2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.6.2函数y=Asinωxφ二课时素养评价含解析新人教A版必修第一册

PAGE13-函数y=Asin(ωx+φ)(二)(15分钟30分)1.函数y=sinQUOTE在区间QUOTE上的简图是 ()【解析】选A.当x=0时，y=sinQUOTE=-QUOTE<0，解除B、D.当x=QUOTE时，sinQUOTE=sin0=0，解除C.2.下列函数中，图象关于直线x=QUOTE对称的是()A.y=sinQUOTE B.y=sinQUOTEC.y=sinQUOTE D.y=sinQUOTE【解析】选B.当x=QUOTE时，仅有选项B中的函数y=sinQUOTE取得最值，故函数y=sin2x-QUOTE的图象关于直线x=QUOTE对称.3.将函数f(x)=2cosQUOTE图象上全部点的横坐标缩短到原来的QUOTE(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则函数y=g(x)的图象的一个对称中心是()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由题意g(x)=2cosQUOTE，令2x+QUOTE=QUOTE+kπ，k∈Z，解得x=QUOTE+QUOTE，k∈Z，当k=1时，x=QUOTE，故函数y=g(x)的图象的一个对称中心是QUOTE.4.y=2sinQUOTE的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______.

【解析】由函数图象知两条相邻对称轴之间的距离为半个周期，即QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE5.已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为QUOTE，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点QUOTE，且φ∈QUOTE.(1)试求这条曲线的函数解析式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在QUOTE上的图象.【解析】(1)由题意知A=QUOTE，T=4×QUOTE=π，ω=QUOTE=2，所以y=QUOTEsin(2x+φ).又因为sinQUOTE=1，所以QUOTE+φ=2kπ+QUOTE，k∈Z，所以φ=2kπ+QUOTE，k∈Z，又因为φ∈QUOTE，所以φ=QUOTE，所以y=QUOTEsinQUOTE.(2)列出x，y的对应值表：x-QUOTEQUOTEπQUOTEπQUOTEπ2x+QUOTE0πQUOTEπ2πy00-QUOTE0描点、连线，如图所示：(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.函数y=8sinQUOTE取最大值时，自变量x的取值集合是 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选B.因为y的最大值为8，此时sinQUOTE=1，即6x+QUOTE=2kπ+QUOTE(k∈Z)，所以x=QUOTE+QUOTE(k∈Z).2.若将函数y=sinQUOTE的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移QUOTE个单位，则所得函数g(x)图象的一个对称中心为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.将y=sinQUOTE的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可以得到y=sinQUOTE=sinQUOTE的图象，再向右平移QUOTE个单位可以得到y=sinQUOTE=sinQUOTE的图象，因此g(x)=sinQUOTE，将各选项中的横坐标代入，只有当x=QUOTE时，gQUOTE=sin0=0.3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)QUOTE的部分图象如图所示，则φ= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由题图可知A=2，T=4×QUOTE=π，故ω=2，又fQUOTE=2，所以2×QUOTE+φ=QUOTE+2kπ(k∈Z)，故φ=2kπ+QUOTE，又|φ|<QUOTE，所以φ=QUOTE.【补偿训练】同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x=QUOTE对称；③在QUOTE上单调递增”的一个函数是 ()A.y=sinQUOTEB.y=cosQUOTEC.y=sinQUOTED.y=cosQUOTE【解析】选C.由①知T=π=QUOTE，ω=2，解除A.由②③知x=QUOTE时，f(x)取最大值，验证知只有C符合要求.4.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0).若f(x)在区间QUOTE上具有单调性，且fQUOTE=fQUOTE=-fQUOTE，则f(x)的最小正周期为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.π D.QUOTE【解析】选C.因为fQUOTE=fQUOTE，所以x=QUOTE=QUOTE为函数f(x)的图象的一条对称轴.因为fQUOTE=-fQUOTE，f(x)在区间QUOTE上具有单调性，所以x=QUOTE-QUOTE=QUOTE为f(x)图象的一条对称轴，且与x=QUOTE相邻，故函数f(x)的最小正周期T=2×QUOTE=π.【误区警示】留意fQUOTE=fQUOTE=-fQUOTE，不要理解成了fQUOTE=fQUOTE=fQUOTE.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.函数y=QUOTEsinQUOTE的图象的对称轴是 ()A.x=QUOTE B.x=-QUOTEC.x=QUOTE D.x=-QUOTE【解析】选BCD.由x-QUOTE=kπ+QUOTE，k∈Z，解得x=kπ+QUOTE，k∈Z，当k=-1时，x=-QUOTE；当k=0时，x=QUOTE；当k=-2时，x=-QUOTE.【光速解题】函数在对称轴处取得最值，将选择项逐项代入验证即可.6.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0，ω>0，|φ|<QUOTE的部分图象，将函数f(x)的图象向右平移QUOTE个单位长度得到g(x)的图象，给出下列四个说法中正确的有 ()A.函数f(x)的解析式为f(x)=2sinQUOTEB.g(x)的一条对称轴的方程可以为x=-QUOTEC.对于实数m，恒有fQUOTE=fQUOTED.f(x)+g(x)的最大值为2【解析】选AB.由图象知，A=2，QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE，即T=π，则QUOTE=π，得ω=2，依据题意，由五点对应法得2×QUOTE+φ=2π，φ=QUOTE，则f(x)=2sinQUOTE，故A正确，当x=QUOTE时，fQUOTE=2sinπ=0，则函数关于x=QUOTE不对称，故C错误，将函数f(x)的图象向右平移QUOTE个单位长度得到g(x)的图象，即g(x)=2sinQUOTE=2sin2x，当x=-QUOTE时，gQUOTE=2sinQUOTE=-2为最小值，则x=-QUOTE是函数g(x)的一条对称轴，故B正确，f(x)+g(x)=2sinQUOTE+2sin2x=2sin2xcosQUOTE+2cos2xsinQUOTE+2sin2x=3sin2x+QUOTEcos2x=2QUOTEsinQUOTE，则f(x)+g(x)的最大值为2QUOTE，故D错误.三、填空题(每小题5分，共10分)7.某同学利用描点法画函数y=Asin(ωx+φ)QUOTE的图象，列出的部分数据如表：x01234y101-1-2经检查，发觉表格中恰有一组数据计算错误，请你依据上述信息推断函数y=Asin(ωx+φ)的解析式应是_______.

【解题指南】画出题表所列点的散点图，解除错误数据，依据正确数据求出函数解析式.【解析】在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示.依据函数图象的大致走势，可知点(1，0)不符合题意；又因为0<A≤2，函数图象过(4，-2)，所以A=2.因为函数图象过(0，1)，所以2sinφ=1，又因为-QUOTE<φ<QUOTE，所以φ=QUOTE，由(0，1)，(2，1)关于直线x=1对称，知x=1时函数取得最大值2，因此函数的最小正周期为6.所以ω=QUOTE.答案：y=2sinQUOTE【补偿训练】已知函数y=2sin(ωx+φ)QUOTE在一个周期内，当x=QUOTE时有最大值2，当x=QUOTE时有最小值-2，则ω=_______，φ=_______.

【解析】由题意知，T=2×QUOTE=π，所以ω=QUOTE=2；又因为当x=QUOTE时有最大值2.所以fQUOTE=2sinQUOTE=2sinQUOTE=2，所以QUOTE+φ=QUOTE+2kπ，k∈Z，又|φ|≤QUOTE，所以φ=QUOTE.答案：2QUOTE8.当-QUOTE≤x≤QUOTE时，函数f(x)=QUOTEsinQUOTE的最大值是_______，最小值是_______.

【解析】因为-QUOTE≤x≤QUOTE，所以-QUOTE≤x+QUOTE≤QUOTEπ.因为当x+QUOTE=-QUOTE，即x=-QUOTE时，f(x)min=-QUOTE，当x+QUOTE=QUOTE，即x=QUOTE时，f(x)max=QUOTE.答案：QUOTE-QUOTE四、解答题(每小题10分，共20分)9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0，ω>0，-QUOTE<φ<QUOTE一个周期的图象如图所示，(1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值；(2)求函数f(x)的解析式、单调递增区间.【解析】(1)由题图知，函数f(x)的最小正周期为T=4×QUOTE=π，函数的最大值为1，最小值为-1.(2)T=QUOTE，则ω=2，又x=-QUOTE时，y=0，所以sinQUOTE=0，而-QUOTE<φ<QUOTE，则φ=QUOTE，所以函数f(x)的解析式为f(x)=sinQUOTE，由2kπ-QUOTE≤2x+QUOTE≤2kπ+QUOTE，k∈Z，得kπ-QUOTE≤x≤kπ+QUOTE，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为QUOTE，k∈Z.10.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π).(1)若函数f(x)=sin(2x+φ)为偶函数，求φ的值；(2)若函数f(x)=sin(2x+φ)关于x=QUOTE对称，求出φ的值及f(x)的对称轴方程及对称中心.【解析】(1)因为f(x)为偶函数，所以φ=kπ+QUOTE，k∈Z，又φ∈(0，π)，所以φ=QUOTE.(2)因为f(x)=sin(2x+φ)关于x=QUOTE对称，所以f(0)=fQUOTE，即sinφ=sinQUOTE=cosφ，所以tanφ=1，φ=kπ+QUOTE(k∈Z).又φ∈(0，π)，所以φ=QUOTE，所以f(x)=sinQUOTE.由2x+QUOTE=kπ+QUOTE(k∈Z)，得x=QUOTE+QUOTE(k∈Z)，由2x+QUOTE=kπ，得x=QUOTE-QUOTE(k∈Z)，所以f(x)的对称轴方程为x=QUOTE+QUOTE(k∈Z)，对称中心为QUOTE(k∈Z).1.已知函数f(x)=|Acos(x+φ)+1|A>0，|φ|<QUOTE的部分图象如图所示，则()A.A=2，φ=QUOTE B.A=3，φ=QUOTEC.A=2，φ=QUOTE D.A=3，φ=QUOTE【解析】选C.由题图知：A=QUOTE=2，又f(0)=|2cosφ+1|=2，所以cosφ=QUOTE或cosφ=-QUOTE(舍)，因为|φ|<