2024-2025学年高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.2.1对数及其运算第1课时对数的概念学案新人教B版必修1

PAGEPAGE1第1课时对数的概念1．了解对数的概念．2．会用对数的定义进行对数式与指数式的互化．3．理解和驾驭对数的性质，会求简洁的对数值．1．对数的定义及相关概念(1)在指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)中，幂指数x叫做以a为底y的对数．(2)对于指数式ab＝N，把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0且__a≠1)，其中数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b__等于以a为底N的对数”．(3)对数恒等式a__logaN＝N．2．对数logaN(a>0，且a≠1)的基本性质性质10和负数没有对数，即N>0性质21的对数为0，即loga1＝0性质3底数的对数等于1，即logaa＝13．常用对数以10为底的对数叫做常用对数，通常把log10N记作lg_N．1．假如aeq\s\up6(\f(1,2))＝b(a>0，且a≠1)，则()A．logaeq\f(1,2)＝b B．logab＝eq\f(1,2)C．logeq\s\do9(\f(1,2))a＝b D．logeq\s\do9(\f(1,2))b＝a答案：B2．式子2log23的值是()A．eq\r(3) B．eq\f(1,3)C．eq\r(3,3) D．3答案：D3．log2(log33)＝______．答案：04．为什么零和负数没有对数？解：在logaN＝b中，必需N>0，这是由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab＝N中，N总是正数．对数式与指数式的互化将下列指数式与对数式互化．(1)log216＝4;(2)logeq\s\do9(\f(1,3))27＝－3；(3)logeq\r(3)x＝6;(4)43＝64；(5)3－2＝eq\f(1,9)；(6)(eq\f(1,4))－2＝16．【解】(1)因为log216＝4，所以24＝16；(2)因为logeq\s\do9(\f(1,3))27＝－3，所以(eq\f(1,3))－3＝27；(3)因为logeq\r(3)x＝6，所以(eq\r(3))6＝x；(4)因为43＝64，所以log464＝3；(5)因为3－2＝eq\f(1,9)，所以log3eq\f(1,9)＝－2；(6)因为(eq\f(1,4))－2＝16，所以logeq\s\do9(\f(1,4))16＝－2．eq\a\vs4\al()把下列指数式与对数式互化．(1)26＝64；(2)(2＋eq\r(3))－1＝2－eq\r(3)；(3)104＝10000；(4)log327＝3；(5)log0．10．01＝2．解：(1)log264＝6；(2)log2＋eq\r(3)(2－eq\r(3))＝－1；(3)lg10000＝4；(4)33＝27；(5)0．12＝0．01．对数恒等式计算下列各式：(1)2eq\f(1,2)logeq\r(2)5；(2)22＋log25．【解】(1)法一：设2eq\f(1,2)logeq\r(2)5＝eq\r(2)eq\a\vs4\al(log)eq\r(2)5＝x，则logeq\r(2)x＝logeq\r(2)5，所以x＝5，即2eq\f(1,2)logeq\r(2)5＝5．法二：2eq\f(1,2)logeq\r(2)5＝eq\r(2)eq\a\vs4\al(log)eq\r(2)5＝5．(2)22＋log25＝22·2log25＝4×5＝20．eq\a\vs4\al()对数恒等式alogaN＝N的应用(1)能干脆应用对数恒等式的干脆求值即可．(2)对于不能干脆应用对数恒等式的状况按以下步骤求解．计算：31＋log36－24＋log23＋103lg3．解：原式＝31·3log36－24·2log23＋(10lg3)3＝3×6－16×3＋33＝18－48＋27＝－3．对数基本性质的应用求下列各式的值：(1)lg1；(2)log(2－eq\r(3))(2＋eq\r(3))－1；(3)log327．【解】(1)因为100＝1，所以lg1＝0．(2)因为(2＋eq\r(3))－1＝eq\f(1,2＋\r(3))＝2－eq\r(3)，所以log(2－eq\r(3))(2＋eq\r(3))－1＝log(2－eq\r(3))(2－eq\r(3))＝1．(3)设log327＝x，则由指数式和对数式的关系可得3x＝27，即3x＝33，所以x＝3．即log327＝3．若把本例中的(2)改为log(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))－1，又如何计算呢？解：因为(2－eq\r(3))－1＝eq\f(1,2－\r(3))＝2＋eq\r(3)，所以log(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))－1＝log(2＋eq\r(3))(2＋eq\r(3))＝1．eq\a\vs4\al()利用对数性质求值的方法(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．1．正确理解对数的概念(1)底数大于0且不等于1，真数大于0．(2)明确指数式和对数式的区分和联系，以及二者的相互转化．2．实质上，对数表达式，不过是指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log381这两个式子表达的是同一关系，因此，有关系式ax＝N⇔x＝logaN．3．“log”同“＋”“×”“eq\r()”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．对数式与指数式的互化是在解决对数问题时运用化归思想的桥梁．因此，在刚起先学习对数问题时，我们可以把它转化为指数问题，利用分数指数幂的有关运算性质及其方法技巧来解决问题；反过来我们也可以把较困难的指数式的有关问题转化为对数问题，从而使问题得到简捷的解法．1．若x＝y2(y＞0，y≠1)，则()A．log2x＝y B．log2y＝xC．logxy＝2 D．logyx＝2答案：D2．logab＝1成立的条件是()A．a＝b B．a＝b，且b＞0C．a＞0，且a≠1 D．a＞0，a＝b≠1答案：D3．若log3eq\f(1－2x,9)＝0，则x＝________．答案：－44．若2log3x＝eq\f(1,4)，则x等于________．解析：因为2log3x＝eq\f(1,4)＝2－2，所以log3x＝－2，所以x＝3－2＝eq\f(1,9)．答案：eq\f(1,9)[A基础达标]1．把对数式x＝lg2化成指数式为()A．10x＝2 B．x10＝2C．x2＝10 D．2x＝10解析：选A．lg2＝log102，即对数式为x＝log102，故指数式为10x＝2．2．log2eq\r(2)的值为()A．－eq\r(2) B．eq\r(2)C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)解析：选D．令log2eq\r(2)＝x，则2x＝eq\r(2)＝2eq\s\up6(\f(1,2))，所以x＝eq\f(1,2)．3．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是()A．a>5或a<2 B．2<a<5C．2<a<3或3<a<5 D．3<a<4解析：选C．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－a>0,a－2>0,a－2≠1))，得2<a<5且a≠3．故选C．4．已知logx16＝2，则x等于()A．±4 B．4C．256 D．2解析：选B．因为logx16＝2，所以x2＝16，即x＝±4，又因为x＞0且x≠1，所以x＝4．5．已知logaeq\f(1,2)＝m，loga3＝n，则am＋2n等于()A．3 B．eq\f(3,4)C．9 D．eq\f(9,2)解析：选D．由已知得am＝eq\f(1,2)，an＝3．所以am＋2n＝am×a2n＝am×(an)2＝eq\f(1,2)×32＝eq\f(9,2)．故选D．6．已知logeq\s\do9(\f(1,2))x＝3，则xeq\s\up6(\f(1,3))＝________．解析：由logeq\s\do9(\f(1,2))x＝3，得x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)，所以xeq\s\up6(\f(1,3))＝eq\f(1,2)．答案：eq\f(1,2)7．若a>0，aeq\s\up6(\f(3,4))＝27，则logeq\s\do9(\f(1,3))a＝________．解析：因为aeq\s\up6(\f(3,4))＝27，所以a＝(33)eq\s\up6(\f(4,3))＝34．所以logeq\s\do9(\f(1,3))a＝logeq\s\do9(\f(1,3))34＝－4．答案：－48．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是________．解析：因为x2＋y2－4x－2y＋5＝0，所以(x－2)2＋(y－1)2＝0，即x＝2且y＝1，故logx(yx)＝log21＝0．答案：09．把下列各等式转化为相应的对数式或指数式．(1)53＝125；(2)logeq\s\do9(\f(1,2))8＝－3；(3)log3eq\f(1,27)＝－3．解：(1)因为53＝125，所以log5125＝3；(2)因为logeq\s\do9(\f(1,2))8＝－3，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－3)＝8；(3)因为log3eq\f(1,27)＝－3，所以3－3＝eq\f(1,27)．10．求下列各式中x的值：(1)log3(log2x)＝0；(2)log2(lgx)＝1；(3)52－log53＝x；(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(alogab))eq\s\up12(logbc)＝x(a＞0，b＞0，c＞0，a≠1，b≠1)．解：(1)因为log3(log2x)＝0，所以log2x＝1．所以x＝21＝2．(2)因为log2(lgx)＝1，所以lgx＝2．所以x＝102＝100．(3)x＝52－log53＝eq\f(52,5log53)＝eq\f(25,3)．(4)x＝(alogab)logbc＝blogbc＝c．[B实力提升]11．已知logx27＝－eq\f(3,4)，则x的值为()A．9 B．81C．eq\f(1,9) D．eq\f(1,81)解析：选D．x－eq\f(3,4)＝27，即x－eq\f(3,4)＝33，所以x＝(33)－eq\f(4,3)＝3－4＝eq\f(1,81)．12．若log2[logeq\s\do9(\f(1,2))(log2x)]＝log3[logeq\s\do9(\f(1,3))(log3y)]＝log5[logeq\s\do9(\f(1,5))(log5z)]＝0，则x，y，z的大小关系是________．解析：由log5[logeq\s\do9(\f(1,5))(log5z)]＝0，得logeq\s\do9(\f(1,5))(log5z)＝1，log5z＝eq\f(1,5)，z＝5eq\s\up6(\f(1,5))＝(56)eq\s\up6(\f(1,30))，由log3[logeq\s\do9(\f(1,3))(log3y)]＝0，得logeq\s\do9(\f(1,3))(log3y)＝1，log3y＝eq\f(1,3)，y＝3eq\s\up6(\f(1,3))＝(310)eq\s\up6(\f(1,30))．又由log2[logeq\s\do9(\f(1,2))(log2x)]＝0，得logeq\s\do9(\f(1,2))(log2x)＝1，log2x＝eq\f(1,2)，x＝2eq\s\up6(\f(1,2))＝(215)eq\s\up6(\f(1,30))．因为310＞215＞56，所以y＞x＞z．答案：z＜x＜y13．若logeq\s\do9(\f(1,2))x＝m，logeq\s\do9(\f(1,4))y＝m＋2，求eq\f(x2,y)的值．解：因为logeq\s\do9(\f(1,2))x＝m，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(m)＝x，x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2m)．因为logeq\s\do9(\f(1,4))y＝m＋2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\