黄金卷08（江苏专用）-备战2025年高考数学模拟卷（解析版）

PAGE1试卷第=page22页，共=sectionpages2222页【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（江苏专用）黄金卷08（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知集合，集合中至少有2个元素，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为集合中至少有2个元素，所以，解得，故选：D2．现有随机选出的20个数据，统计如下，则（

）7

24

39

54

61

66

73

82

82

8287

91

95

8

98

102

102

108

114

120A．该组数据的众数为102 B．该组数据的80%分位数为102C．该组数据的中位数为87 D．该组数据的极差为112【答案】B【解析】v将数据按从小到大的顺序排列：7，8，24，39，54，61，66，73，82，82，82，87，91，95，98，102，102，108，114，120，对于A，出现次数最多的是82，所以众数是82，故A错误；对于B，极差为，故B错误；对于C，，第10个数和第11个数的平均数为中位数，即，故C错误；对于D，，第16个数和第17个数的平均数为80%分位数，即，故D正确.故选：D.3．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距，若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距，所以该椭圆的焦距为或.故选：D4．在平行四边形中，，．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得，所以，，所以，故选：D5．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，整理可得，所以.故选：A.6.我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（

）（附：）A． B． C． D．【答案】B【解析】设该圆台的上底面､下底面的半径分别为，由题意可知：，则圆台的母线长，所以其侧面积为.故选：B.7．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，现据《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且，则该球体建筑物的高度约为（）（

）

A．58.60m B．56.74m C．50.76m D．49.25m【答案】C【解析】如图，设球的半径为，球心为，为与球的切线，则.，.

故选：C8．已知，都是定义在R上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（

）A． B．若，则C．函数的图象关于直线对称 D．【答案】D【解析】对于A，令，可得，得，令，，代入已知等式得，可得，结合得，所以，故A错误；对于D，因为，令，代入已知等式得，将，代入上式，得，所以函数为奇函数.令，，代入已知等式，得，因为，所以，又因为，所以，因为，所以，故D正确；对于B，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，两式相加易得，所以有，即，有，即，所以为周期函数，且周期为，因为，所以，所以，，所以，所以，故B错误；对于C，取，，满足及，所以，又，所以函数的图像不关于直线对称，故C错误；故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，.若随机事件A，B相互独立，则（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】对B，，B正确；对A，，，A错误；对C，，，C正确；对D，，D正确.故选：BCD.10．函数的部分图象如图所示，则下列命题正确的是（

）A．B．C．关于对称D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数【答案】AC【解析】由图象可知，，解得，，又，所以，即，结合，可知，得的表达式为，故A正确，B错误，对于C，由于，即的图象关于对称，故C正确；对于D，函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数，故D错误．故选：AC．11．已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线与抛物线交于点，，设直线，的斜率分别为，，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因为抛物线经过点，所以，解得，故A正确；所以抛物线方程为，则焦点，设直线，则，消去整理得，则，所以，，则，，所以，故B正确；所以，，所以，故C错误；，故D正确；故选：ABD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．记复数的共轭复数为，写出一个满足的复数：．【答案】（答案不唯一，满足对即可）【解析】令，则，故．13．若二项式的展开式的第3项与第9项的二项式系数相等，则展开式的常数项是.（用数字作答）【答案】【解析】展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，即，所以，因此展开式的通项为，当，即时，对应项为常数项，即.14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为.若点Р在圆上，则的最小值是.【答案】【解析】设，则，整理得（或）.设，则，故.令，则=..四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（本小题满分13分）某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：超市ABCDE广告支出x24568销售额y3040606070(1)从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X，求随机变量X的分布列及期望；(2)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．【解】（1）从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市有C，D，E这3家超市，则随机变量的可能取值为1，2，3………1分，，，………4分的分布列为：123………5分数学期望．………7分（2），，………9分，………11分．关于的线性回归方程为；………12分在中，取，得．预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．………13分16．（本小题满分15分）如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，，为异于的一条母线．(1)若为的中点，证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值．【解】（1）如图，连接．因为在圆台中，上、下底面直径分别为，且，所以为圆台母线且交于一点P，所以四点共面.………1分在圆台中，平面平面，由平面平面，平面平面，得.………………2分又，所以，所以，即为中点．在中，又M为的中点，所以．………4分因为平面，平面，所以平面；………5分（2）以为坐标原点，分别为轴，过O且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以．则．………7分因为，所以．所以，所以．………8分设平面的法向量为，所以，所以，令，则，所以，………10分又，设平面的法向量为，所以，所以，令，则，所以，………12分所以．………13分设二面角的大小为，则，所以．所以二面角的正弦值为.………15分.17．（本小题满分15分）已知函数.(1)当时，证明：；(2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.【解】（1）因为函数的定义域为，当时，.要证，只需证：当时，.………2分令，则，………3分则在单调递增，所以，即.……5分（2），………6分令，则.………7分所以在单调递增，，………8分①时，，.则在为增函数，在上无极值点，矛盾.………10分②当时，.由（1）知，，，则，则使.………12分当时，，，则在上单调递减；当时，，，则在上单调递增.………14分因此，在区间上恰有一个极值点，所以的取值范围为.………15分18．（本小题满分17分）已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若过点的直线与曲线的两条渐近线交于，两点，且为线段ST的中点.（i）证明：直线与曲线有且仅有一个交点；（ii）求证：是定值.【解】（1）圆的圆心为，半径，因为线段的垂直平分线交直线于点，则，………1分，∴点的轨迹为以、为焦点的双曲线，………3分设双曲线方程为，则，，所以，

所以点的轨迹方程为

………5分

（2）（i）设，，，若，则，即直线的方程为显然满足直线与曲线有且仅有一个交点；………6分若，显然，由题可知，则，，因为双曲线的渐近线方程为，不妨令，，所以，，，即，即，∴直线的方程为，即，………8分又∵点在上，，则，即直线的方程为，………9分将方程联立，得，，由，可知方程有且仅有一个解，∴与有且仅有一个交点；………11分

（ii）由（i）联立，可得，………13分同理可得，………15分，所以是定值.………17分19．（本小题满分17分）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定.(1)若，写出及的值；(2)若数列是等差数列，求数列的通项公式；(3)设集合，求证：且.【解】（1）因为，所以，则，所以，，