、平均数及应用命题视角1：众数、中位数、平均数的计算[例1]已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是()A．平均数>中位数>众数B．平均数<中位数<众数C．中位数<众数<平均数D．众数＝中位数＝平均数[解析]一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，它的平均数为eq\f(1,8)×(20＋30＋40＋50＋50＋60＋70＋80)＝50，中位数为eq\f(1,2)×(50＋50)＝50，众数为50，∴它们的大小关系是平均数＝中位数＝众数．故选D.[答案]D平均数、众数、中位数的计算方法平均数一般是依据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的依次排列，再依据各自的定义计算．[变式训练1]已知样本数据x1，x2，…，xn的均值eq\x\to(x)＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的均值为11.解析：由条件知eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝5，则所求均值eq\x\to(x)0＝eq\f(2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2xn＋1,n)＝eq\f(2x1＋x2＋…＋xn＋n,n)＝2eq\x\to(x)＋1＝2×5＋1＝11.命题视角2：直方图中众数、中位数、平均数的计算[例2]从高三抽出50名学生参与数学竞赛，由成果得到如下的频率分布直方图．试利用频率分布直方图求：(1)这50名学生成果的众数与中位数；(2)这50名学生的平均成果．[解](1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在频率分布直方图中高度最高的小长方形的中间值即为所求，所以众数应为75分．由于中位数是全部数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中全部小矩形的面积一分为二的直线所对应的成果即为所求．因为0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3.所以前三个小矩形面积的和为0.3.而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3,0.3＋0.3>0.5，所以中位数应位于第四个小矩形内．设其为x，高为0.03，所以令0.03(x－70)＝0.2，得x≈76.7(分)．(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即全部数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积求和即可．所以平均成果为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)＝73.65(分)，所以众数是75分，中位数约为76.7分，平均成果为73.65分．众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系1众数：在频率分布直方图中，众数的估计值为最高矩形的底边中点的横坐标.2中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等.3平均数：平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点横坐标之和.[变式训练2]一组数据的频率分布直方图如图所示，请你在直方图中标出这组数据的众数、中位数和平均数对应的位置(用虚线标明)，并依据直方图读出其相应的估计值．解：众数、中位数、平均数对应的位置如图中虚线所示(众数：右端虚线，中位数：左端虚线，平均数：左端虚线)．由直方图视察可得众数为2.25，中位数为2.02，平均数为2.02.命题视角3：众数、中位数、平均数的应用[例3]据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．[解](1)平均数是eq\x\to(x)＝1500＋eq\f(4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋591＝2091(元)．中位数是1500元，众数是1500元．(2)平均数是eq\x\to(x′)＝1500＋eq\f(28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋1788＝3288(元)．中位数是1500元，众数是1500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．当数据较大时，求平均数时通常先减去某一个常数如本例中可先减一个1500，而后再求较为简洁，由于平均数受极端值影响很大，故有时平均数不肯定能客观地反映总体状况，深刻理解平均数、众数、中位数的特点，结合实际状况敏捷运用.[变式训练3]高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．(1)求这次测验全班的平均分(精确到0.01分)；(2)估计全班成果在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要缘由．解：(1)利用平均数计算公式得eq\x\to(x)＝eq\f(1,48)×(82×27＋80×21)≈81.13(分)．(2)∵男同学成果的中位数是75分，∴至少有14人得分不超过75分．又女同学成果的中位数是80分，∴至少有11人得分不超过80分．所以估计全班至少有25人得分低于80分(含80分)．(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学的成果中两极分化现象严峻，分数高的和低的相差较大．类型二方差、标准差及应用命题视角1：方差、标准差的计算[例4]一组数据：10,11,12,11,14,8的方差是________，标准差是________．[解析]方法1：eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)×(10＋11＋12＋11＋14＋8)＝11，所以s2＝eq\f(1,6)×[(10－11)2＋(11－11)2＋(12－11)2＋(11－11)2＋(14－11)2＋(8－11)2]＝eq\f(1,6)×(1＋0＋1＋0＋9＋9)＝eq\f(10,3)，s＝eq\r(\f(10,3))＝eq\f(\r(30),3).方法2：由于该组数据都集中在11旁边，故每一个数据都减去11得到一组新数据：－1,0,1,0,3，－3，该组数据的方差与原数据组方差相等.eq\x\to(x)1＝0，∴s2＝eq\f(1,6)[(－1)2＋02＋12＋02＋32＋(－3)2]＝eq\f(10,3)，s＝eq\f(\r(30),3).[答案]eq\f(10,3)eq\f(\r(30),3)方法2适用于每个数据都比较接近同一个数的问题，当数据又大又多时，更能体现方法2的优越性.[变式训练4]一组数据：3,4,6,7,10，其标准差是eq\r(6).解析：∵eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(3＋4＋6＋7＋10)＝6，∴s2＝eq\f(1,5)×[(3－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(10－6)2]＝eq\f(1,5)×(9＋4＋0＋1＋16)＝6.∴s＝eq\r(6).命题视角2：方差、标准差的实际应用[例5]甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)依据计算结果推断哪台机床加工零件的质量更稳定．[分析]先计算平均数和方差，再由方差大小推断质量稳定状况．[解](1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同．又seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，所以乙机床加工零件的质量更稳定．用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似.实际应用中，当所得数据的平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差方差分析稳定状况.[变式训练5]某工厂甲、乙两名工人参与操作技能培训，他们在培训期间参与的8次测试成果记录如下：甲9582888193798478乙8392809590808575试比较哪个工人的成果较好．解：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,8)(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,8)(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.∵eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，∴甲的成果较稳定．综上可知，甲的成果较好．1．下列各数字特征中，能反映一组数据离散程度的是(C)A．众数 B．平均数C．标准差 D．中位数解析：反映数据离散程度的量是方差和标准差．故选C.2．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(D)A．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a解析：众数c＝17，中位数b＝15，平均数a＝14.7，即a<b<c.故选D.3．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(D)A．众数 B．平均数C．中位数 D．标准差解析：依据标准差的性质，易知答案为D.4．甲、乙两种水稻，经统计甲水稻的株高方差是2.0，乙水稻的株高标准差是1.8，可估计甲水稻比乙水稻长得整齐．解析：因方差、标准差都衡量数据的波动性，2<(1.8)2.5.某市有210名初中生参与数学竞赛预赛，随机调阅了60名学生的答卷，成果如