重难点突破：专题05 勾股定理的逆定理（解析版）

专题05勾股定理的逆定理重点勾股定理的逆定理及其实际应用难点勾股定理逆定理的证明易错运用勾股定理的逆定理时，错认最长边一、互逆命题与互逆定理1．判断一个命题是真命题需要推理证明，判断一个命题是假命题只需举出一个反例即可；2．正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分命题的题设和结论．【例1】下列定理中，没有逆定理的是（

）．A．两直线平行，同旁内角互补B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等C．等腰三角形两个底角相等D．同角的余角相等【答案】D【解析】解：A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故本选项不符合题意；B、逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，故本选项不符合题意；C、逆命题是：如果三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题，故本选项不符合题意；D、逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，是假命题，故本选项符合题意．故选：D．【例2】下列命题的逆命题是假命题的是（）A．同旁内角互补，两直线平行B．对于有理数a，如果3a＞0，那么a＞0C．有两个内角互余的三角形是直角三角形D．在任何一个直角三角形中，都没有钝角【答案】D【解析】解：A、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意；B、对于有理数a，如果3a＞0，那么a＞0的逆命题为：对于有理数a，如果a＞0，则3a＞0，是真命题，不符合题意；C、有两个内角互余的三角形是直角三角形的逆命题为：直角三角形有两个内角互余的，是真命题，不符合题意；D、在任何一个直角三角形中，都没有钝角的逆命题为：没有钝角的三角形是直角三角形，是假命题，符合题意；故选D．二、勾股定理的逆定理勾股定理与其逆定理的区别：（1）勾股定理和勾股定理的逆定理的题设和结论相反；（2）勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定．【例3】如果的三边分别为，且满足，则的面积为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解析】解：，，，，又，，为直角三角形，，故选：A．【例4】如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，6，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．2，4，6 B．2，3，5 C．3，3，6 D．2，2，4【答案】C【解析】解：当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是；当选取的三块纸片的面积分别是2，4，6时，围成的直角三角形的面积是；当选取的三块纸片的面积分别是3，3，6时，围成的三角形面积是；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是，∵，因为当选取2，3，4；2，3，6；3，4，5；4，5，6；四种情况时，都不能构成直角三角形，∴要使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是3，3，6．故选：C．三、勾股数一组数是勾股数必须同时满足两个条件：（1）这三个数都是正整数；（2）两个较小数的平方和等于最大数的平方，这两个条件缺一不可．【例5】下列各组数是勾股数的是（

）A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，7，8【答案】B【解析】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不是勾股数；B、32+42=52，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；C、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不是勾股数；D、62+72≠82，不能构成直角三角形，故不是勾股数．故选：B．【例6】下列各组数中，不是勾股数的是(

)A．1，2，3 B．8，15，17 C．7，24，25 D．9，12，15【答案】A【解析】A、12+22≠32，不能构成勾股数，故选项符合题意；B、82+152=172，能构成勾股数，故选项不符合题意；C、72+242=252，能构成勾股数，故选项不符合题意；D、92+122=152，能构成勾股数，故选项不符合题意．故选：A．一、单选题1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1，2， B．5，4，3 C．17，8，15 D．2，3，4【答案】D【解析】解：A、∵12+（）2=22，故是直角三角形，不符合题意；B、32+42=52，故是直角三角形，不符合题意；C、82+152=172，故是直角三角形，不符合题意；D、22+32≠42，故不是直角三角形，符合题意；故选：D．2．如图，在4×4的正方形网格中（每个小正方形边长均为1），点A，B，C在格点上，连接AB，AC，BC，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定【答案】B【解析】解：由题意得：，，，∵，∴，∴∠BAC＝90°，∴为直角三角形．故选：B．3．下列不能判定△ABC是直角三角形的是（

）A．a2＋b2－c2＝0 B．a∶b∶c＝3∶4∶5C．∠A∶∠B∶∠C＝3：4∶5 D．∠A＋∠B＝∠C【答案】C【解析】解：A.由，可得，故是直角三角形，不符合题意；B.可设，，，则，能构成直角三角形，不符合题意；C.，所以∠C最大，，故不是直角三角形，符合题意；D.，，故是直角三角形，不符合题意．故选：C．4．在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（

）A．a=6，b=8，c=10 B．a=4，b=5，c=6C．a=1，b=，c=2 D．a=8，b=15，c=17【答案】B【解析】解：A、，故能构成直角三角形，不符合题意；B、42+52≠62，故不能构成直角三角形，符合题意；C、，故能构成直角三角形，不符合题意；D、，故能构成直角三角形，不符合题意；故选：B5．在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：A、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；B、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；C、三边长分别为，由，故该三角形是直角三角形；D、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；故选：C．6．如图，在四边形中，，，，，．则的大小为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，连接AC，∵，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2===8∵，AD2+AC2=8+1=9而CD2=32=9∴AD2+AC2=CD2∴∠CAD=90°，∠D+∠ACD=90°∵，∴∠BAC=∠ACB=45°∵∴∠ACD=90°-∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=45°+（90°-）=135°-α故选D二、填空题7．已知△ABC中，AB=5，BC=8，BC边上的中线AD=3，则AC=__________________．【答案】【解析】解：如图，BC=8，BC边上的中线AD=3，故答案为：58．如图，在△ABC中，AB=10cm，AC=6cm，BC=8cm，若将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合，则△AEB的面积为_____cm2．【答案】15【解析】解：∵AC2+BC2=82+62=100cm2，AB2=100cm2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．由翻折不变性可知：EC=DE，AC=AD=6cm，∠ADE=∠C=∠BDE=90°，设EC=DE=x，在Rt△BDE中，∵DE2+BD2=BE2，∴x2+42=(8-x)2，解得．∴DE=3，∴S△ABE=×AB×DE=×10=cm2．故答案为15．三、解答题9．如图，△ABC的顶点在正方形网格中的格点上，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解决下列问题．(1)△ABC的面积为；(2)判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】(1)5(2)△ABC是直角三角形．理由见解析【解析】(1)解：S△ABC=4×4−×1×2−×2×4−×4×3=5，故答案为：5；(2)解：由勾股定理得：AB==，AC==，BC==5，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形．10．如图，连接四边形的对角线，已知，，，，．(1)求证：是直角三角形；(2)求四边形的面积．【答案】(1)证明见详解（1）(2)【解析】(1)解：∴△ABC是直角三角形，由勾股定理得：AC2=AB2＋BC2；∴AC==2，AD2=8，CD2=4，AC2=4，AD2=AC2＋CD2,∴△ACD是直角三角形；(2)解：SABCD=S△ABC＋S△ACD，S△ABC==，S△ACD=，∴SABCD=，答：四边形的面积是：．一、单选题1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（

）A． B．∠A+∠B=∠CC．∠A：∠B：∠C=3：2：1 D．【答案】D【解析】∵∴，∴能围成直角三角形，A不符合题意；∵∠A：∠B：∠C=3：2：1，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=×180°=90°，，∴能围成直角三角形，C不符合题意；∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，，∴能围成直角三角形，B不符合题意；∵∴，∴不能围成直角三角形，D符合题意；故选D．2．有五根小木棒，其长度分别为7，15，24，25，现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：∵72=49，242=576，202=400，152=225，252=625，∴72+242=252，152+202≠242，152+202=252，∴A错误，B错误，C错误，D正确．故选：D．3．已知的三边分别为a、b、c，且，则的面积为（

）A．30 B．60 C．65 D．无法计算【答案】A【解析】∵的三边分别为a、b、c，且∴∴∴∴△ABC是直角三角形，且边c的对角∠C=90°，∴故选：A．4．下列条件：（1）∠A＝90°﹣∠B，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝2∠B＝3∠C，④AB：BC：AC＝3：4：5，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】解：①∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，∴3x+4x+5x＝180，解得：x＝15°，∴∠C＝15°×5＝75°，∴△ABC不是直角三角形；③∵∠A＝2∠B＝3∠C，∴∴，∴∠A＝（）°，∴△ABC为钝角三角形；④∵AB：BC：AC＝3：4：5，设AB＝3k，则BC＝4k，AC＝5k，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形；∴能确定△ABC是直角三角形的条件有①④共2个，故选：B．5．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（）A． B．2 C． D．3【答案】B【解析】解：由勾股定理得：AB，AC，BC，∵AB2+AC2＝25，BC2＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴S△ABC，∴，∴AD＝2，故选：B．6．如图，在三角形，，，是上中点，是射线上一点．是上一点，连接，，，点在上，连接，，，，则的长为（

）A． B．8 C． D．9【答案】D【解析】解：延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，∵在三角形，，，∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∵BF=FE，∴∠FBE=∠FEB，设∠BFE=x，则，∵H是BC上中点，F是射线AH上一点，∴AH⊥BC，∴AH是线段BC的垂直平分线，∠FAC=45°，∴CB=FC=FE，∴∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC∴，∴，∴，∴，∴，∴，设，∵AG=AK，AB=AC，∠KAC=∠GAB=90°，∴△ABG≌△ACK（SAS），，，∴，∴∠ECK=∠K，∴EK=EC，∵，∴，∴，故选D．二、填空题7．如图，在四边形ABCD中，，，，．则的度数为_______．【答案】150°【解析】解：连接BD，∵AB=AD=6，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=6，∠ADB=60°，∵BC=10，CD=8，则BD2+CD2=82+62=100，BC2=102=100，∴BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=150°故答案为：150°8．如图，在四边形ABCD中，，，，，现给出以下结论：①△ABC可能是等腰三角形，②△BCD可能是等腰三角形，③△ACD可能是直角三角形，④线段AC，BD不可能互相垂直．其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号）【答案】①④【解析】解：①在△ABC中，由AB=1，BC=9得：8<AC<10，在△ADC中，由AD=6，CD=8得：2<AC<14，∴8<AC<10，当AC=9时，AC=BC，△ABC是等腰三角形，故①正确；②在△ABD中，由AB=1，AD=6得：5<BD<7，在△BCD中，由BC=9，CD=8得：1<BD<17，∴5<BD<7，∴BD≠CD，BD≠BC，△BCD不可能为等腰三角形，故②错误；③∵8<AC<10，AD=6，CD=8，∴AC＞CD＞AD，∴∠DAC≠90°，∠ACD≠90°，当∠ADC=90°时，由AD2+CD2=AC2得AC=10，但AC<10，∴∠ADC≠90°，∴△ACD不可能为直角三角形，故③错误；④如果线段AC、BD互相垂直，设交点为O，根据勾股定理，由OA2+OB2=AB2，OD2+OC2=CD2，得OA2+OB2+OC2+OB2=AB2+CD2=1+64=65，由OC2+OB2=BC2，OA2+OD2=AD2，得OA2+OD2+OC2+OB2=AD2+BC2=36+81=117，∵65≠117，∴线段AC、BD不可能互相垂直，故④正确，综上，正确的是①④，故答案为：①④．三、解答题9．伊通河，是长春平原上的千年古流，是松花江的二级支流，它发源于吉林省伊通县境内哈达岭山脉青顶山北麓，如图，在伊通河笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个景点、其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H（、、三点在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．(1)判断的形状，并说明理由；(2)求原路线的长．【答案】(1)是直角三角形，理由见解析(2)原来的路线的长为千米【解析】(1)是直角三角形，理由是：在中，∵，∴∴是直角三角形且；(2)设千米，则千米，在中，由已知得，由勾股定理得：，∴解这个方程，得，答：原来的路线的长为千米．10．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC边上一动点，且不与点A、点C重合