专题04 指、对、幂函数-2025年春季高考数学冲刺总复习（江苏专用）

PAGE1专题04指、对、幂函数目录TOC\o"1-2"\h\u考情解读 1知识梳理 1考点精讲 5考点一：指数运算与对数运算 5考点二：幂函数的概念与性质 7考点三：指数函数的图象与性质 9考点四：对数函数的图象与性质 12考点五：比较指数式和对数式的大小 15实战训练 17明晰本部分重点考查两个方向：有理数指数幂和对数运算、指对幂函数的图象与性质.需要掌握有理数指数幂的运算性质，对数运算的法则和换底公式，考查数学运算素养；指数函数、对数函数、幂函数解析式的形式、图象特征、单调性，尤其是利用单调性比较大小问题需要着重复习，考查直观想象素养.基础知识梳理1、实数指数幂的运算（1）n次方根①定义：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.②性质：n为奇数n为偶数a∈Ra>0a＝0a<0x＝eq\r(n,a)x＝±eq\r(n,a)x＝0不存在（2）根式①定义：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．②根式的性质：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作eq\r(n,0)＝0；(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)．eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数)．（3）根式与分数指数幂的互化①正数的正分数指数幂的意义：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；②正数的负分数指数幂的意义：＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；③整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)；eq\f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))r＝eq\f(ar,br)(a>0，b>0，r∈Q)．2、对数的概念（1）定义：一般地，如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．（2）两类特殊对数①以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN.②以无理数e＝2.71828…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN.（3）对数的性质①(1)loga1＝0(a>0，且a≠1)．②logaa＝1(a>0，且a≠1)．③0和负数没有对数．④对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．3、对数的运算(1)运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN.②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.③logaMn＝nlogaM(n∈R)．（2）对数换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)，使用时，经常换成常用对数或自然对数，即logab＝eq\f(lgb,lga)或logab＝eq\f(lnb,lna).4、幂函数（1）幂函数的概念：函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．①自变量前的系数是1；②幂的系数为1；③幂函数的定义域与α有关．（2）一般幂函数的图象特征：①在第一象限内都有图象，并且图象都过点(1,1)．②当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．③当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义．④在(—∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限．5、指数函数的概念（1）概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R.（2）指数函数的特征：底数a>0，且a≠1；指数幂的系数为1.6、指数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)最值无最值过定点过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的图象关于y轴对称7、对数函数的概念（1）概念：一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．（2）函数特征：对数函数的系数为1，真数只能是一个x.8、对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0<x<1时，y<0，当x>1时，y>0当0<x<1时，y>0，当x>1时，y<0单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数9、反函数的概念(1)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换.(2)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.考点精讲讲练考点一：指数运算与对数运算【典型例题】例题1．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）化简的值为（

）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】根据指数幂、对数的运算公式进行求解即可.【详解】，故选：B例题2．已知，则=.【答案】【分析】借助指数运算法则计算即可得.【详解】.故答案为：.例题3．下列各式中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指数的运算律可判断AB，由对数式的运算规则及换底公式可判断CD.【详解】对A，，故A错误；对B，，故B错误；对C，，故C正确；对D，，故D错误．故选：C.解答此类问题，只需要正确应用指数和对数的运算性质，换底公式一般将底换成以10为底或以e为底的对数.【即时演练】1.若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用对数的运算性质即可求解.【详解】.故选：B2.计算【答案】【分析】借助对数运算法则计算即可得.【详解】.故答案为：.3.计算：.【答案】4【分析】根据换底公式，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】，故答案为：.考点二：幂函数的概念与性质【典型例题】例题1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知幂函数在0,+∞上单调递减，则实数的值为（

）A． B． C．3 D．1【答案】A【分析】根据幂函数的定义，求得或，结合幂函数的单调性，即可求解.【详解】由函数为幂函数，可得，即，解得或，当时，函数在上单调递减，符合题意；当时，函数在上单调递增，不符合题意.故选：A.例题2．（2023高三·江苏·学业考试）已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（

）A．-2 B． C．2 D．3【答案】C【分析】在上单调递减，A错误，不是偶函数，B错误，定义判断C正确，函数为奇函数，D错误，得到答案.【详解】对选项A：，，函数在上单调递减，错误；对选项B：，，函数定义域为，不是偶函数，错误；对选项C：，，函数定义域为，，函数为偶函数，且在上单调递增，正确；对选项D：，，函数定义域为，，函数为奇函数，错误；故选：C.3.（2023高三上·江苏徐州·学业考试）下列函数中，定义域为R且为奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出每个函数的奇偶性和定义域，逐个选项分析求解即可.【详解】对于A选项，定义域为，故A错误，对于B选项，定义域为，故B错误，对于C选项，定义域为，且令，则，，，故是奇函数，故C正确，对于D选项，定义域为，且令，则，故，故不是奇函数，故D错误故选：C对于幂函数y＝xα(α为实数)，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减.【即时演练】1．函数为幂函数，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】运用幂函数定义，构造方程计算即可.【详解】函数为幂函数,则，则.故选：C.2.下列函数中，既是其定义域上的单调递减函数，又是奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据幂函数的单调性与奇偶性分析判断.【详解】对于A，，则是偶函数，故A错误；对于B，定义域为，，则为奇函数，在单调递减，但在定义域上不单调，故B错误；对于C，定义域为，在定义域上单调递增，但定义域不关于原点对称，即为非奇非偶函数，故C错误；对于D，在定义域上单调递减，且，即为奇函数，故D正确；故选：D.3.已知幂函数为偶函数，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．或1【答案】C【分析】由幂函数的定义：系数为1，再结合偶函数求参数的值.【详解】由题意，，即，解得或，当时，是偶函数，满足题意，当时，，，没有奇偶性，不合题意，所以.故选：C.考点三：指数函数的图象与性质【典型例题】例题1．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）若函数的图像不过第一象限，则a，b所满足的条件是（

）A．a>1，b<-1 B．0<a<1，b≤-1C．0<a<1，b<-1 D．a>1，b≤-1【答案】B【分析】根据指数型函数的单调性，结合指数运算的性质进行求解即可.【详解】当时，，因为的图像不过第一象限，所以有，故选：B例题2．函数的图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据图象变换可得函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的，由此可得出结论【详解】因为函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的，而的图象过点，且在上是增函数，所以的图象过点，且在上是增函数，故选：A例题3．已知函数，且f(3−2t)>f(t)，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数函数单调性即可得到不等式，解出即可.【详解】根据指数函数单调性知为单调减函数，因为f(3−2t)>f(t)，则3−2t<t，解得，则的取值范围是.故选：D.指数函数和幂函数的区别：两者虽然都是幂的形式，但不同之处在于指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上.对于指数函数，当底数a>1时，函数单调递增；当底数0<a<1时，函数单调递减.【即时演练】1．已知指数函数的图象经过点，则（

）A．4 B．1 C．2 D．【答案】A【分析】根据指数函数的特征，结合经过的点即可求解.【详解】由指数函数的图象经过点可得，解得，所以，故选：A2.函数（，且）的图象过的定点是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的图象过定点，从而可求解.【详解】由指数函数的图象过定点，所以函数的图象过定点，故C正确.故选：C.3.函数的值域为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的单调性来得到值域.【详解】因为，那么可知，而函数在上是增函数，故有：，所以:，故C项正确故选：C.考点四：对数函数的图象与性质【典例讲解】例题1．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）函数（，）的图象过定点，则的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由对数函数的性质求函数所过的定点坐标.【详解】令，则，此时，故定点的坐标为.故选：C例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由对数函数的定义域与含分式的函数定义域，构成不等式组求解即可.【详解】因为，所以定义域满足，解得，故选：A.例题3．（2023高一上·江苏苏州·学业考试）已知函数.(1)当时，求该函数fx的值域；(2)若不等式在上有解，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）换元令，结合二次函数的性质求值域；（2）换元令，整理可得在上有解，根据存在性问题分析求解.【详解】（1）因为，由对数函数单调性可知，当时，，令，，即可得，，可知的开口向上，对称轴为，由二次函数性质可知当时，，当时，，所以可得当时，函数的值域为.（2）当时，可得，令，，可得，即在上有解，整理可得在上有解，因为函数在上单调递增，当时，所以的取值范围是.对于对数函数，当底数a>1时，函数单调递增；当底数0<a<1时，函数单调递减.【即时演练】1．函数（，且）的图象一定过点（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据对数函数所过定点，令即可求解.【详解】因为对数函数（，且）的图象过定点，所以令，解得，此时，即的图象过定点．故选：C．2.函数的图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数定义域及函数值的正负判断即可.【详解】因为的定义域为，故BD错误；又，故C错误；故A正确.故选：A3.函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出的解后可得函数的定义域.【详解】由题设可得，故，故函数的定义域为故选：C.考点五：比较指数式和对数式的大小【典例讲解】例题1．（2023高三·江苏·学业考试）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用对数函数的单调性得到，，，得到答案.【详解】；；，所以.故选：A例题2.（2022高三上·江苏徐州·学业考试）设，则a，b，c的大小关系是（

）A．a<b<c B．a<c<b C．c<c<b D．b<a<c【答案】A【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得，，的大小关系．【详解】因为，又因为，则，，得，而，所以，．故选：A．例题3.（2024江苏扬州·学业考试模拟试卷）若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过找中间值0，1来比较即可.【详解】根据题意，，，，故.故选：D.(1)同底数的指数式或对数式，直接利用指数函数或对数函数的单调性.(2)既有指数式又有对数式，利用0和1进行分段比较.【即时演练】1．已知，则.（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数、对数函数的单调性分别判断的取值范围即可求解.【详解】，即；，即；，即，所以.故选：A2.已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用对数的运算法则及对数函数的性质计算即可.【详解】易知，而，所以，即.故选：A3．三个数的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.【详解】因为在定义域上单调递增，所以，又，所以.故选：A实战能力训练实战能力训练实战能力训练1．（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】根据指数幂的性质及对数的运算求解.【详解】.故选：B2．已知，，则的值为（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】D【分析】根据给定条件，利用指数运算法则计算作答.【详解】因为，，所以.故选：D3．已知.若，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】利用对数运算法则进行计算.【详解】.故选：A4．三个数，，之间的大小关系为（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指数和对数的性质，确定范围即可.【详解】因为，所以，，，则，故选：C.5.函数的图象经过（

）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，0） D．（2，0）【答案】C【分析】利用的对数等于0求解.【详解】解方程，得.所以函数的图象过定点.故选：C.6.函数与的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由时，函数的单调性和判断.【详解】当时，函数单调递增，当时，，故选：A7.已知幂函数的图