湖北省武汉市武珞路中学2020-2021学年8下期中试卷（解析版）

2020-2021学年度八年级下学期期中测试数学试卷（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.要使二次根式有意义，实数x的取值范围是（）A.x≥2021 B.x＞2021 C.x≠2021 D.x≤2021【答案】A【解析】【分析】二次根式根号下的数大于等于零即可求解．【详解】解：有意义，可列，解得，故选A．【点睛】本题考查了二次根式以及一元一次不等式的解法，掌握二次根式根号下数的取值范围与一元一次不等式解法即可解题．2.下列各式中属于最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】解：A、，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；B、，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；C、不能化简，是最简二次根式，符合题意；D、，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．3.下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．【详解】解：A、无法计算，故此选项错误；B、无法计算，故此选项错误；C、，故此选项正确；D、，故此选项错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．4.在式子5，，a，，，中，属于代数式的有（）个A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或者一个字母也是代数式．依此对每个选项分别进行分析，即可得出答案．【详解】解：5，a，，是代数式，x=2是等式，不是代数式，m+n＞0是不等式，不是代数式．故选：B．【点睛】此题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的定义，注意等式、不等式与代数式的区别．5.下列各组数中，是勾股数的是（）A.9，16，25 B.1，1， C.1，，2 D.8，15，17【答案】D【解析】分析】利用勾股数定义进行分析即可．【详解】解：A、92+162≠252，不是勾股数，故此选项不合题意；B、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；C、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；D、82+152=172，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．6.已知平行四边形ABCD中，∠A比∠B小40°，那么∠C的度数是（）A.40° B.70° C.110° D.140°【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形邻角互补，对角相等的性质，通过角的等量代换运算即可．【详解】解：∵是平行四边形∴又∵∴∴∴故答案选：【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟悉掌握平行四边形的性质是解题的关键．7.下列各命题的逆命题不成立的是（）A.同旁内角互补，两直线平行 B.如果两个角是直角，那么它们相等C.全等三角形的对应边相等 D.如果两个实数相等，那么它们的立方相等【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质、全等三角形的判定定理、实数的立方的概念判断即可．【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立，不符合题意；B、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，不成立，符合题意；C、全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，成立，不符合题意；D、如果两个实数相等，那么它们的立方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，成立，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，掌握平行线的性质、全等三角形的判定定理、实数的立方的概念是解题的关键．8.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是（）A.当AC⊥BD时，四边形EFGH是菱形B.当AC=BD时，四边形EFGH是矩形C.当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH是正方形D.以上说法都不对【答案】C【解析】【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边形，根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【详解】解：∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，EH∥BD，EH=BD，∴EF∥GH，EF=GH，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC⊥BD时，EF⊥EH，∴四边形EFGH为矩形，A选项说法错误；当AC=BD时，EH=EF，∴四边形EFGH为菱形，B选项说法错误；当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH，∴四边形EFGH为正方形，C选项说法正确；D选项说法错误；故选：C．【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、正方形、矩形、菱形的判定定理是解题的关键．9.如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB，线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因为题目没有确定正方形EFGH的位置，所以我们可以将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，重新作出图形，这样有利于我们解题，过点M作MO⊥ED与O，则可得出OM是梯形FEDC的中位线，从而可求出ON、OM，然后在Rt△MON中利用勾股定理可求出MN．【详解】解：将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MO⊥ED与O，则MO是梯形FEDC的中位线，如图：∴EO=OD=4，MO=（EF+CD）=4，∵点N、M分别是AD、FC的中点，∴AN=ND=3，∴ON=OD-ND=4-3=1．在Rt△MON中，MN2=MO2+ON2，即MN=，故选：C．【点睛】本题考查了梯形的中位线定理、正方形的性质及勾股定理的知识，属于综合性题目，对待这样既有动态因素又不确定位置的题目，一定要将位置特殊化，这样不影响结果且解题过程简单，同学们要学会在以后的解题中利用这种思想．10.如图，图①是一张由三个边长为1的校正方形组成的“L”形纸片，图②是一张的方格纸（的方格纸指边长分别为a，b的长方形，被分成个边长为1的小正方形，其中且a，b为正整数），把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有（）种不同的放置方法A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．【详解】解：把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，如图，显然有4种不同的放置方法．把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，如图，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有8种不同的放置方法．把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到（a-1）个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a-1）种不同的放置方法．把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，如图，在a×3的方格纸中，共可以找到2（a-1）个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有8（a-1）种不同的放置方法．…，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a-1）（b-1）种不同的放置方法．故选：C．【点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11.已知，则的近似值为___________．（结果保留小数点后两位）【答案】【解析】【分析】将化为，结合的近似值可求解．【详解】解：，，故答案为．【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，将化为，再代入计算是解题的关键．12.在实数范围内分解因式_____________．【答案】【解析】【分析】原式提取，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：原式故答案为：．【点睛】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，则边AB的长是___________．【答案】【解析】【分析】根据勾股定理求出AB即可．【详解】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=5，∴AB=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．14.如图四边形ABCD是菱形，点M、N分别在AB、AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB，点F、G分别在BC、CD上，MG与NF相交于点E，若∠A=120°，AB=a（），AB︰MB=3︰1，则四边形CFEG的面积是______________．（用含a的式子表示）【答案】【解析】【分析】先证四边形CFEG是菱形，由面积关系可求解．【详解】解：如图，连接CE，AE，∵四边形ABCD是菱形，∠A=120°，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=BC=a，∠B=60°，∵MG∥AD，NF∥AB，∴AB∥FN∥CD，MG∥BC∥AD，∠B=∠EFC=60°，∴四边形EFCG是平行四边形，四边形BMGC是平行四边形，四边形DNFC是平行四边形，∴DN=FC，BM=CG，∴CG=CF，∴四边形CFEG是菱形，∴EF=FC，∴△EFC是等边三角形，∵AB：MB=3：1，∴EF=a，∴四边形CFEG的面积=2S△EFC==，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定，证明四边形CFEG是菱形是本题的关键．15.若正方形ABCD的边长为12，E为BC边上一点，BE=5，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为________．【答案】或【解析】【分析】利用勾股定理列式求出，再分①点在上时，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再求出，利用三角形的面积列式求解即可得到的长；②点在上时，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，连接，可得四边形是矩形，再根据矩形的对角线相等且互相平分解答．【详解】解：如图，正方形的边长为12，，，①点在上时，如图1，

在和中，，，，，，，，，解得；②点在上时，如图2，

在和中，，，，连接，则四边形是矩形，，综上所述，的长为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．16.如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝2，BD•DC＝2，则AC＝_____．【答案】＋1【解析】【分析】作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质得出BE＝CE．再利用勾股定理得到AB2＝AE2＋BE2，AD2＝AE2＋DE2，将两式相减整理得出AB2＝AD2＋BD•DC，进而求出AC．【详解】解：如图，作AE⊥BC于E，又∵AB＝AC，∴BE＝CE．根据勾股定理得，AB2＝AE2＋BE2，AD2＝AE2＋DE2，两式相减得，AB2﹣AD2＝（AE2＋BE2）﹣（AE2＋DE2）＝BE2﹣DE2＝（BE＋DE）（BE﹣DE）＝BD•DC，∴AB2＝AD2＋BD•DC＝22＋2＝4＋2，∴AC＝AB＝＝＋1.故答案为：＋1.【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了等腰三角形的性质，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17.计算：（1）；（2）．【答案】（1）0；（2）【解析】【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．【详解】解：（1）原式；（2）原式．【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18.已知：x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值．（1）x2+2xy+y2；（2）x2﹣y2．【答案】（1）12；（2）4【解析】【分析】（1）先利用完全平方公式因式分解，然后代入，即可求解；（2）利用平方差公式因式分解，然后代入，即可求解．【详解】解：（1）当x＝+1，y＝﹣1时，原式＝（x+y）2＝（+1+﹣1）2＝12；（2）当x＝+1，y＝﹣1时，原式＝（x+y）（x﹣y）＝（+1+﹣1）（+1﹣+1）＝4．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，多项式因式分解——公式法，理解利用因式分解可以简化多项式混合运算是解题的关键．19.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺，1尺=米），这段话翻译城现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是多少米？请你用所学知识解答这个问题．【答案】4米【解析】【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：设水池里水的深度是x尺，由题意得，x2+52=（x+1）2，解得：x=12，米答：水池里水的深度是4米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键．20.已知实数a，b满足（1）请在数轴上画处a，b所有可能的位置，每种情况画一个图；（2）网格图中，小正方形的顶点叫格点，顶点都在格点上的图形叫格点图形：如图的网格中，小正方形的边长都为1，若，□ABCD是格点四边形，其边长AB=a，AD=2a，对角线AC=，请在网格中画出□ABCD；（3）在□ABCD内有一点O，经过点O的直线将□ABCD的面积平分，请画出点O．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）分别讨论b＞0，b＜0，b=0三种情况．（2）通过勾股定理，即可画出平行四边形的各边．（3）通过画平行四边形的对角线，即可得到点O.【详解】解：（1）b＞0时，b=a，如图，b=0时，b=a=0，如图，b＜0时，a，b互为相反数，如图，（2）∵a=，∴AB=a=，AD=2a=，AC=a=5；（3）▱ABCD为中心对称图形，经过对角线交点的直线把▱ABCD面积平分，如图，点O即为所求．【点睛】本题考查数轴与网格的作图题，平行四边形的性质，解题关键是掌握网格的结构特征以及勾股定理，第（1）题注意分类讨论．21.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t，（1）当t=_________时，PQ⊥BC；（2）当PQ=CD时，求t的值．【答案】（1）；（2）6s或7s【解析】【分析】（1）四边形ABQP是矩形，求出AP、BQ的长，即可解决问题．（2）根据PQ=CD，一种情况是：四边形PQCD为平行四边形，可得方程24-t=3t，一种情况是：四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，即3t=（24-t）+4时，解此方程即可求得答案．【详解】解：（1）当PQ⊥BC时，四边形ABQP矩形，∴AP=BQ，设运动时间为t，则AP=t，BQ=26-3t，26-3t=t，解得：t=，故答案为：；（2）若PQ=CD，分为两种情况：①当四边形PQCD为平行四边形时，即PD=CQ，24-t=3t，解得：t=6，②当四边形PQCD为等腰梯形时，即CQ=PD+2（BC-AD），3t=24-t+4，解得：t=7，综上：当t=6s或t=7s时，PQ=CD．【点睛】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．22.已知△ABC为锐角三角形，AB=AC，点E、F分别在AB、AC上，且AE=CF，（1）如图①，点E、F分别是AB、AC的中点时，请直接写出线段EF与BC的关系________；（2）如图②，当点E与点B重合，点F与点A重合时，线段EF与的大小关系是_________（直接写出即可）；（3）如图③，E、F均不为中点时，猜想EF与之间的大小关系，并证明．【答案】（1）EF∥BC，EF=BC；（2）EF＞BC；（3）EF＞BC，证明见解析【解析】【分析】（1）利用三角形的三边关系可直接求解；（2）由三角形的三边关系可求解；（3）分别过C点，E点作EF，AC的平行线，两线交于D点，连接BD，AD，将EF转移至CD，通过证明△ABD≌△ACD可得BD=CD，结合三角形的三边关系可求解．【详解】解：（1）∵点E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC中位线，∴EF∥BC，EF=BC，故答案为EF∥BC，EF=BC；（2）∵AB+AC＞BC，AC=AB=EF，∴2EF＞BC，即EF＞BC，故答案为EF＞BC；（3）EF＞BC，证明：分别过C点，E点作EF，AC平行线，两线交于D点，连接BD，AD，则四边形CDEF为平行四边形，∴EF=CD，ED=CF，∵AE=CF，∴ED=AE，∴∠EAD=∠EDA，∵ED∥AC，∴∠EDA=∠DAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴BD=CD，∵BD+CD＞BC，∴2EF＞BC，即EF＞BC．【点睛】本题主要考查三角形的中位线，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，灵活运用三角形的三边关系是解题的关键．23.△ABD、△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形（1）如图①，当时，四边形PEDC为____________________；（2）猜想：当△PAB满足相应的条件：①PA=PB；②∠APB=150°其中的一个或两个时，顺次连接P、E、D、C四点所构成的四边形是特殊四边形，选择其中的一种情况加以证明：当满足条件__________时，构成的四边形为___________，请写出证明过程；（3）如图②，△APB中，AB=2，∠APB=90°，请直接写出四边形PEDC面积的最大值______．【答案】（1）见解析；（2）①或②或①②，菱形或矩形或正方形．（3）1【解析】【分析】（1）证明DE=PC，PE=CD即可．（2）有三种情形：选①PA=PB，为菱形．选②∠APB=150°，为矩形．选①PA=PB，②∠APB=150°，为正方形．根据菱形，矩形，正方形的判定解决问题即可．（3）过P作PG⊥AB于G，过P作PH⊥AE，交AE于H，依据ED=CP，EP=DC，即可得出四边形PCDE是平行四边形，依据∠EPH=30°，即可得出EH=EP=AP，进而得到S平行四边形CDEP=EP×CP=AP×BP=S△ABP，以AB为直径作圆，当PG最大时，S△ABP的面积最大，进而得出四边形PCDE面积的最大值是1．【详解】解：（1）∵△AEP，△DAB是等边三角形，∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，∴∠EAD=∠PAB，∴△EAD≌△PAB（SAS），∴DE=BP，∴PC=PB，∴DE=PC，同法可证PE=CD，∴四边形PEDC是平行四边形．故答案为：平行四边形；（2）有三种情形：选①PA=PB，为菱形．选②∠APB=150°，为矩形．选①PA=PB，②∠APB=150°，为正方形．理由：当PA=PB时，∵PE=PA，PC=PB，∴PE=PC，∵四边形PEDC是平行四边形，∴四边形PEDC是菱形．当∠APB=150°时，∵∠APE=∠BPC=60°，∴∠EPC=360°-60°-60°-150°=90°，∵四边形PEDC是平行四边形，∴四边形PEDC是矩形．当PA=PB，∠APB=150°，∵四边形PEDC既菱形，又是矩形，∴四边形PEDC是正方形．故答案为：①或②或①②，菱形或矩形或正方形．（3）如图所示，过P作PG⊥AB于G，过P作PH⊥AE，交AE于H，∵∠APE=∠BPC=60°，∠APB=90°，∴∠EPC=150°，∵△APE是正三角形，PH⊥AE，∴∠APH=∠EPH=30°，∴∠CPH=180°，即点C、P、H在一条直线上，在正△ABD、正△APE和正△BPC，∴AE=AP，AD=AB，BP=CP，∠EAP=∠DAB=60°=∠CPB，∴∠DAE=∠BAP，∴△AED≌△APB（SAS），∴ED=BP，∴ED=CP，同理可得EP=DC，∴四边形PCDE是平行四边形，∵∠EPH=30°，∴EH=EP=AP，∴S平行四边形CDEP=EH×CP=AP×BP=S△ABP，∵AB=2，∠APB=90°，∴以AB为直径作圆，当PG最大时，S△ABP的面积最大，此时GP为半径，∴S△ABP=×2×1=1，∴四边形PCDE面积的最大值是1．故答案为：1．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会作辅助线构造平行四边形的高线解决问题，属于中考压轴题．24.将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为（0，a），点E的坐标为（b，0），并且实数a，b使式子成立，（1）直接写出点D、E的坐标；（2）∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，①如图①，求证AE=EF；②如图②，连接AF交DC于点G，作GM∥AD交AE于点M，作EN∥AB交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积；（3）如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且AP=CQ，请直接写出的最小值_____________________．【答案】（1）（6，6），（3，0）；（2）①见解析；②；（3）【解析】【分析】（1）由算术平方根的意义可得出a=6，b=3，则可得出答案；（2）①取OA的中点K，连接KE，证明△AKE≌△ECF（ASA），由全等三角形的性质可得出AE=EF；②延长CD，并在延长线上截取DH=OE，连接AH，证明△AOE≌△ADH（SAS），由全等三角形的性质得出∠OAE=∠DAH，AE=AH，∠AEO=∠AHD，证明△AEG≌△AHG（SAS），得出EN=EG，同理可得GM=GE，设DG