专题15-利用导数研究函数单调性、极值、最值(原卷版)

专题15利用导数研究函数单调性、极值、最值一、核心体系 导数二、关键能力了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.三、教学建议1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.四、高频考点 1、函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2、函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.3、函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0图象形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点4、函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.五、重点题型考点一、利用导数研究函数单调性例1-1.【2019·天津卷】设函数为的导函数，求的单调区间。例1-2.【2019·全国Ⅲ卷】已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.讨论f(x)的单调性．例1-3.已知函数f(x)＝eq\f(ex,x－m)，x∈(m，＋∞)，证明：函数y＝f(x)在(m，m＋1)上单调递减例1-4.已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,2)ax2＋2x(a≠0)．(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．训练题组1.已知，那么单调递增区间__________；单调递减区间__________.2．（2023·新课标1卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．3．（2023·全国·统考高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.4.已知函数.讨论函数的单调区间；5．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．考点二、利用导数研究函数的极值例2-1（重庆高考真题）设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(D)A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)例2-2.（2021·山西省）已知函数在处取得极大值10，则的值为（）A．－ B．－2 C．－2或－ D．2或－例2-3.已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R).讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.训练题组1.已知函数，则（）A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1C．的极大值为 D．的最小值为2．多选题（2023·新课标2卷）若函数既有极大值也有极小值，则（

）．A． B． C． D．3.（2020·江苏）已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（）A．是函数的极小值点B．是函数的极小值点C．函数在区间上单调递增D．函数在处切线的斜率小于零4.(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.15.(2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围.6.已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．(0,1) D．(0，＋∞)考点三、利用导数研究函数最值例3.已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数.(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值.题组训练1.已知函数（其中e是自然对数的底数）．Ⅰ当时，求的最小值；Ⅱ当时，求在上的最小值．2.设函数若，则的最小值为__________；若有最小值，则实数的取值范围是_______．考点四、利用导数研究函数的图像例4.已知函数f(x)＝ex－(x＋1)2(e为2.71828…)，则f(x)的大致图象是（）A． B．C． D．对点训练1.【多选题】（2021·全国高三）如图是函数的部分图像，则的解析式可能是（）A． B． C． D．2．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．巩固训练一、单选题1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．f(x)＝sin2x B．f(x)＝xexC．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋lnx2．“m<4”是“函数f(x)＝2x2－mx＋lnx在(0，＋∞)上单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且函数f(x)的图象如图所示，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()4．（2021·福建高三二模）已知函数的定义域为，其图象大致如图所示，则（）A． B． C． D．5．设函数f(x)＝eq\f(ex,x＋a)，若f(x)的极小值为eq\r(e)，则a＝()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,2) D．26．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝()A．eq\f(2,3) B．eq\f(4,3)C．eq\f(8,3) D．eq\f(16,3)7．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x≠0)的导函数，f(－1)＝－1．当x>0时，f′(x)>1，则使得f(x)>x成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)8．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,ex)，x≥a，,x，x＜a，))若函数存在最大值，则实数a的取值范围是()A．a≤1 B．a＜1C．a≤eq\f(1,e) D．a＜eq\f(1,e)二、多选题9．（2021·山东高三三模）已知函数，则下列结论正确的是（）A．的周期为 B．的图象关于对称C．的最大值为 D．在区间在上单调递减10．（2021·武冈市第二中学高三其他模拟）已知函数，是的导函数，则下列说法正确的是（）A．当时，在单调递增B．当时，在处的切线为x轴C．当时，在上无零点D．当时，在存在唯一极小值点11．已知函数f(x)＝x＋sinx－xcosx的定义域为[－2π，2π)，则()A．f(x)为奇函数B．f(x)在[0，π)上单调递增C．f(x)恰有4个极大值点D．f(x)有且仅有4个极值点12．下面比较大小正确的有()A．eq\f(ln2,2)>eq\f(1,e) B．3ln4<4ln3C．eq\f(π,e)>lnπ D．3<eln3三、填空题13．（2021·广东高三其他模拟）若函数有最小值，则的一个正整数取值可以为___________.14.若函数f(x)＝eq\f(x3,3)－eq\f(a,2)x2＋x＋1在区间(eq\f(1,2)，3)上有极值点，则实数a的取值范围是________．四、解答题15．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．(1)讨论的单调