《备战2023年高考数学一轮复习》课时作业-第十章-第6节-离散型随机变量的数字特征

第6节离散型随机变量的数字特征知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练离散型随机变量的分布列1,8离散型随机变量的期望与方差2,3,4,5,6,710,1114离散型随机变量的分布列、期望与方差的创新应用912,131.已知离散型随机变量X的分布列为X012P0.51-2q13则P(X∈Z)=(A)A.0.9 B.0.8 C.0.7 D.0.6解析:由分布列的性质得0.5+1-2q+13q=1,解得q=0.3,所以P(XP(X=0)+P(X=1)=0.5+1-2×0.3=0.9.故选A.2.已知离散型随机变量X的分布列为X0123P84m1则X的数学期望E(X)=(B)A.23 B.1 C.32解析:由827+49+m+127所以E(X)=0×827+1×49+2×29+33.随机变量X的分布列如表,且E(X)=2,则D(2X-3)=(C)X02aP1p1A.2 B.3 C.4 D.5解析:因为p=1-16-13=所以E(X)=0×16+2×12+a×所以D(X)=(0-2)2×16+(2-2)2×12+(3-2)2×所以D(2X-3)=22D(X)=4.故选C.4.甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习,记两人所选课程相同的门数为X,则E(X)为(B)A.1 B.1.5 C.2 D.2.5解析:X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C63CP(X=1)=C61×C52×C32C0×120+1×920+2×920+35.(多选题)设0<a<1,则随机变量X的分布列是X0a1P111则当a在(0,1)内增大时,(AD)A.E(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大解析:由分布列得E(X)=0×13+a×13+1×13=1D(X)=0-(13a+13)2×13+a-1)=29当0<a<12时,D(X)减小;当1所以D(X)先减小后增大,故选项D正确.故选AD.6.某日A,B两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相同,已知A市或B市至少有一个城市受台风袭击的概率为0.36,若用X表示这一天受台风袭击的城市个数,则E(X)=.

解析:设A,B两市受台风袭击的概率均为p,则A市和B市均不受台风袭击的概率为(1-p)2=1-0.36,解得p=0.2或p=1.8(舍去),则P(X=0)=1-0.36=0.64,P(X=1)=2×0.8×0.2=0.32,P(X=2)=0.2×0.2=0.04,所以E(X)=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4.答案:0.47.(2021·浙江高三模拟)已知箱子中装有10个除颜色不同其他都相同的小球,其中2个红球,3个黑球和5个白球.现从该箱中有放回地依次取出3个小球,若变量ξ为取出3个球中红球的个数,则ξ的方差D(ξ)=.

解析:由题意得,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=8310P(ξ=1)=2×82×P(ξ=2)=22×8×CP(ξ=3)=23103所以E(ξ)=0×5121000+1×3841000+2×96所以D(ξ)=(0-35)2×5121000+(1-35)2×3841000+(2-3581000答案:128.为检测某产品的质量,现抽取5件产品,测量产品中微量元素x,y的含量(单位:mg),测量数据如表,编号12345x169178166175180y7580777081如果产品中的微量元素x,y满足x≥175,且y≥75时,该产品为优等品.现从上述5件产品中随机抽取2件,则抽取的2件产品中优等品数X的分布列为.

解析:5件抽测品中的2件为优等品,则X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=C3P(X=1)=C3P(X=2)=C2所以优等品数X的分布列为X012P0.30.60.1答案:X012P0.30.60.19.一台设备由三个部件组成,假设在一天的运转中,部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3,各部件的状态相互独立.(1)求设备在一天的运转中,部件1,2中至少有1个需要调整的概率;(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X,求X的分布列及数学期望.解:(1)设部件1,2,3需要调整分别为事件A,B,C,由题P(A)=0.1,P(B)=0.2,P(C)=0.3,各部件的状态相互独立,所以部件1,2都不需要调整的概率P(AB)=P(A)P(B)=0.9×1个需要调整的概率为1-P(AB)=1-0.72=0.28.(2)X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.9×0.8P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.1×0.8×0.7+0.9×0.20.7+0.9×0.8×0.3=0.398,P(X=3)=P(ABC)=0.1×0.2×0.3=0.006,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=1-0.504-0.398-0.006=0.092,所以X的分布列为X0123P0.5040.3980.0920.006E(X)=0×0.504+1×0.398+2×0.092+3×0.006=0.6.10.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止,设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为1A.24181 B.26681 C.27481解析:由已知,ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮比赛停止的概率为(23)2+(13)2=若该轮结束时比赛还要继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响.所以P(ξ=2)=59,P(ξ=4)=49×59=2081,P(ξ=6)=(49)59+4×2081+6×168111.(多选题)某学校共有6个学生餐厅,甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同),则下列结论正确的是(ACD)A.四人去了四个不同餐厅就餐的概率为5B.四人去了同一餐厅就餐的概率为1C.四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为25D.四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为2解析:四人去餐厅就餐的情况共有64种,其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有A64种,则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为A6464=518,故A正确;同理,四人去了同一餐厅就餐的概率为6641)=C41×5364ξ01234P5CCC1则四人中去第一餐厅就餐的人数的期望E(ξ)=0×5464+1×C42×5264+3×12.(2021·湖南师大附中模拟)在某校的校园歌手大赛决赛中,有6名参赛选手(1号至6号)登台演出,由现场的100名同学投票选出最受欢迎的歌手,每名同学需彼此独立地在投票器上选出3名候选人,其中甲同学是1号选手的同班同学,必选1号,另在2号至6号选手中随机选2名;乙同学不欣赏2号选手,必不选2号,在其他5名选手中随机选出3名;丙同学对6名选手的演唱没有偏爱,因此在1号至6号选手中随机选出3名.(1)求甲同学选中3号且乙同学未选中3号选手的概率;(2)设3号选手得到甲、乙、丙三名同学的票数之和为X,求X的分布列和数学期望.解:设A表示事件“甲同学选中3号选手”,B表示事件“乙同学选中3号选手”,C表示事件“丙同学选中3号选手”.(1)P(A)=C41C52=2所以甲同学选中3号且乙同学未选中3号选手的概率为P(AB)=P(A)P(B)=25×(1-35)=(2)P(C)=C52CP(X=0)=P(ABC)=(1-25)×(1-35)×(1-12)=35×P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=25×25×12+35×35×12+35P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=25×35×12+25×25×12+35P(X=3)=P(ABC)=25×35×12所以X的分布列为X0123P319193故X的数学期望E(X)=0×325+1×1950+2×1950+3×313.(2021·江苏南通高三模拟)有750粒试验种子需要播种,现有两种方案:方案一,将750粒种子分种在250个坑内,每坑3粒;方案二,将750粒种子分种在375个坑内,每坑2粒.已知每粒种子发芽的概率均为35(1)用X元表示播种费用,分别求出两种方案的数学期望;(2)如果在某块试验田对该种子进行试验,你认为应该选择哪种方案?解:(1)方案一:一个坑内三粒种子都不发芽的概率为p1=(1-35)3=8125,所以一个坑内至少有一粒种子发芽的概率p2=1-p1=用X1元表示一个坑的播种费用,则X1的可能取值是2,3,所以P(X1=2)=p2,P(X1=3)=p1,所以X1的分布列为X123P1178所以E(X1)=2×117125+3×8125=所以E(X)=250E(X1)=250×258125方案二:一个坑内两粒种子都不发芽的概率为p3=(1-35)2=425,所以一个坑内至少有一粒种子发芽的概率p4=1-p3=用X2元表示一个坑的播种费用,则X2的可能取值为2,3,所以P(X2=2)=p4,P(X2=3)=p3,所以X2的分布列为X223P214所以E(X2)=2×2125+3×425=所以E(X)=375E(X2)=375×5425(2)设收益为Y元,方案一:用Y1元表示一个坑的收益,则Y1的可能取值为0,125,Y1的分布列为Y10125P(25)1-(25)所以E(Y1)=0×(25)6+125×[1-(25)6]=所以E(Y)=250E(Y1)=250×15方案二:用Y2元表示一个坑的收益,则Y2的可能取值为0,125,Y2的分布列为Y20125P(25)1-(25)所以E(Y2)=0×(25)4+125×[1-(25)4]=所以E(Y)=375E(Y2)=375×6095因为方案二所需的播种费用比方案一只多了294元,但是收益比方案一多14553元,故应该选择方案二.14.(多选题)已知A=B={1,2,3},分别从集合A,B中各随机取一个数a,b,得到平面上一个点P(a,b),事件“点P(a,b)恰好落在直线x+y=n上”对应的随机变量为X,P(X=n)=Pn,X的数学期望和方差分别为E(X),D(X),则(BCD)A.P4=2P2 B.P(3≤X≤5)=7C.E(X)=4 D.D(X)=4解析:因为A=B={1,2,