重难点突破：专题11 数据的波动程度（解析版）

专题11数据的波动程度重点理解极差和方差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征难点掌握极差与方差的计算，体会用样本方差估计总体方差的思想易错极差与方差概念混淆导致计算错误极差和方差【例1】某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝39．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩与该班39人的测试成绩相比，下列说法正确的是（）A．平均分不变，方差变小 B．平均分不变，方差变大C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变【答案】A【解析】解：小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，该班40人的测试成绩的平均分为90分不变，根据方差的计算公式，，，可得方差变小了，故选：A．【例2】甲、乙两人一周中每天制作工艺品的数量如图所示，则对甲、乙两人每天制作工艺品数量描述正确的是（

）A．甲比乙稳定 B．乙比甲稳定C．甲与乙一样稳定 D．无法确定【答案】C【解析】解：由折线统计图知，甲5天制作的个数分别为15、20、15、25、20，乙5天制作的个数分别为10、15、10、20、15，∴甲从周一至周五每天制作的个数分别比乙每天制作的个数多5个，∴甲、乙制作的个数稳定性一样，故选：C．【例3】甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲771.2乙784.2（1）写出表格中，的值；（2）从方差的角度看，若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？并说明理．【答案】（1）7，7.5；（2）甲，理由略．【解析】解：∵甲队员的射击成绩为：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,∴甲队员的射击成绩平均数为：a=(5+6×2+7×4+8×2+9)÷10=7∵乙队员的射击成绩为：3，6，4，8，7，8，7，8，10，9，从小数到大数依次排列为：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，∴乙队员射击成绩的中位数为：b=7.5∴a=7，b=7.5（2）从方差的角度看，选派甲队员去参赛，理由是：从表中可知：S甲2=1.2，S乙2=4.2，∴S甲2＜S乙2∴甲队员的射击成绩较稳定，∴选甲队员去参赛【例4】一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩有如下信息：ABCDE平均分方差数学71726968702英语888294857685（1）求这5位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差．（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？【答案】（1）70，36（2）A同学在本次考试中，数学学科考得更好【解析】（1）数学成绩的平均分为：；英语成绩的标准差为：[（88﹣85）2+（82﹣85）2+（94﹣85）2+（85﹣85）2+（76﹣85）2]=36；故答案为70，36；（2）A同学数学标准分为：=，A同学英语标准分为：=，因为＞，所以，A同学在本次考试中，数学学科考得更好．一、单选题1．甲、乙、两、丁四人各进行20次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【解析】解：∵∴乙的成绩更稳定故选B．2．在方差计算公式s2[（x1﹣15）2+（x2﹣15）2+…+（x20﹣15）2]中，可以看出15表示这组数据的（

）A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差【答案】B【解析】解：在方差计算公式s2=[（x1-15）2+（x2-15）2+…+（x20-15）2]中，数15表示这组数据的平均数；故选：B．3．一组数据3、4、4、5，若添加一个数4后得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会发生变化的是（）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差【答案】D【解析】解：原数据3，4，4，5的平均数为，中位数为4，众数为4，方差为，新数据3，4，4，4，5的平均数为，中位数为4，众数为4，方差为，综合可得：平均数、中位数、众数均未发生变化，方差发生变化，故选：D．4．为了保护环境，加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池活动，随机抽取其中40名学生进行调查，这40名学生收集的废旧电池数量统计如下：废旧电池数（节）2030405060人数（人）8111065对这组数据描述正确的是（）A．众数是30 B．平均数是60 C．中位数是20 D．方差是0【答案】A【解析】解：这组数据的众数为30，故A选项正确；平均数为＝37.25，故B选项错误；中位数为，故选项C错误；方差为×[（20−37.25）2×8＋（30−37.25）2×11＋（40−37.25）2×10＋（50−37.25）2×6＋（60−37.25）2×5]＝164.9375，故选项D错误；故选：A．5．若样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为4，则对于样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，…，xn﹣3，下列结论正确的是（）A．平均数为10，方差为2 B．众数不变，方差为4C．平均数为7，方差为2 D．中位数变小，方差不变【答案】D【解析】解：∵样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为4，∴样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，…，xn﹣3的平均数为10-3=7，方差不变为4，众数和中位数变小．故选：D．6．王大伯前几年承包了甲、乙两片荒山，各栽种了100棵杨梅树，成活98%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了四棵杨梅树上的杨梅，每棵的产量如图所示，由统计图提供的信息可知，杨梅产量较稳定的是（

）A．甲山 B．乙山 C．一样 D．无法确定【答案】B【解析】解：根据题意得：甲山四颗杨梅产量的平均数为：千克，乙山四颗杨梅产量的平均数为：千克，∴，，∴，∴乙山上的杨梅产量较稳定．故选：B二、填空题7．如表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近五次数学考试成绩的平均分（单位：分）与方差：甲乙丙丁平均分93969693方差5.14.91.21.0要推荐一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学竞赛，应该选择__（填甲、乙、丙、丁中一个即可）．【答案】丙【解析】解：首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加竞赛．甲和丁的平均数较小，从乙和丙中选择一人参加竞赛，丙的方差较小，选择丙竞赛．故答案为：丙．8．一组数据21，22，23，24，25，用符号A表示，记为，加入一个数据a后，用符号B表示，记为．①若，则A的平均数大于B的平均数；②若，则A的方差等于B的方差；③若，则A的中位数小于B的中位数．其中正确的序号是______．【答案】①③【解析】解：①若a=22，则A的平均数为=23，B的平均数，∴A的平均数大于B的平均数，正确；②若a=23，则A的平均数为=23，A的方差：×[（23-21）2+（23-22）2+（23-23）2+（23-24）2+（23-25）2]=2，B的平均数，B的方差：×[（23-21）2+（23-22）2+（23-23）2+（23-24）2+（23-25）2+（23-23）2]=，∴A的方差不等于B的方差，错误；③若a=24，则A的中位数为23，B的中位数=23.5．∴A的中位数小于B的中位数，正确．故答案为：①③．三、解答题9．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同的条件下各射击10次，射击的成绩如图所示．根据图中信息，解答下列问题：(1)算出甲射击成绩的平均数；(2)经计算，乙射击成绩的平均数为8，甲射击成绩的方差为1.6，请你计算出乙射击成绩的方差，并判断谁的射击成绩更加稳定．【答案】(1)8(2)1.2，乙的射击成绩更稳定【解析】(1)解：(2)∵

；∴乙的射击成绩更稳定．10．甲、乙两校各有5名学生参加区教育局举办的青少年党史知识竞赛，成绩如下表：甲校选手得分9791809181乙校选手得分7692948692(1)对甲、乙两校参赛学生的成绩进行评价；(2)如果各校从他们参赛的5名学生中派出前3名参加下一轮的决赛，你认为哪个学校的选手实力更强一些？说说你的理由．【答案】(1)甲、乙两校的平均分相等，甲校的方差小于乙校的方差，因此甲校学生的成绩较稳定，成绩较好(2)甲校的平均分高于乙校，因此甲校的选手实力更强些【解析】(1)解：由表中数据可知，甲校的平均分是=88（分），众数是91，中位数是91，方差是×[（88-97）2+（88-91）2+（88-80）2+（88-91）2+（88-81）2]=42.4；乙校的平均分是=88（分），众数是92，中位数是92，方差是×[（88-76）2+（88-92）2+（88-94）2+（88-86）2+（88-92）2]=43.2．甲、乙两校的平均分相等，甲校的方差小于乙校的方差，因此甲校学生的成绩较稳定，成绩较好；(2)甲校派出选手的成绩为91、91、97，平均分是，乙校派出选手的成绩为92、92、94，平均分是，甲校的平均分高于乙校，因此甲校的选手实力更强些．一、单选题1．某社区计划组织以“全民健身，‘毽’步如飞”为主题的踢毽子比赛活动，为了了解参赛成

员踢毽子水平及稳定程度，在比赛前期甲、乙、丙、丁四名参赛成员分别记录了自己在规定时间内5次踢毽子的数量，并计算出了各自的平均个数及方差S2，如下表所示：甲乙丙丁9010395108S212根据参赛成员踢毽子的平均数量及稳定程度，你认为哪位参赛成员获胜的可能性大（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【解析】∵＜＜12，∴乙、丁最稳定；∵103＜108，∴丁获胜的可能性大，故选D．2．下列命题正确的是（）A．数轴上的每一个点都表示一个有理数B．甲、乙两人五次考试平均成绩相同，且S甲2＝0.9，S乙2＝1.2，则乙的成绩更稳定C．三角形的一个外角大于任意一个内角D．在平面直角坐标系中，点（4，﹣2）与点（4，2）关于x轴对称【答案】D【解析】解：A．数轴上的每一个点都表示一个实数，所以A选项不符合题意；B．甲、乙两人五次考试平均成绩相同，且S甲2＝0.9，S乙2＝1.2，则甲的成绩更稳定，所以B选项不符合题意；C．三角形的一个外角大于与之不相邻的任意一个内角，所以C选项不符合题意；D．在平面直角坐标系中，点（4，﹣2）与点（4，2）关于x轴对称，所以D选项符合题意．故选：D．3．篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：189，191，193，195，196．现用一名身高为192cm的队员换下身高为196cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（

）A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大【答案】A【解析】解：原数据的平均数为=192.8，则原数据的方差为[（189-192.8）2+（191-192.8）2+（193-192.8）2+（195-192.8）2+（196-192.8）2]=4.512，新数据的平均数为=192，则新数据的方差为[（189-192）2+（191-192）2+（193-192）2+（195-192）2+（192-192）2]=4，所以平均数变小，方差变小，故选：A．4．“微信运动“是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况（步数里程）的公众号，用户通过该公众号可查看自己某时间段的运动情况．某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图．下列结论错误的是（）A．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小B．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数C．月跑步里程最大值出现在10月D．月跑步里程逐月增加【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：在A中，1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，故A选项正确，不符合题意；在B中，月跑步里程高峰期大致在9月、10月，从小到大排列为：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，所以月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数，故B选项正确，不符合题意；在C中，月跑步里程最大值出现在10月，故C选项正确，不符合题意；在D中，2月跑步里程比1月小，8月跑步里程比7月小，11月跑步里程比10月小，故D选项错误，符合题意．故选：D．5．下列说法正确的是（

）A．北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查B．一组数据6，5，8，8，9的众数是8C．甲、乙两组学生身高的方差分别为，．则甲组学生的身高较整齐D．篮球运动员易建联在CBA联赛场均能得到24.2分，因此他下一场比赛的得分一定会超过20分【答案】B【解析】A、北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择全面调查，故此选项错误；B、一组数据6，5，8，8，9的众数是8，故此选项正确；C、甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8．则乙组学生的身高较整齐，故此选项错误；D、篮球运动员易建联在CBA联赛场均能得到24.2分，因此他下一场比赛的得分不一定会超过20分，故此选项错误；故选：B．6．一组数据的方差为，将这组数据中每个数据都除以3，所得新数据的方差是（

）A． B．3 C． D．9【答案】C【解析】设原数据为x1，x2，…，xn，其平均数为，方差为s2.根据题意，得新数据为，，…，，其平均数为.根据方差的定义可知，新数据的方差为.故选C.二、填空题7．已知2，3，6，a，b这五个数据的方差是3，那么3，4，7，a+1，b+1这五个数据的方差是______．【答案】3【解析】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了1，则平均数变为+1，则原来的方差S12＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x5﹣）2]＝3，现在的方差S22＝[（x1+1﹣﹣1）2+（x2+1﹣﹣1）2+…+（x5+1﹣﹣1）2]＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x5﹣）2]＝3，所以方差不变．故答案为3．8．若甲、乙两人射击比赛的成绩（单位：环）如下：甲：6，7，8，9，10；乙：7，8，8，8，9．则甲、乙两人射击成绩比较稳定的是______________（填甲或乙）；【答案】乙【解析】解：甲乙二人的平均成绩分别为：，，∴二人的方差分别为：，∵，乙的成绩比较稳定．故答案为：乙三、解答题9．我市某中学举办“网络安全知识竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示：平均分（分）中位数（分）众数（分）方差初中部a85b高中部85c100160(1)根据图示求出a，b，c的值；(2)结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？(3)计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．【答案】(1)85，85，80；(2)初中部；(3)初中部.【解析】(1)解：平均分，众数，高中5名选手的成绩分别为70，75，80，100，100，故中位数c=80；(2)由表格知初中部和高中部的平均分相同，但是初中部的中位数高，故初中部决赛成绩较好.(3)，,初中代表队比较稳定.10．为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，设定分