慈溪高一竞赛题数学试卷

慈溪高一竞赛题数学试卷一、选择题

1.若函数$f(x)=\frac{x^3-3x^2+4x-4}{x-2}$的定义域为$\{x|x\neq2\}$，则$f(x)$的图像与$x$轴的交点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$，若$A(x_1,f(x_1))$，$B(x_2,f(x_2))$，$C(x_3,f(x_3))$是$f(x)$图像上的三个不同的点，且$x_1+x_2+x_3=0$，则$f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)=（）$

A.0B.3C.6D.9

3.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$处的切线斜率为2，且$f(2)=4$，$f(3)=9$，则下列方程组中正确的是（）

A.$\begin{cases}f'(1)=2\\f(2)=4\\f(3)=9\end{cases}$

B.$\begin{cases}f'(1)=2\\f(2)=3\\f(3)=8\end{cases}$

C.$\begin{cases}f'(1)=2\\f(2)=8\\f(3)=9\end{cases}$

D.$\begin{cases}f'(1)=2\\f(2)=9\\f(3)=8\end{cases}$

4.已知数列$\{a_n\}$是等差数列，且$a_1=2$，$a_3=6$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为（）

A.$a_n=3n-1$B.$a_n=2n+1$C.$a_n=3n-2$D.$a_n=2n-1$

5.若函数$f(x)=\frac{x^3-3x^2+4x-4}{x-2}$的图像与直线$y=2$有3个交点，则实数$a$的取值范围是（）

A.$a<-1$或$a>3$B.$a<-1$或$a>3$C.$a<-3$或$a>1$D.$a<-3$或$a>1$

6.已知数列$\{a_n\}$是等比数列，且$a_1=2$，$a_3=8$，则数列$\{a_n\}$的公比为（）

A.2B.$\frac{1}{2}$C.4D.$\frac{1}{4}$

7.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像与$x$轴有2个交点，且$f(1)=3$，$f(2)=7$，则下列方程组中正确的是（）

A.$\begin{cases}f(1)=3\\f(2)=7\\f'(1)=0\end{cases}$

B.$\begin{cases}f(1)=3\\f(2)=7\\f'(2)=0\end{cases}$

C.$\begin{cases}f(1)=7\\f(2)=3\\f'(1)=0\end{cases}$

D.$\begin{cases}f(1)=7\\f(2)=3\\f'(2)=0\end{cases}$

8.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-4$，若$f(x_1)=f(x_2)$，$x_1\neqx_2$，则下列结论正确的是（）

A.$x_1+x_2=3$B.$x_1+x_2=4$C.$x_1+x_2=5$D.$x_1+x_2=6$

9.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像与$x$轴有3个交点，且$f(1)=0$，$f(2)=0$，则下列方程组中正确的是（）

A.$\begin{cases}f(1)=0\\f(2)=0\\f'(1)=0\end{cases}$

B.$\begin{cases}f(1)=0\\f(2)=0\\f'(2)=0\end{cases}$

C.$\begin{cases}f(1)=0\\f(2)=0\\f'(1)=0\end{cases}$

D.$\begin{cases}f(1)=0\\f(2)=0\\f'(2)=0\end{cases}$

10.已知数列$\{a_n\}$是等差数列，且$a_1=3$，$a_3=9$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为（）

A.$a_n=3n-2$B.$a_n=3n+2$C.$a_n=3n-1$D.$a_n=3n+1$

二、判断题

1.函数$y=x^3$的图像关于$y$轴对称。（）

2.如果两个函数在某个区间内单调递增，那么它们的和函数也在该区间内单调递增。（）

3.等差数列的通项公式可以表示为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差。（）

4.对于任意实数$x$，不等式$x^2\geq0$恒成立。（）

5.如果函数$f(x)$在区间$(a,b)$内连续，且$f(a)>0$，$f(b)<0$，那么在区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=0$。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=\sqrt{x^2-4}$的定义域为$[a,b]$，则$a=$________，$b=$________。

2.已知数列$\{a_n\}$是等比数列，且$a_1=3$，$a_3=27$，则该数列的公比$q=$________。

3.函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-4$的图像与$x$轴的交点坐标为________。

4.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上，且顶点坐标为$(h,k)$，则$a=$________，$h=$________。

5.已知数列$\{a_n\}$是等差数列，且$a_1=5$，$a_5=15$，则该数列的前10项和$S_{10}=$________。

四、简答题

1.简述一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta=b^2-4ac$的意义，并说明当$\Delta>0$，$\Delta=0$和$\Delta<0$时，方程的解的情况。

2.请解释函数$y=\frac{1}{x}$在$x=0$处的连续性和可导性，并说明为什么在$x=0$处函数不可导。

3.给定数列$\{a_n\}$，其中$a_1=1$，$a_n=2a_{n-1}+1$，求出数列的前5项。

4.证明：对于任意实数$x$，不等式$x^2\geq0$恒成立。

5.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-4$，求函数的极值点，并说明极值的类型（极大值或极小值）。

五、计算题

1.计算函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-4$的导数$f'(x)$，并求出$f'(x)=0$时的$x$值。

2.已知函数$g(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求$g(x)$在$x=0$处的导数$g'(0)$。

3.数列$\{a_n\}$是等比数列，其中$a_1=2$，公比$q=3$，求该数列的前10项和$S_{10}$。

4.解一元二次方程$x^2-5x+6=0$，并写出解的表达式。

5.已知函数$h(x)=\sqrt{x}$，求$h(x)$在区间$[0,4]$上的定积分$\int_0^4h(x)\,dx$。

六、案例分析题

1.案例分析题：某公司生产一批产品，已知生产第$x$个产品时的总成本为$C(x)$，且$C(1)=10$，$C'(1)=2$。若生产第$x$个产品时的平均成本为$A(x)$，求$A(x)$的表达式，并分析生产第10个产品时的平均成本与生产第1个产品时的平均成本的关系。

2.案例分析题：某商品的价格$P$与其需求量$x$之间存在关系$P=100-2x$。假设该商品的市场总需求为$Q=400$，求：

(a)当价格$P=60$时，市场的需求量$x$；

(b)若商品的边际成本为每单位5元，求该商品的最大利润。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批产品，每生产一个产品需要固定成本和变动成本。已知固定成本为每天$100$元，变动成本为每个产品$10$元。如果工厂每天生产的产品数量为$x$个，总利润$L(x)$可以表示为$L(x)=(售价-变动成本)x-固定成本$。如果售价定为每个产品$20$元，求工厂每天生产多少个产品时，利润最大。

2.应用题：某公司销售一种产品，销售量$Q$与价格$P$之间的关系为$Q=200-2P$。公司的总成本包括固定成本$500$元和每单位产品的变动成本$5$元。求：

(a)当价格为$10$元时，公司的总利润；

(b)公司应如何定价才能使利润最大化。

3.应用题：一个湖泊中鱼的种群数量随时间$t$（以年为单位）变化的函数为$N(t)=50e^{0.1t}$，其中$N(t)$是时间$t$时的鱼的数量。假设鱼的数量每年以10%的速率减少，求：

(a)初始时刻（$t=0$）的鱼的数量；

(b)若要使鱼的数量保持在初始数量的50%，需要多少年？

4.应用题：一个物体的位移$s$随时间$t$（以秒为单位）变化的函数为$s(t)=t^2-4t+4$。求：

(a)物体从静止开始运动到速度为0所需的时间；

(b)物体运动的总路程。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.B

2.A

3.A

4.A

5.C

6.A

7.A

8.C

9.A

10.A

二、判断题

1.×

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空题

1.$a=-2$，$b=2$

2.3

3.$(1,0)$，$(2,0)$

4.$a>0$，$h=1$

5.110

四、简答题

1.判别式$\Delta=b^2-4ac$的意义在于它决定了二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况。当$\Delta>0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta<0$时，方程没有实数根，只有两个共轭复数根。

2.函数$y=\frac{1}{x}$在$x=0$处连续，因为$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}=\infty$，但函数在$x=0$处不可导，因为导数的定义$\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$在$x=0$处不存在。

3.数列的前5项为：1,3,7,15,31。

4.不等式$x^2\geq0$对于任意实数$x$恒成立，因为任何实数的平方都是非负的。

5.极值点为$x=1$和$x=2$，其中$x=1$是极大值点，$x=2$是极小值点。

五、计算题

1.$f'(x)=3x^2-6x+4$，$f'(x)=0$时，$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。

2.$g'(0)$不存在，因为导数的定义$\lim_{h\to0}\frac{g(0+h)-g(0)}{h}$在$x=0$处不存在。

3.$S_{10}=2^1+2^2+2^3+...+2^{10}=2^{11}-2=2046$。

4.$x=2$或$x=3$。

5.$\int_0^4\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}\bigg|_0^4=\frac{2}{3}(4^{3/2}-0^{3/2})=\frac{2}{3}(8-0)=\frac{16}{3}$。

六、案例分析题

1.$A(x)=\frac{L(x)}{x}=\frac{(20-10)x-100}{x}=10-10+\frac{100}{x}=10+\frac{100}{x}$。当$x=10$时，$A(x)$最大。

2.(a)当$P=10$时，$Q=200-2(10)=180$。

(b)利润$L(P)=PQ-(500+5Q)=100P-5Q-500$。当$L(P)$最大时，$P=10$，此时$L(P)=500$。

3.(a)初始时刻的鱼的数量$N(0)=50e^{0.1\times0}=50$。

(b)要使鱼的数量保持在初始数量的50%，即$N(t)=25$，解方程$25=50e^{0.1t}$得$t=10$年。

4.(a)物体的速度$v(t)=s'(t)=2t-4$，当$v(t)=0$时，$t=2$秒。

(b)物体的总路程为$s(t)=\int_0^tv(t)\,dt=\int_0^t(2t-4)\,dt=t^2-4t+C$。由于物体从静止开始，$C=0$，所以总路程为$s(t)=t^2-4t$。当$t=2$秒时，总路程为$s(2)=2^2-4\times2=4-8=-4$，但由于路程不能为负，所以实际总路程为$0$。

知识点总结：

1.函数的连续性和可导性：连续性是函数在某点附近的变化趋势保持不变，可导性是函数在某点附近的变化率保持不变。

2.判别式和二次方程：判别式决定了二次方程根的情况，二次方程的根可以是实数也可以是复数。

3.数列和等差/等比数列：数列是由一系列有序的数组成的，等差数列和等比数列是常见的数列类型。

4.不等式和函数图像：不等式可以用来描述数之间的关系，函数图像可以直观地表示函数的性质。

5.极值和导数：极值是函数在某点附近的局部最大值或最小值，导数可以用来研究函数的变化率。

6.积分和定积分：积分可以用来计算面积、体积等，定积分可以用来计算函数在一定区间上的累积效果。

7.应用题：应用题是将数学知识应用到实际问题中，需要学生具备分析问题和解决问题的能力。

题型知识点详解及示例：

1.选择题：考