2024-2025学年高中数学第二章平面向量及其应用5.1向量的数量积课后习题含解析北师大版必修第二册

PAGE§5从力的做功到向量的数量积5.1向量的数量积课后篇巩固提升基础达标练1.(2024山东高一月考)若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为120°,则a在b方向上的投影数量为()A.-2 B.3 C.-23 D.2解析因为|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为120°,所以a在b方向上的投影数量为|a|cos<a,b>=4×cos120°=-2.故选A.答案A2.(2024北京高一期末)已知矩形ABCD中,AB=2,BC=1,则AB·AC=(A.1 B.2 C.3 D.4解析由向量的投影的几何意义及图象可知:AC在AB方向上的投影数量为|AB|=2,故AB·AC=|AB|2=4答案D3.(2024北京十五中高三期中)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析若存在负数λ,使m=λn,则两向量m,n反向,夹角是180°,此时m·n=|m||n|cos180°=-|m||n|<0;若m·n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不肯定反向,所以是充分而不必要条件.故选A.答案A4.(2024山东济南一中高三期中)已知等边三角形ABC的边长为1,设BC=a,CA=b,AB=c,那么a·b+b·c+c·a=()A.3 B.-3 C.32 D.-解析a·b+b·c+c·a=1×1×cos120°+1×1×cos120°+1×1×cos120°=-32.故选D答案D5.(多选)对随意平面对量a,b,c,下列说法正确的是()A.若a·b=b·c,则a=cB.若a=b,b=c,则a=cC.|a|-|b|<|a|+|b|D.|a·b|≤|a||b|解析对于A,反例b=0,则a与c不肯定相等,所以A不正确;由向量相等的充要条件,可知B正确;对于C,若b=0,则不等式不成立,所以C不正确;|a·b|=|a||b||cos<a,b>|≤|a||b|,所以D正确.故选BD.答案BD6.已知△AOB为等腰直角三角形,OA=1,OC为斜边的高.(1)若P为线段OC的中点,则AP·OP=(2)若P为线段OC上的动点,则AP·OP的取值范围为解析(1)AP·OP=-OA+12OC·12OC=-12(2)设OP=λOC(0≤λ≤1),AP·OP=-λOA·OC+λ2|OC|2=-λ2+λ2答案(1)-18(2)-18,07.(2024山东微山其次中学高一月考)已知向量a,b的夹角为2π3,|a|=1,|b|=(1)求a·b的值;(2)若2a-b和ta+b垂直,求实数t的值.解(1)a·b=|a||b|cos2π3=1×2×-12=-1(2)因为2a-b和ta+b垂直,所以(2a-b)·(ta+b)=0,整理得2t|a|2+(2-t)a·b-|b|2=0,即2t-(2-t)-4=0,解得t=2.实力提升练1.(2024山东鄄城第一中学高一月考)在梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥AB,AD=2,则BC·AD=(A.-1 B.1 C.2 D.2解析因为四边形ABCD为直角梯形,所以BC在AD方向上的投影数量为由数量积的几何意义可知,BC·AD=(2)2=2.故选答案D2.(2024陕西高三(文))在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满意AP=2PM,则PA·(PB+PC)等于(A.49 B.-49 C.43 D解析因为M是BC的中点,所以AM是BC边上的中线.又点P在AM上且满意AP=2PM,所以P是△ABC的重心,所以PA·(PB+=PA·AP=-|PA|因为AM=1,所以|PA|=23所以PA·(PB+PC)=-49.答案B3.(2024海南高三)在△ABC中,AB=5,BC=6,AC=7,点E为BC的中点,过点E作EF⊥BC交AC所在直线于点F,则向量AF在向量BC方向上的投影数量为()A.2 B.32 C.1 D.解析因为点E为BC的中点,所以AF=AE+EF又因为EF⊥BC,所以AF·BC=12(AB+AC)·BC=12(AB+AC)·(AC-AB答案A4.(2024天津静海一中高一月考)如图,在△ABC中,AD⊥AB,BC=3BD,|AD|=2,则AC·A.23 B.43C.3 D.3解析依据向量的线性运算,结合平面对量数量积的定义可得AC·AD=(AB+=AB·由AD⊥AB,可知AB·AD又因为BC=3BD,|所以AC=3|BD|·|AD|·cos=3×2×|BD|×2|BD|=43.答案B5.(2024甘肃天水第一中学高三月考(文))已知e1,e2为单位向量且夹角为π3,设a=e1+e2,b=e2,则a在b方向上的投影数量为.解析由题可知|e1|=|e2|=1,<e1,e2>=π3因为a·b=(e1+e2)·e2=e1·e2+e2·e2=12+1=3|b|=1,所以a在b方向上的投影数量为|a|cos<a,b>=a·答案36.(2024山东高三开学考试)如图,在半径为r的定圆C中,A为圆上的一个定点,B为圆上的一个动点,若AB+AC=AD,且点D在圆C上,则AB解析因为AB+AC=AD,所以四边形ABDC为平行四边形.又AC=CD=CB=r,所以∠所以AB·AC=r×r×cos60°=答案r素养培优练(多选)下列说法中正确的是()A.若非零向量a,b满意|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30°B.若a·b>0,则a,b的夹角为锐角C.若AB·AB=AB·ACD.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若AB+AC=2AO,且|OA|=|CA|,则向量BA在向量BC解析对于A,由向量减法法则及题意知,向量a,b,a-b可以组成一个等边三角形,向量a,b的夹角为60°,又由向量加法的平行四边形法则知,以a,b为邻边的平行四边形为菱形,所以a与a+b的夹角为30°,故选项A中说法正确.对于B,当a=b≠0时不成立,故选项B中说法错误.对于C,因为AB·所以AB·AB=AB·(AC-BC)-AC·CB所以△ABC是直角三角形,故选项C中说法正确.对于D,如图,其中四边形ABDC为平行四边形,因为AB+AC=2AO,所以O为AD,B