2024-2025学年上海浦外附中高一上学期数学期末试卷（2025.01）（含答案）

浦东外国语2024学年第一学期高一年级数学期末2025.1一、填空题（共36分，每題3分）1．角的终边在第_________象限．2．函数的零点为________．3．已知，则方程的解集为________．4．计算________．5．已知函数和其反函数的图像都过点（1，2），则________．6．已知扇形的面积为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为________．7．方程的解是________．8．在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合．若点在角终边上，且，则________．9．设为常数且，在上是严格增函数，则实数的取值范围是________．10．设函数，其表达式为，关于的方程有三个不等实根，，，则的取值范围是________．11．已知函数的值域为，则实数的取值范围为________．12．关于函数，其表达式为，给出下列结论：①函数的图像关于轴对称；②如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数：③方程一定有实数解：以上结论正确的是________．二、选择题（共12分，每题3分）13．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．已知函数的表达式为，用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（）A．， B．，G．， D．，15．已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（）A． B． C． D．216．定义在上的奇函数在区间上是严格减函数，且，则不等式的解集为（）．A． B．C． D．三、解答题（共52分）17．（本题10分）已知函数的表达式．（1）证明：函数在其定义域上是严格减函数；（2）是否存在实数，使得函数是奇函数？并说明理由．18．（本题8分）已知．（1）化简并求；（2）若角为第二象限角，且，求的值．19．（本题10分）学校要建造一个面积为10000平方米的运动场．如图，运动场由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．（1）设半圆的半径（米），试建立塑胶跑道面积与的函数关系式；（2）由于条件限制，问当取何值时，运动场造价最低？（精确到元）．20．（本题12分）已知函数．（1）若恒成立，求的最大值：（2）若在上是严格单调函数，求的取值范围；（3）求在上的最小值为，求．21．（本题12分）若函数在其定义域内给定区间上存在实数满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点．（1）已知函数的表达式是，判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；（2）已知函数的表达式是，若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围：（3）已知函数的表达式是，其中为正整数，函数是区间（为正整数）上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对．参考答案一、填空题1.三;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.①③11．已知函数的值域为，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】当时，，此时；当且时，，此时，又∵，不满足；当且时，，由对勾函数单调性可知在，上严格增，在上严格减，∴，此时，若要满足函数的值域为，只需要，解得；当且时，∵均在上严格增，∴在上严格增，且时，时，此时，此时显然能满足函数的值域为．综上可知，的取值范围是．12．关于函数，其表达式为，给出下列结论：①函数的图像关于轴对称；②如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数：③方程一定有实数解：以上结论正确的是________．【答案】①③【解析】对①，令，解得，可知的定义域为，定义域关于原点对称，且，则为偶函数，

即其图像关于轴对称，故①正确；

对于②：当时，方程只有1个解，故②错误；

对③，当时，则，因为在上单调递增，且恒成立，所以在上单调递减，

当时，则，

因为在上单调递减，且恒成立，所以在上单调递增，

可得的函数图像如下：

方程根的个数即为函数与的交点个数，

由图像可得：当时，函数与函数的图像一定有交点，

由对称性可知，当时，函数与函数的图像也一定有交点，故③正确．故答案为：①③.二、选择题13.A14.D15.B16.D15．已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】函数，作出函数的图象，如图所示：

令，解得或，∵函数的定义域为，值域为，

由图象可得，的最大值为．故选：B．16．定义在上的奇函数在区间上是严格减函数，且，则不等式的解集为（）．A． B．C． D．【答案】D【解析】因为定义在上的奇函数在区间上单调递减，且，所以的图象大致如图所示：由，

①当时，，即或，解得或；

②当时，，即或（舍），解得；

综上，，或或．故选：.三．解答题17.（1）证明略（2）存在，18.（1）（2）19.（1）（2）当时，运动场造价最低，为元.20．（本题12分）已知函数．（1）若恒成立，求的最大值：（2）若在上是严格单调函数，求的取值范围；（3）求在上的最小值为，求．【答案】（1）（2）（3）或5．【解析】已知函数，

（1）由题意得恒成立，则，解得，所以的最大值为．

（2）由题意得图象的对称轴为直线，

所以在上单调递减，在上单调递增．

因为在上单调，所以或，解得或，即的取值范围为

（3）当，即时，在上单调递增，解得，符合题意；

当，即时，在上单调递减，解得，舍去；

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得或，舍去）.故或5．21．（本题12分）若函数在其定义域内给定区间上存在实数满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点．（1）已知函数的表达式是，判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；（2）已知函数的表达式是，若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围：（3）已知函数的表达式是，其中为正整数，函数是区间（为正整数）上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对．【答案】（1）是