2025年外研版高二数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高二数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知坐标平面上的两点A（-1；0）和B（1，0），动点P到A；B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是（）

A.椭圆。

B.双曲线。

C.抛物线。

D.线段。

2、【题文】已知等比数列满足（）A.64B.81C.128D.2433、【题文】在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，CD⊥AB于D，AB＝则DB＝（）A.B.C.D.4、【题文】计算机中常用16进制．采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号与10进制得对应关系如下表：

。16进制。

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10进制。

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

例如用16进制表示D+E=1B；则A×B=（）

A.6EB.7CC.5FD.B05、【题文】已知则等于（）A.B.7C.D.6、椭圆的弦被点平分，则此弦所在的直线方程是（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)7、如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=____．

8、若命题“”是真命题，则实数的取值范围是____.9、【题文】某种树木的底部周长的取值范围是它的频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有____株树木的底部周长小于100cm..

10、高为2的圆柱侧面积为4π，此圆柱的体积为______．11、直线x+2y-3=0与直线ax+4y+b=0关于点A（1，0）对称，则b=______．12、代数式1+11+11+鈰�

中省略号“

”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t

则1+1t=t

则t2鈭�t鈭�1=0

取正值得t=5+12

用类似方法可得6+6+6+=

______．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)13、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

14、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）15、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共1题，共3分)20、【题文】已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b；c依次成等比数列．

求证：△ABC是等边三角形。评卷人得分五、计算题(共4题，共32分)21、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．22、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．23、1.（本小题满分12分）已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为对该项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．24、求证：ac+bd≤•．评卷人得分六、综合题(共4题，共40分)25、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．26、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．27、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为28、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、D【分析】

由题意可得：A（-1；0）；B（1，0）两点之间的距离为2；

又因为动点P到A；B两点距离之和为常数2；

所以|AB|=|AP|+|AP|；即动点P在线段AB上运动；

所以动点P的轨迹是线段．

故选D．

【解析】【答案】计算出A；B两点的距离结合题中动点P到A、B两点距离之和为常数2；由椭圆的定义进而得到动点P的轨迹是线段．

2、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A3、A【分析】【解析】本题考查直角三角形的射影定理。

由三角形内角和定理知

又

则

在中，

又于则

故正答案为A

。【解析】【答案】A．4、A【分析】【解析】由表；10×11=110；

110÷16商是6余数是14；

故A×B=6E

故选A．【解析】【答案】A5、A【分析】【解析】对于【解析】【答案】A6、D【分析】【解答】由题意可设该弦所在直线的斜率为若不存在则不合题意，则可设该所在的直线方程为直线与椭圆的交点为则又两式作差化简得当时直线与轴平行，不合题意，所以有解得由点斜式可求得该弦所在直线方程为所以正确答案为D.

【分析】利用点差法可求出直线的斜率，再用直线的点斜式求出方程即可．二、填空题(共6题，共12分)7、略

【分析】

如图，把椭圆的长轴AB分成8等份；

过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点；F是椭圆的一个焦点；

则根据椭圆的对称性知，|P1F1|+|P7F1|=|P1F1|+|P1F2|=2a；

同理其余两对的和也是2a；

又|P4F1|=a；

∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|

=7a=28；

故答案为：28．

【解析】【答案】根据椭圆的对称性知，|P1F1|+|P7F1|=|P1F1|+|P1F2|=2a，同理其余两对的和也是2a，又|P4F1|=a；由此可得答案．

8、略

【分析】【解析】试题分析：命题“”是真命题，即有解，所以所以或考点：本小题主要考查了利用命题的真假求参数的范围.【解析】【答案】∪9、略

【分析】【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于的株数为．

【考点】频率分布直方图．【解析】【答案】2410、略

【分析】解：设圆柱的底面半径为r；

∵圆柱侧面积为4π=2πr×2；

∴r=1；

故圆柱的体积V=π•12•2=2π；

故答案为：2π．

根据已知求出圆锥的底面半径；代入圆柱体积公式，可得答案．

本题考查的知识点是圆柱的表面积和体积，其中根据已知条件，求出圆柱的底面半径，是解答本题的关键．【解析】2π11、略

【分析】解：在x+2y-3=0上取一点，比如B（2，）

关于A的对称点C（m．n）在ax+4y+b=0上。

则BC中点是A

解得：m=0，n=-

C（0，-）

所以0-2+b=0

b=2

故答案为：2

在直线x+2y-3=0上取一点B（2，），求出关于A的对称点C（m．n）在ax+4y+b=0上，利用中点坐标公式，求出m，n，然后求出b即可．

本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程，考查转化思想，计算能力，是基础题．【解析】212、略

【分析】解：由已知代数式的求值方法：先换元；再列方程，解方程，求解(

舍去负根)

可得要求的式子．

令6+6+6+=m(m>0)

则两边平方得，6+6+6+6+篓Tm2

即6+m=m2

解得，m=3(鈭�2

舍去)

．

故答案为：3

．

通过已知得到求值方法：先换元；再列方程，解方程，求解(

舍去负根)

再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．

本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题．【解析】3

三、作图题(共8题，共16分)13、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

14、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．15、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共1题，共3分)20、略

【分析】【解析】

由2B＝A＋C；且A＋B＋C＝180°，B＝60°，3分。

由a、b、c成等比数列，有b2＝ac6分。

cosB＝＝＝9分。

得(a－c)2＝0；∴a＝c12分。

∴△ABC为等边三角形．13分【解析】【答案】

证明见解析五、计算题(共4题，共32分)21、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．22、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．23、略

【分析】由题设得则的概率分布为4分。012P故收益的概率分布为。1.622.4P所以=28分12分【解析】【答案】=224、证明：∵（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）•（c2+d2）≥（ac+bd）2；

∴|ac+bd|≤•

∴ac+bd≤•【分析】【分析】作差（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，即可证明．六、综合题(共4题，共40分)25、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）26、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（