备战2023年高考数学一轮复习-第2讲-平面向量基本定理及坐标表示

第2讲平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个eq\x(\s\up1(01))不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝eq\x(\s\up1(02))λ1e1＋λ2e2.2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，设与eq\x(\s\up1(03))x轴、y轴正方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，eq\x(\s\up1(04))(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝eq\x(\s\up1(05))(1,0)，j＝eq\x(\s\up1(06))(0,1)，0＝eq\x(\s\up1(07))(0,0).3．平面向量的坐标运算(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝eq\x(\s\up1(08))(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝eq\x(\s\up1(09))(x1－x2，y1－y2)，λa＝eq\x(\s\up1(10))(λx1，λy1).(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\x(\s\up1(11))(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\x(\s\up1(12))eq\r(x2－x12＋y2－y12).4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)⇔eq\x(\s\up1(13))x1y2－x2y1＝0.1．平面向量的一个基底是两个不共线向量构成的集合，平面向量基底可以有无穷多个．2．当且仅当x2y2≠0时，a∥b与eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．3．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.4．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).5．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).6．A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0或(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y3－y1)．1．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a＋b等于()A．(5,7) B．(5,9)C．(3,7) D．(3,9)答案D解析2a＋b＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)，故选D.2．下列各组向量中，可以作为基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4)))答案B解析两个不共线的非零向量构成一个基底，A中向量e1为零向量，C，D中两向量共线，B中e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线．故选B.3．设向量a＝(－1,2)，向量b是与a方向相同的单位向量，则b＝()A．(1，－2) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，\f(2,5))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))答案B解析因为向量b是与a方向相同的单位向量，所以b＝eq\f(a,|a|)＝eq\f(1,\r(－12＋22))(－1,2)＝eq\f(\r(5),5)(－1，2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5))).故选B.4．(2021·济南模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，eq\o(CE,\s\up6(→))＝－2eq\o(DE,\s\up6(→))，若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，则x＋y＝()A．1 B．6C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,3)答案C解析因为F是BC的中点，所以eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))，因为eq\o(CE,\s\up6(→))＝－2eq\o(DE,\s\up6(→))，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，又因为eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))不共线，所以x＝eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,2)，故x＋y＝eq\f(1,6).5．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________.答案eq\f(8,5)解析因为a∥b，所以2×4＝5λ，解得λ＝eq\f(8,5).6．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________.答案(1,5)解析设D(x，y)，则由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得(4,1)＝(5－x，6－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5.))考向一平面向量基本定理的应用例1(1)(2021·长春三模)如图，在同一个平面内，向量eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为α，且tanα＝7，向量eq\o(OB,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为45°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(2).若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m∈R，n∈R)，则n－m＝________.答案eq\f(1,2)解析解法一：作平行四边形OA′CB′，如图所示，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA′,\s\up6(→))＋eq\o(OB′,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，在△OB′C中，∠BOC＝45°，∠OCB′＝α，OC＝eq\r(2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＝\f(sinα,cosα)＝7，,sin2α＋cos2α＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(7\r(2),10)，,cosα＝\f(\r(2),10)，))sin∠OB′C＝sin[180°－(α＋45°)]＝sin(α＋45°)＝eq\f(7\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(4,5).由正弦定理得OB′＝eq\f(OCsin∠OCB′,sin∠OB′C)＝eq\f(\r(2)×\f(7\r(2),10),\f(4,5))＝eq\f(7,4)，B′C＝eq\f(OCsin∠BOC,sin∠OB′C)＝eq\f(\r(2)×\f(\r(2),2),\f(4,5))＝eq\f(5,4).所以OA′＝B′C＝eq\f(5,4)，又|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，所以eq\o(OA′,\s\up6(→))＝eq\f(5,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB′,\s\up6(→))＝eq\f(7,4)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以m＝eq\f(5,4)，n＝eq\f(7,4)，所以n－m＝eq\f(1,2).解法二：由已知条件可知，α为锐角，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＝\f(sinα,cosα)＝7，,sin2α＋cos2α＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(7\r(2),10)，,cosα＝\f(\r(2),10)，))以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设点A在第四象限，因为|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，由已知条件可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),10)，－\f(7\r(2),10)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，C(eq\r(2)，0)，因为eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m∈R，n∈R)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),10)m＋\f(\r(2),2)n＝\r(2)，,－\f(7\r(2),10)m＋\f(\r(2),2)n＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,4)，,n＝\f(7,4).))因此n－m＝eq\f(1,2).(2)(2022·广东清远月考)如图所示，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将eq\o(OB,\s\up6(→))分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.①用a，b表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))；②若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求实数λ的值．解①依题意，A是BC的中点，∴2eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，即eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－b.eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－b－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.②设eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))(0<λ<1)，则eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.∵eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))共线，∴存在实数k，使eq\o(CE,\s\up6(→))＝keq\o(DC,\s\up6(→))，(λ－2)a＋b＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(5,3)b))，解得λ＝eq\f(4,5).应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．1.(2021·青岛市高三上学期期末)在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＋2eq\o(DE,\s\up6(→))＝0，若eq\o(EB,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则()A．y＝2x B．y＝－2xC．x＝2y D．x＝－2y答案D解析如图所示，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，∴点D为边BC的中点．∵eq\o(AE,\s\up6(→))＋2eq\o(DE,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝－2eq\o(DE,\s\up6(→))，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．又eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(EB,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,3)，即x＝－2y.故选D.2.如图，以向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b为邻边作平行四边形OADB，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，用a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→)).解∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)a－\f(1,6)b))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.∵eq\o(OD,\s\up6(→))＝a＋b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.综上，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.考向二平面向量的坐标运算例2(1)(2021·厦门外国语学校模拟)已知点A(－1,1)，B(0,2)，若向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,3)，则向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(3，－2) B．(2，－2)C．(－3，－2) D．(－3,2)答案D解析由已知，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,1)，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,3)－(1,1)＝(－3,2)．(2)(2021·辽宁省辽南协作校二模)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(8,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(8,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(4,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))答案D解析∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－eq\f(1,3)(a－2b)＝－eq\f(1,3)(5＋4×2，－2＋2×3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3))).故选D.(3)(2021·天津和平区模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为()A.eq\f(6,5) B．eq\f(8,5)C．2 D．eq\f(8,3)答案B解析建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0)．不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C(2,0)，A(0，2)，B(1,2)，E(0，1)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－2,2)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1,2)，∵eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2λ＋μ＝－2，,λ＋2μ＝2，))解得λ＝eq\f(6,5)，μ＝eq\f(2,5)，则λ＋μ＝eq\f(8,5).故选B.平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．3.若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，则c可用向量a，b表示为()A．c＝eq\f(1,2)a＋b B．c＝－eq\f(1,2)a－bC．c＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b D．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b答案A解析设c＝xa＋yb，易知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＝2x－y，,\f(5,2)＝x＋2y，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝1.))∴c＝eq\f(1,2)a＋b.故选A.4．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1,3)，若点E满足eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，则点E的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，－\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))答案A解析解法一：易知eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，则3eq\o(EC,\s\up6(→))＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3－3x＝－1，,－3－3y＝－1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2,3)，,y＝－\f(2,3)，))所以点E的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3))).解法二：易知eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－1)，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))得eq\o(OC,\s\up6(→))＝3(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→)))，所以eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3)))，所以点E的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3))).考向三平面向量共线的坐标表示例3(1)已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.答案(3,3)解析解法一：由O，P，B三点共线，可设eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4λ－4,4λ)．又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2,6)，由eq\o(AP,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．解法二：设点P(x，y)，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，因为eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,4)，且eq\o(OP,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))共线，所以eq\f(x,4)＝eq\f(y,4)，即x＝y.又eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－4，y)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,6)，且eq\o(AP,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3,3)．(2)(2021·湖北宜昌一模)已知向量a＝(m,1)，b＝(4－n,2)，m>0，n>0，若a∥b，则eq\f(1,m)＋eq\f(8,n)的最小值为________.答案eq\f(9,2)解析∵a∥b，∴4－n－2m＝0，即2m＋n＝4.∵m>0，n>0，∴eq\f(1,m)＋eq\f(8,n)＝eq\f(1,4)(n＋2m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(8,n)))＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(n,m)＋\f(16m,n)))≥eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋2\r(\f(n,m)·\f(16m,n))))＝eq\f(9,2)，当且仅当4m＝n＝eq\f(8,3)时取等号．所以eq\f(1,m)＋eq\f(8,n)的最小值是eq\f(9,2).利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，那么利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．5.(2021·山东省菏泽市一模)已知向量a，b满足a＝(1,2)，a＋b＝(1＋m,1)，若a∥b，则m＝()A．2 B．－2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)答案D解析b＝(a＋b)－a＝(1＋m,1)－(1,2)＝(m，－1)．因为a∥b，所以2m＋1＝0，解得m＝－eq\f(1,2).故选D.6．(2021·长郡中学高三适应性考试)已知向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，sinα－1)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(2，cosα)，若B，C，D三点共线，则tan(2021π－α)＝________.答案－2解析∵B，C，D三点共线，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝xeq\o(BC,\s\up6(→))＝x(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，即(2，cosα)＝x(4，sinα)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝4x，,cosα＝xsinα，))得x＝eq\f(1,2)，即cosα＝eq\f(1,2)sinα，得tanα＝2，则tan(2021π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－2.一、单项选择题1．向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b＝()A．(－3,4) B．(3,4)C．(3，－4) D．(－3，－4)答案A解析由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b＝eq\f(1,2)(－6，8)＝(－3,4)．2．(2021·山东聊城月考)已知平行四边形ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3,7)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则eq\o(CO,\s\up6(→))的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5))答案D解析因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))，所以eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)).3．(2021·常德模拟)平面向量a与b的夹角为120°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A．4 B．3C．2 D．eq\r(3)答案C解析由题目条件，两向量如图所示，可知b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则|a＋2b|＝|(1，eq\r(3))|＝2.4.如图，在梯形ABCD中，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AD,\s\up6(→))，则2r＋3s＝()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析根据题图，由题意可得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AD,\s\up6(→))，所以r＝eq\f(1,2)，s＝eq\f(2,3)，则2r＋3s＝1＋2＝3.5．(2021·山东淄博市实验中学高三月考)已知点A(8，－1)，B(1，－3)，若点C(2m－1，m＋2)在线段AB上，则实数m＝()A．－12 B．13C．－13 D．12答案C解析因为点C在线段AB上，所以eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))同向．又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－7，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2m－9，m＋3)，故eq\f(2m－9,－7)＝eq\f(m＋3,－2)，解得m＝－13.故选C.6．已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(1，m)，若实数λ满足a＋b＝λc，则λ＋m等于()A．5 B．6C．7 D．8答案B解析由平面向量的坐标运算法则可得a＋b＝(5,5)，λc＝(λ，λm)，据此有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝5，,λm＝5，,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝5，,m＝1，))所以λ＋m＝6.7．(2021·青岛模拟)已知向量a＝(1＋cosx,2)，b＝(sinx,1)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若a∥b，则sinx＝()A.eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(2\r(5),5)答案A解析根据题意，向量a＝(1＋cosx,2)，b＝(sinx,1)，若a∥b，则2sinx＝1＋cosx，变形可得cosx＝2sinx－1，又sin2x＋cos2x＝1，则有sin2x＋(2sinx－1)2＝1，变形可得，5sin2x－4sinx＝0，解得sinx＝0或sinx＝eq\f(4,5)，又x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sinx＝eq\f(4,5).故选A.8．(2022·河北石家庄质检)地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚、耐压、耐磨、防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(5,2)a－eq\f(1,2)b B．－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(3),3)))a－eq\f(\r(3),2)bC．－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(3),3)))a＋eq\f(\r(3),3)b D．－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(3),3)))a－eq\f(\r(3),3)b答案D解析以AB的中点M为坐标原点建立平面直角坐标系，设|AB|＝2，则O(0，eq\r(3))，A(－1,0)，B(1,0)，F(1，2＋2eq\r(3))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－eq\r(3))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，－eq\r(3))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(2,2＋2eq\r(3))．设eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＋μ＝2，,－\r(3)λ－\r(3)μ＝2＋2\r(3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－2－\f(\r(3),3)，,μ＝－\f(\r(3),3)，))所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(3),3)))eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(\r(3),3)eq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(3),3)))a－eq\f(\r(3),3)b.故选D.二、多项选择题9．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→)) D．eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))答案AC解析平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，对于A，eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))不共线，可作为基底；对于B，eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))为共线向量，不可作为基底；对于C，eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))是两个不共线的向量，可作为基底；对于D，eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))在同一直线上，是共线向量，不可作为基底．10．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是()A．－2 B．eq\f(1,2)C．1 D．－1答案ABD解析各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形，故选ABD.11．(2021·广东湛江高三模拟)若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，则下列结论正确的是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b B．eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)bC.eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b D．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a答案ABC解析如图，在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a，故A正确；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，故B正确；eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝－b－a，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)×(－b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故C正确；eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a，故D不正确．故选ABC.12．(2021·日照调研)如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图2)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(包含内部以及边界)，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，则x＋y的取值可能是()A．－6 B．1C．5 D．9答案BC解析设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，求x＋y的范围，只需考虑图中6个向量的情况即可，讨论如下：①若P在A点，∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，∴x＋y＝1＋0＝1；②若P在B点，∵eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，∴x＋y＝0＋1＝1；③若P在C点，∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋2b，∴x＋y＝1＋2＝3；④若P在D点，∵eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＝a＋b＋(a＋2b)＝2a＋3b，∴x＋y＝2＋3＝5；⑤若P在E点，∵eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝a＋b，∴x＋y＝1＋1＝2；⑥若P在F点，∵eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝a＋3b，∴x＋y＝1＋3＝4.∴x＋y的最大值为2＋3＝5.根据对称性，可知x＋y的最小值为－5.故选BC.三、填空题13．(2021·哈尔滨六中二模)已知向量a＝(log2x,1)，b＝(log23，－1)，若a∥b，则x＝________.答案eq\f(1,3)解析因为a∥b，所以－log2x＝log23，所以log2x＋log23＝0，所以log2(3x)＝0，所以3x＝1，所以x＝eq\f(1,3).14．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________.答案(2,4)解析因为在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，所以eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→)).设点D的坐标为(x，y)，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，所以(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))故点D的坐标为(2,4)．15.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,μ)＝________.答案4解析以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设每个小正方形的边长为1个