2025年外研衔接版高一数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研衔接版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、数列{an}中，a1＜0，2an+1-an=0，n∈N*．则数列{an}的部分图象只可能为（）

A.

B.

C.

D.

2、设函数的图像向右平移个单位后与原图像重合,则的最小值是（A）（B）（C）（D）33、【题文】在中，实数的取值范围是（）A.B.C.D.4、【题文】如图，用一根铁丝折成一个扇形框架，要求框架所围扇形面积为定值S，半径为r；弧长为l，则使用铁丝长度最小值时应满足的条件为（）

A.r=lB.2r=lC.r=2lD.3r=l5、若对于任意实数x，都有f（-x）=f（x），且f（x）在（-∞，0]上是增函数，则（）A.f（-2）＜f（2）B.f（-1）＜C.＜f（2）D.f（2）＜6、在△ABC中，==D、E分别是CA、CB的中点，=（）A.-B.-C.（-）D.（-）7、设l

是直线，娄脕娄脗

是两个不同的平面(

)

A.若l//娄脕l//娄脗

则娄脕//娄脗

B.若l//娄脕l隆脥娄脗

则娄脕隆脥娄脗

C.若娄脕隆脥娄脗l隆脥娄脕

则l隆脥娄脗

D.若娄脕隆脥娄脗l//娄脕

则l隆脥娄脗

评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)8、一个正方体的顶点都在一个球面上，已知这个球的表面积为3π，则正方体的棱长为____．9、若则与的大小关系是____.10、关于函数有以下命题：（1）是偶函数；（2）要得到的图象，只需将的图象向右平移个单位；（3）的图象关于直线对称；（4）在内的增区间为其中正确命题的序号为11、【题文】设集合集合若点则。

____．12、【题文】设当函数的零点多于1个时，在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为_____________.评卷人得分三、解答题(共6题，共12分)13、已知函数f（x）=+的定义域为集合A；B={x|x＜a}

（1）求集合A；

（2）若A⊆B；求a的取值范围；

（3）若全集U={x|x≤4}，a=-1，求A∪∁UB．

14、【题文】（本题满分13分）已知函数为奇函数；

（1）求以及m的值；

（2）在给出的直角坐标系中画出的图象；

（3）若函数有三个零点，求实数k的取值范围.15、【题文】确定函数f(x)＝＋x－4的零点个数．16、【题文】（12分）已知直线与圆相交于两点，是坐标原点，三角形的面积为

（1）试将表示成的函数；并求出它的定义域；

（2）求的最大值，并求取得最大值时的值。17、在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中．

（Ⅰ）若M、N、P分别是C1C、B1C1、D1C1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD．

（Ⅱ）求直线BC1与平面ACC1A1所成角的大小．18、已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=2；点P坐标为（2，-1），过点P作圆C的切线，切点为A，B．

（1）求直线PA；PB的方程；

（2）求过P点的圆的切线长；

（3）求直线AB的方程．评卷人得分四、计算题(共4题，共32分)19、计算：．20、计算：．21、（2005•兰州校级自主招生）已知四边形ABCD是正方形，且边长为2，延长BC到E，使CE=-，并作正方形CEFG，（如图），则△BDF的面积等于____．22、若不等式|2x+1|-|2x-1|＜a对任意实数x恒成立，则a的取值范围是____．评卷人得分五、证明题(共4题，共8分)23、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．24、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．25、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．26、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．评卷人得分六、综合题(共3题，共12分)27、取一张矩形的纸进行折叠；具体操作过程如下：

第一步：先把矩形ABCD对折；折痕为MN，如图（1）所示；

第二步：再把B点叠在折痕线MN上；折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图（2）所示；

第三步：沿EB′线折叠得折痕EF；如图（3）所示；利用展开图（4）所示．

探究：

（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．

（2）对于任一矩形；按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．

（3）如图（5）；将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx-k（k＜0）

①问：EF与抛物线y=有几个公共点？

②当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求的值．28、已知平面区域上；坐标x，y满足|x|+|y|≤1

（1）画出满足条件的区域L0；并求出面积S；

（2）对区域L0作一个内切圆M1，然后在M1内作一个内接与此圆与L0相同形状的图形L1，在L1内继续作圆M2；经过无数次后，求所有圆的面积的和．

（提示公式：）29、若反比例函数y=与一次函数y=kx+b的图象都经过一点A（a，2），另有一点B（2，0）在一次函数y=kx+b的图象上．

（1）写出点A的坐标；

（2）求一次函数y=kx+b的解析式；

（3）过点A作x轴的平行线，过点O作AB的平行线，两线交于点P，求点P的坐标．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】

∵数列{an}中，a1＜0，2an+1-an=0；n∈N*；

∴=故数列{an}是以为公比的等比数列，且是递增数列，且an＜0；

结合所给的选项知；应选C．

故选C．

【解析】【答案】由题意可得=故数列{an}是以为公比的等比数列，且是递增数列，且所有的项an＜0；结合所给的选项，得出结论．

2、C【分析】【解析】【答案】C3、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B4、B【分析】【解析】由题意知，扇形的半径为r，弧长为l，由题意可知S=lr，2rl=4S．

如图铁丝长度为：c="2r+l≥2"="4"．当且仅当2r=l；时取等号．

铁丝长度最小值为：4．

则使用铁丝长度最小值时应满足的条件为2r=l．

故选B．【解析】【答案】B5、D【分析】解：对于任意实数x；都有f（-x）=f（x），所以函数为偶函数。

根据偶函数图象关于y轴对称；且f（x）在（-∞，0]上是增函数，可知f（x）在（0，+∞）上是减函数。

对于A；f（-2）=f（2），∴A不正确；

对于B，∵f（x）在（-∞，0]上是增函数，-1＞∴f（-1）＞∴B不正确；

对于C，f（2）=f（-2），∵f（x）在（-∞，0]上是增函数，-2＜

∴f（-2）＜∴C不正确，D正确；

故选D

利用f（-x）=f（x）；且f（x）在（-∞，0]上是增函数，将变量化为同一单调区间，即可判断．

本题重点考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，解题时应注意将变量化为同一单调区间，再作判断．【解析】【答案】D6、D【分析】解：如图；

D；E分别是CA、CB的中点；

∴DE为△ABC的中位线；

∴DE∥AB，且

∴=．

故选：D．

根据题意便可得到DE为△ABC的中位线，从而得出这样由向量减法的几何意义即可用表示出．

考查三角形中位线的概念及性质，以及向量减法和数乘的几何意义．【解析】【答案】D7、B【分析】解：A

若l//娄脕l//娄脗

则满足题意的两平面可能相交，排除A

B

若l//娄脕l隆脥娄脗

则在平面娄脕

内存在一条直线垂直于平面娄脗

从而两平面垂直，故B正确；

C

若娄脕隆脥娄脗l隆脥娄脕

则l

可能在平面娄脗

内，排除C

D

若娄脕隆脥娄脗l//娄脕

则l

可能与娄脗

平行，相交，排除D

故选B

利用面面垂直的判定定理可证明B

是正确的；对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误命题。

本题主要考查了空间线面、面面位置关系，空间线面、面面垂直于平行的判定和性质，简单的逻辑推理能力，空间想象能力，属基础题【解析】B

二、填空题(共5题，共10分)8、略

【分析】

∵球的表面积为3π，∴球的半径为

∵正方体的顶点都在一个球面上；

∴正方体的对角线为球的直径。

设正方体的棱长为a，则

∴a=1

故答案为：1

【解析】【答案】先确定球的半径；再利用正方体的对角线为球的直径，即可求得结论．

9、略

【分析】因为所以-=【解析】【答案】10、略

【分析】试题分析：（1）时所以函数的图像不关于轴对称．所以函数不是偶函数．故（1）不正确;（2）因为所以要得到的图象，只需将的图象向左平移个单位．故（2）不正确;（3）令解得．即函数的对称轴为．当时,．故（3）正确;（4）令解得所以函数的单调增区间为:．则函数在内的增区间为．故（4）正确．综上可得正确的为（3）,（4）．考点：1三角函数的奇偶性,对称性,单调性;2三角函数的伸缩平移变换．【解析】【答案】（3）,（4）11、略

【分析】【解析】因为集合集合若点则。

a+6=b,5a-3=b,可知a-b=-6,故答案为-6。【解析】【答案】-6;12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】0三、解答题(共6题，共12分)13、略

【分析】

（1）由题意可得，

∴-2＜x≤3

∴A={x|-2＜x≤3}

（2）A⊆B

∴a＞3

（3）∵U={x|x≤4}；a=-1

∴B={x|x＜-1}，CUB=[-1；4]

∴A∪CUB=[-2；4]

【解析】【答案】（1）由题意可得，解不等式可求A

（2）A⊆B可得a＞3

（3）由U={x|x≤4}，a=-1可求B，进而可求CUB；可求。

14、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）根据f(x)为奇函数可知f(-1)=-f(1)从而可建立关于m的方程求出m值.

（2）由于分段函数的对应关系不同；所以要分段画其图像.再画图像时要注意函数关于原点对称.

（3）结合图像可知g(x)由三个零点；也就是方程f(x)=2k-1有三个不同的实数根，即直线y=2k-1与y=f(x)的图像有三个公共点，然后数形结合求解即可.

(1)f(1)=1；f(-1)=-f(1)=-1，2分。

当ｘ＜0时，－ｘ＞0，f(x)=-(x)2+2(-x)=-x2-2x,又f(x)为奇函数,f(x)=-f(-x)=x2+2x,

所以m="2."4分。

（2）y＝f（x）的图象如图所示.8分。

（3）图象知：若函数有三个零点，则12分；

即13分。

考点：函数的奇偶性,分段函数的图像；函数的零点.

点评：函数的零点与方程的根的关系.【解析】【答案】(1)m="2."

（2）y＝f（x）的图象如图所示.

（3）15、略

【分析】【解析】解：

设y1＝y2＝4－x，则f(x)的零点个数，即y1与y2的交点个数；作出两函数图象如图．

由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点；

当x＝4时，y1＝－2，y2＝0；

当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4；

∴在(4,8)内两曲线又有一个交点；

∴两曲线有两个交点；

即函数f(x)＝＋x－4有两个零点．【解析】【答案】两个16、略

【分析】【解析】

解：（1）设圆到直线的距离为∵∴

∴∴

定义域：且

（2）设则

∴∵∴∴当即时，时∴的最大值为2，取得最大值时【解析】【答案】

（1）且

（2）17、略

【分析】

（I）欲证平面MNP∥平面A1BD，先证线面平行，连接B1D1，根据面面平行的判定定理可知，先证PN∥平面A1BD，MN∥平面A1BD；即可；

（II）连接BD，BD∩AC=0，连接OC1，确定∠BC1O为直线BC1与平面A1ACC1所成的角；从而可得结论．

本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，直线与平面所成的角，考查正方体的性质，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．【解析】（I）证明：连接B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点；

∴PN∥B1D1．又B1D1∥BD；

∴PN∥BD．又PN不在平面A1BD上；

∴PN∥平面A1BD．

同理，MN∥平面A1BD．又PN∩MN=N；

∴平面PMN∥平面A1BD．

（II）解：连接AC，BD∩AC=0，连接OC1；

由正方体的性质可得BO⊥AC，BO⊥AA1且AA1∩AC=A

∴BO⊥平面AA1C1C

∴∠BC1O为直线BC1与平面A1ACC1所成的角。

设正方体的棱长为a，则OB=a，BC1=a

在Rt△BC1O中，sin∠BC1O==

∴∠BC1O=30°．18、略

【分析】

（1）设切线方程斜率为k，由切线过点P，表示出切线方程，根据圆标准方程找出圆心C坐标与半径r；根据直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出切线方程．

（2）通过p到圆心C的距离；圆的半径以及切线长满足勾股定理；求出切线长即可．

（3）利用（2）写出圆心为P的圆的方程；通过圆系方程写出公共弦方程即可．

此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，以及圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．【解析】解：（1）设切线的斜率为k；

∵切线过点P（2；-1）；

∴切线方程为：y+1=k（x-2）即：kx-y-2k-1=0；

又圆C：（x-1）2+（y-2）2=2的圆心坐标为（1，2），半径为

由点到直线的距离公式，得：=

解得：k=7或k=-1；

则所求的切线方程为：x+y-1=0和7x-y-15=0．

（2）圆心C到P的距离为：=．

∴切线长为：=2．

（3）以P为圆心，切线长为半径的圆的方程为：（x-2）2+（y+1）2=8①

由圆C：（x-1）2+（y-2）2=2；②

②-①可得AB的方程：（x-1）2+（y-2）2-（x-2）2-（y+1）2=-6；

可得x-3y+3=0．四、计算题(共4题，共32分)19、略

【分析】【分析】利用负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可得到结果．【解析】【解答】解：原式=-2+2×-3++1=-3．20、略

【分析】【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意（-2）-1=-，（π-3.5）0=1．【解析】【解答】解：原式=-+1-+4

=4．21、略

【分析】【分析】根据正方形的性质可知三角形BDC为等腰直角三角形，由正方形的边长为2，表示出三角形BDC的面积，四边形CDFE为直角梯形，上底下底分别为小大正方形的边长，高为小正方形的边长，利用梯形的面积公式表示出梯形CDFE的面积，而三角形BEF为直角三角形，直角边为小正方形的边长及大小边长之和，利用三角形的面积公式表示出三角形BEF的面积，发现四边形CDEF的面积与三角形EFB的面积相等，所求△BDF的面积等于三角形BDC的面积加上四边形CDFE的面积减去△EFB的面积即为三角形BDC的面积，进而得到所求的面积．【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形；边长为2；

∴BC=DC=2；且△BCD为等腰直角三角形；

∴△BDC的面积=BC•CD=×2×2=2；

又∵正方形CEFG；及正方形ABCD；

∴EF=CE；BC=CD；

由四边形CDFE的面积是（EF+CD）•EC，△EFB的面积是（BC+CE）•EF；

∴四边形CDFE的面积=△EFB的面积；

∴△BDF的面积=△BDC的面积+四边形CDFE的面积-△EFB的面积=△BDC的面积=2．

故答案为：2．22、略

【分析】【分析】将x的值进行分段讨论，①x＜-，②-≤x＜，③x≥，从而可分别将绝对值符号去掉，得出a的范围，综合起来即可得出a的范围．【解析】【解答】解：当①x＜-时；原不等式可化为：-1-2x-（1-2x）＜a，即-2＜a；

解得：a＞-2；

②当-≤x＜时；原不等式可化为：2x+1-（1-2x）＜a，即4x＜a；

此时可解得a＞-2；

③当x≥时；原不等式可化为：2x+1-（2x-1）＜a，即2＜a；

解得：a＞2；

综合以上a的三个范围可得a＞2；

故答案为：a＞2．五、证明题(共4题，共8分)23、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．24、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．25、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=26、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．六、综合题(共3题，共12分)27、略

【分析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；以及矩形性质得出∠AEF=60°，∠EAF=60°，即可得出答案；

（2）根据矩形的长为a，宽为b，可知时，一定能折出等边三角形，当＜b＜a时；不能折出；

（3）①由已知得出得到x2+8kx-8k=0，△=（8k）2+32k=32k（2k+1）；再分析k即可得出答案；

②得出Rt△EMO∽Rt△A′AD，进而得出，即可求出答案．【解析】【解答】解：（1）△AEF是等边三角形

证明：∵PE=PA；

B′P是RT△AB′E斜边上的中线

∴PA=B′P；

∴∠EAB′=∠PB′A；

又∵PN∥AD；

∴∠B′AD=∠PB′A；

又∵2∠EAB′+∠B′AD=90°；

∴∠EAB′=∠B′AD=30°；

易证∠AEF=60°；∴∠EAF=60°；

∴△AEF是等边三角形；

（2）不一定；

设矩形的长为a，宽为b，可知时；一定能折出等边三角形；

当＜b＜a时；不能折出；

（3）①由；

得x2+8kx-8k=0，△=（8k）2+32k=32k（2k+1）；

∵k＜0．

∴k＜-时；△＞0，EF与抛物线有两个公共点．

当时；EF与抛物线有一个公共点．

当时；EF与抛物线没有公共点；

②EF与抛物