2025年沪教版高二数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪教版高二数学上册阶段测试试卷968考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、【题文】按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律；

写出后一种化合物的分子式是（）.A.C4H9B.C4H10C.C4H11D.C6H122、若则下列不等式中正确的是（）A.B.C.D.3、放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（）A.5太贝克B.75In2太贝克C.150In2太贝克D.150太贝克4、若函数f(x)g(x)

满足鈭�鈭�11f(x)g(x)dx=0

则f(x)g(x)

为区间[鈭�1,1]

上的一组正交函数，给出三组函数：

垄脵f(x)=sin12xg(x)=cos12x

垄脷f(x)=x+1g(x)=x鈭�1

垄脹f(x)=xg(x)=x2

其中为区间[鈭�1,1]

上的正交函数的组数是(

)

A.0

B.1

C.2

D.3

5、抛物线y2=4x

的焦点坐标为(

)

A.(2,0)

B.(1,0)

C.(0,鈭�4)

D.(鈭�2,0)

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)6、已知ξ～B（n，p），Eξ=8，Dξ=1.6，则n，p的值分别是____，____．7、已知点A（﹣2，4），B（4，2），直线l：ax﹣y+8﹣a=0，若直线l与直线AB平行，则a=_________．8、【题文】给定平面上四点满足则面积的最大值为____9、【题文】定义：的运算原理如图所示，设则在区间上的最小值为____．

10、如图所示，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D：DC1的值为______．11、设平面α的一个法向量为=（1，2，-2），平面β的一个法向量为=（-2，-4，k），若α∥β，则k=______．12、已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是则xy=______．13、设F1

是椭圆x2+y24=1

的下焦点，O

为坐标原点，点P

在椭圆上，则PF1鈫�?PO鈫�

的最大值为______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共8分)21、(12分)已知函数在与时都取得极值.(1)求的值；(2)求函数的单调区间.22、【题文】在△ABC中，角所对的边分别为已知向量且．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若求△ABC的面积．23、【题文】某中学的数学测试中设置了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个内容；成绩分为A；B、C、D、E五个等级。某班考生两科的考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人。

（1）求该班考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数；

（2）若等级A；B、C、D、E分别对应5分、4分、3分、2分、1分；该考场中有2人10分，3人9分，从这5人中随机抽取2人，求2人成绩之和为19分的概率.

24、（1）找出一个等比数列{an}，使得1，4为其中的三项，并指出分别是{an}的第几项；

（2）证明：为无理数；

（3）证明：1，4不可能为同一等差数列中的三项．评卷人得分五、计算题(共2题，共14分)25、1.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；(3)证明：(参考数据：ln2≈0.6931).26、解不等式组．评卷人得分六、综合题(共2题，共18分)27、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．28、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、B【分析】【解析】解：因为C构成了以1为首项，公差为1的等差数列，H构成了以4为首项，公差为2的等差数列，因此后一种化合物的分子式为C4H10，选B【解析】【答案】B2、C【分析】【解答】根据绝对值的几何意义，可知则可知而对于A，x=3,y=-1,可知错误，对于B应该是相等，对于D，应该是故选C.3、D【分析】【解答】解：M'（t）=M0×M'（30）=M0×=﹣10ln2；

∴M0=600．

∴．

故选D．

【分析】由t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），先求出M'（t）=M0×再由M'（30）=M0×=﹣10ln2，求出M0，然后能求出M（60）的值．4、C【分析】解：对于垄脵鈭�11[sin12x?cos12x]dx=鈭�11(12sinx)dx=鈭�12cosx|鈭�11=0隆脿f(x)g(x)

为区间[鈭�1,1]

上的一组正交函数；

对于垄脷鈭�11(x+1)(x鈭�1)dx=鈭�11(x2鈭�1)dx=(13x3鈭�x)|鈭�11鈮�0隆脿f(x)g(x)

不是区间[鈭�1,1]

上的一组正交函数；

对于垄脹鈭�鈭�11x3dx=(14x4)|鈭�11=0隆脿f(x)g(x)

为区间[鈭�1,1]

上的一组正交函数；

隆脿

正交函数有2

组；

故选：C

．

利用新定义；对每组函数求积分，即可得出结论．

本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．【解析】C

5、B【分析】解：抛物线y2=4x

可知p=2

它的焦点坐标为(1,0)

．

故选：B

．

直接利用抛物线的标准方程；求解焦点坐标即可．

本题考查抛物线的基本性质的应用，基本知识的考查．【解析】B

二、填空题(共8题，共16分)6、略

【分析】

∵ξ～B（n；p），Eξ=8，Dξ=1.6；

∴np=8；①

np（1-p）=1.6②

∴1-p=0.2

∴p=0.8

∴n=10；

故答案为：10；0.8

【解析】【答案】根据变量符合二项分布；得到变量的期望和方差的公式，做出关于n，p的关系式，接触方程组，得到n，p的值．

7、略

【分析】试题分析：两直线平行斜率相等且截距不相等，计算得答案为考点：直线平行的位置关系【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】

试题分析：

由已知得由余弦定理可得从而中边边上的高为由知点在以为圆心，4为半径的圆上，到直线的距离最大值为∴面积的最大值为．

考点：向量的数量积，三角形面积最大值．【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】

试题分析：根据题意，由框图的运算原理设在区间上的最小值为当x=-2时得到的值为-6；故答案为-6.

考点：程序框图。

点评：主要是考查了程序框图中对于新运算的理解和运用，属于基础题。【解析】【答案】-610、略

【分析】解：如图所示；

棱柱ABC-A1B1C1中；

设BC1交B1C于点E；连接DE；

则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线；

因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE；

又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点；

所以A1D：DC1=1．

故答案为：1．

根据题意，结合图形，设BC1交B1C于点E，连接DE，证明DEA1B，得出D为A1C1的中点；即可得出结论．

本题考查了空间中的平行与垂直关系的判断与应用问题，也考查了考查空间想象能力与逻辑思维能力，是基础题目．【解析】111、略

【分析】解：∵α∥β，∴∥

∴存在实数λ使得．

∴解得k=4．

故答案为：4．

利用向量共线定理即可得出．

本题考查了向量共线定理，属于基础题．【解析】412、略

【分析】解：根据平均数及方差公式；可得：9+10+11+x+y=10×5；

即x+y=20；

∵标准差是∴方差为2．

∴[（9-10）2+（10-10）2+（11-10）2+（x-10）2+（y-10）2]=2；

即（x-10）2+（y-10）2=8；

∴解得x=8；y=12或x=12，y=8；

则xy=96；

故答案为：96．

先由平均数的公式列出x+y=20；然后根据方差的公式列方程，求出x和y的值即可求出xy的值．

本题主要考查了平均数和方差等概念，以及解方程组，考查学生的计算能力．【解析】9613、略

【分析】解：根据椭圆的标准方程知1(0,鈭�3)

设P(x,y)

则：

PF1鈫�鈰�PO鈫�=(鈭�x,鈭�3鈭�y)鈰�(鈭�x,鈭�y)=x2+3y+y2=1鈭�y24+3y+y2=34y2+3y+1=(32y+1)2

又鈭�2鈮�y鈮�2

隆脿y=2

时，PF1鈫�鈰�PO鈫�

取最大值4+23

．

故答案为：4+23

．

根据椭圆的标准方程求出F1

的坐标(0,鈭�3)

设P(x,y)

所以可求出向量PF1鈫�,PO鈫�

的坐标，所以结合点P

满足椭圆的方程，可求出PF1鈫�鈰�PO鈫�=(32y+1)2

而y隆脢[鈭�2,2]

所以y=2

时PF1鈫�鈰�PO鈫�

取到最大值；所以将y=2

带入即可求出该最大值．

考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，以及向量数量积的坐标运算，以及观察法求二次函数的最值．【解析】4+23

三、作图题(共9题，共18分)14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共8分)21、略

【分析】

（1）a=－b=－2.（2）递增区间是与递减区间是【解析】第一问，利用函数在与时都取得极值.得到两个导数值为零，然后利用求解后的解析式，代入原式中，研究函数的单调性。令得当当【解析】

（1）令得当当10分所以函数的递增区间是与递减区间是12分【解析】【答案】22、略

【分析】【解析】

试题分析：（Ⅰ）

即

由正弦定理可得

整理得

（II）由余弦定理可得

即

故

考点：解三角形。

点评：主要是考查了正弦定理以及余弦定理的运用，来解三角形，属于基础题。【解析】【答案】（1）

（2）23、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）由图得，“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的频率为0.250，又题中告知“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的的人数为10人，由此得该班总人数是人.在图2中等级为E；D、C、B的频率已经给出；用1减去这些频率即得A的频率，由此可得“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数.（2）将从5人中选2人的所有可能结果一一列出，共有10种，其中2人成绩之和为19分的结果共有6种，由此可得所求概率.

（1）由题意得该班总人数是人.2分。

“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为。

6分。

（2）从5人中选2人共有10种，从10分的2人中选1人有2种，从9分的3人中选1人有3种，所以2人成绩之和为19分的结果共有6种，所以所求概率为12分。

考点：1、统计条形图；2、古典概型.【解析】【答案】（1）“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为3；（2）24、略

【分析】

（1）根据题意取一个等比数列{an}：首项为1、公比为由等比数列的通项公式求出an，再求出an=4时的项数n即可判断；

（2）假设是有理数，利用有理数的定义得：存在互质整数h、k，使得再进行证明直到推出矛盾；

（3）假设1，4是同一等差数列中的三项，利用等差数列的通项公式和（2）的结论进行证明，直到推出矛盾．

本题考查了等差、等比数列的通项公式，有理数的定义是应用，以及利用反证法证明结论成立，属于中档题．【解析】解：（1）取一个等比数列{an}：首项为1、公比为

则2分。

则令=4；解得n=5；

所以a1=1，a5=4．4分。

（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得5分。

则h2=2k2；所以h为偶数，7分。

设h=2t，t为整数，则k2=2t2；所以k也为偶数；

则h；k有公约数2；这与h、k互质相矛盾，9分。

所以假设不成立，所以是有理数．10分。

（3）证明：假设1，4是同一等差数列中的三项；

且分别为第n；m、p项且n、m、p互不相等；11分。

设公差为d，显然d≠0，则

消去d得，13分。

由n、m、p都为整数，所以为有理数；

由（2）得是无理数；所以等式不可能成立，15分。

所以假设不成立，即1，4不可能为同一等差数列中的三项．16分．五、计算题(共2题，共14分)25、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由题意，得f'(1)＝0Þa＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x＋lnx＋b＝0设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)则g'(x)＝2x－3＋＝4分当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下表。x(0，)(，1)1(1，2)2g'(x)＋0－0＋G(x)↗极大值↘极小值↗b－2＋ln2当x＝1时，g(x)最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根高考+资-源-网由ÞÞ＋ln2≤b≤28分(3)∵k－f(k)＝lnk∴nk＝2ó(n∈N，n≥2)设Φ(x)＝lnx－(x2－1)则Φ'(x)＝－＝当x≥2时，Φ'(x)＜0Þ函数Φ(x)在[2，＋∞)上是减函数，∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－＜0Þlnx＜(x2－1)∴当x≥2时，∴＞2[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋()]＝2(1＋－)＝.∴原不等式成立.12分'【解析】【答案】(1)a＝0(2)＋ln2≤b≤2(3)原不等式成立.26、解：由{#mathml#}x+3x+1

{#/mathml#}≤2得：{#mathml#}x−1x+1

{#/mathml#}≥0，解得x＜﹣1或x≥1；由x2﹣6x﹣8＜0得：3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}＜x＜3+{#mathml#}17

{#/mathml#}，

∴不等式组得解集为（3﹣