2024-2025学年吉林省长春市吉大附中实验学校高三（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省长春市吉大附中实验学校高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.满足{0}⊆M⊆{−1,0,1}的集合M的个数为(

)A.3 B.4 C.7 D.82.双曲线(2x+y)(A.y=±2x B.y=±2x C.y=±x3.若圆台上、下底的面积分别为π，4π，高为2，则圆台的侧面积为(

)A.143π B.7π3 C.34.已知函数f(x)=x3+mx2+x+1A.(−3,3) B.(−5.某校为了宣传青少年身心健康的重要性，随机抽查了高一、高二、高三的100名同学进行了跑步测试，按照最终测试成绩的分数进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，估计该100名同学测试得分的上四分位数为(

)A.82.5 B.81 C.80 D.79.56.在平行四边形ABCD中，已知E，F分别为CD，AD的中点，直线BE，CF交于O，若AB=a,AD=A.12a+34b B.37.记首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，且{Snn}是以2A.100101 B.51100 C.491008.三棱锥A1−ABC中，A1A=BC，D为BC中点，且AD⊥BC，A1D⊥BC，△ABC和△A1BCA.13 B.32 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z1=i40−i，(1−2i)z2=i−3，若a，b∈RA.|z1|=2 B.z2的虚部为−i10.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，f(−π12)=3，f(0)=332A.ω=2

B.φ=2π3

C.f(x−π6)为奇函数

D.当f(x)在11.已知O为坐标原点，抛物线M：y2=2px(p>0)，N：y2=2qx(q>0)，p≠q，点A，B分别在M，N上(均异于点O)，M，N的焦点分别为F1，F2A.λ≠1 B.当λ=2时，p=2q

C.pS△ABF三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，且a1=1，13.若α∈(0,π4)，且sinα，cosα是5x2−7x+14.已知函数f(x)=e3x−aex四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知c=1，a=2，B=π3，D为△ABC外接圆O上一点(A、B、C、D按逆时针方向排列)．

(1)求b及圆O的半径；

(2)求四边形ABCD16.(本小题12分)

在一次聚会临近结束时，公司通过摸球抽奖的方式对优秀员工发放奖金.先在一个密闭不透光的箱子中装入6个标有一定金额的球(除标注的金额不同外，其余均相同)，其中标注的金额为500元、1000元、1500元的球分别有1个、2个、3个，每个优秀员工每次从箱子中随机摸出1个球，记下摸出的球上的金额数，摸m次.规定：摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的奖金总金额．

(1)若m=1，设第一个摸球的优秀员工获得的金额ξ，求ξ的分布列和数学期望；

(2)若m=2，采用有放回方式摸球，设事件X=“一个优秀员工获得的总金额不超过2500元”，事件Y=“一个优秀员工获得的总金额不低于2000元”，求P(Y|X)．17.(本小题12分)

如图四边形ABCD是边长为3的菱形，∠ADC=60°，平面ABCD外的点E，F满足E，F，B，D四点共面，且FD⊥底面ABCD，EF⊥FD．

(1)证明：AE=CE；

(2)若FD=1，EF=4，求EF与平面ACE所成的角的余弦值．18.(本小题12分)

已知函数f(x)=sinxex−a+cosx，其中a<π+ln22．

(1)a=0时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)若方程f(x)=1在区间19.(本小题12分)

已知P(2,1)为椭圆Γ：x28+y22=1上一点，对于Γ上任意两点A，B，我们定义A，B关于P的生成点的形成过程：过P作平行于AB的直线交Γ于异于P的一个点(若A与B重合，则AB为Γ在A处的切线；若AB与P处切线平行，则交点为P)，记为[A,B]P，且对∀n∈N∗，记(n+1)A=[nA,A]P，称{2A⋯nA⋯}为A关于P的生成点列．

(1)已知A(22,0)，B(0,−2)，直接写出[A,B]P和3A的坐标；

(2)若A，B，C∈Γ，且A，B，C均在第一象限，证明：[[A,B]P，C]P参考答案1.B

2.B

3.C

4.D

5.A

6.B

7.D

8.A

9.ACD

10.ABD

11.ABD

12.2

13.314.[415.(1)根据题意可知，b2=a2+c2−2accosB=4+1−2×2×1×12=3，

故b=3，设圆O的半径为R，

根据正弦定理知，2R=bsinB=3sinπ3=2，即R=1．

(2)由(1)知，a2=b2+c2，即A=π216.解：(1)由题意，ξ的所有可能取值为500，1000，1500，

则P(ξ=500)=16，P(ξ=1000)=26=13，ξ50010001500P111Eξ=500×16+1000×13+1500×12=35003．

(2)采用有放回方式摸球，每次摸到500元的概率为p1=16，

每次摸到1000元的概率为p2=13，每次摸到1500元的概率为p3=12，

事件X−包含1种情况，即两次均摸到1500元，故P(X−)=12×1217.解：(1)证明：四边形ABCD是边长为3的菱形，∠ADC=60°，

平面ABCD外的点E，F满足E，F，B，D四点共面，且FD⊥底面ABCD，EF⊥FD，

连接BD，与AC相交于点G，连接EG，

∵四边形ABCD是边长为3的菱形，∴AC⊥BD，且AG=GC，

∵FD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴FD⊥AC，

其中E，F，B，D四点共面

∵BD∩FD=D，BD，FD⊂平面EFDB，

∴AC⊥平面EFDB，

∵EG⊂平面EFDB，∴AC⊥EG，

又AG=GC，由三线合一可知AE=CE；

(2)过点G作GT//FD，交EF于点T，

∵FD⊥底面ABCD，∴TG⊥底面ABCD，

以G为坐标原点，GD，GC，GT所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

∵四边形ABCD是边长为3的菱形，∠ADC=60°，

∴△ADC，△ABC均为等边三角形，

故G(0,0,0),A(0,−32,0),D(32,0,0),B(−32,0,0),C(0,32,0)，

FD=1，EF=4，故F(32,0,1)，

∵FD⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴FD⊥BD，又EF⊥FD，∴BD//EF，

其中BD=(3,0,0)，设EF=mBD=(3m,0,0)，

设E(a,b,c)，则(32−a,−b,1−c)=(3m,0,0)，

解得a=32−3m,b=0,c=1，故E(32−3m,0,1)，

又EF=4，故3m=4，解得m=43，故E(−52,0,1)，EF=(4,0,0)，

AC=(0,3,0),AE18.解：(1)a=0时，f(x)=sinxex+cosx，f(0)=sin0e0+cos0=0，

f′(x)=cosx(ex+cosx)−sinx(ex−sinx)(ex+cosx)2=(cosx−sinx)ex+1(ex+cosx)2，

故f′(0)=1+1(1+1)2=12，又f(0)=sin0e0+cos0=0，

故切线方程为y−0=12(x−0)，即x−2y=0；

(2)f(x)=1，即sinxex−a+cosx=1，所以ex−a=sinx−cosx>0，

又x∈(0,π)，所以x∈(π4,π)，

a=x−ln(sinx−cosx)，x∈(π419.解：(1)设[A,B]P=M，

易知kAB=12，

所以过点P且与AB平行的直线为y−1=12(x−2)，

即x−2y=0，

易知直线x−2y=0与椭圆交点为(−2,−1)，

即[A,B]P=(−2，−1)；

因为A(22,0)，

所以2A=[A,A]P，

易知椭圆在点A处的切线方程为x=22，

过点P(2,1)作此切线的平行线x=2交椭圆于点(2,−1)(异于点P)；

则2A=[A,A]P=(2，−1)，

设N(2,−1)，

易知kNA=2+12，

设过点P且与直线NA平行的直线方程为y−1=2+12(x−2)，椭圆在该点处的切线方程为y+1=k(x−2)，

联立x28+y22=1y−1=2+12(x−2)，

解得x=0，y=−2，

则3A=[2A,A]P=(0,−2)，

故[A,B]P=(−2，−1)，3A=(0,−2)；

(2)证明：若A，B，C∈Γ，且A，B，C均在第一象限，

设R(x,y)为椭圆Γ上一点，

设x=22cosαy=2sinα，α∈[0,2π)，下面记R对应的参数α=R，

因为P(2,1)，

所以P=π4，

所以[A,B]P∈(−π4,3π4)，[B,C]P∈(−π4,3π4)，[A,C]P∈(−π4,3π4)，

若Ai在椭圆Γ上，

设Ai(22cosαi,2sinαi)