福建省宁德市福安第一中学2021年高三数学文下学期期末试题含解析

福建省宁德市福安第一中学2021年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.关于的一元二次不等式的解集为，且，则a=

A、;

B、;

C、;

D、;参考答案：C略2.如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为(▲)A． B．

C．

D．参考答案：【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的对称性．C4

【答案解析】A

解析：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选A【思路点拨】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．3.已知，，，则的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略4.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m的值分别为（

）A.20%369 B.80%369C.40%360 D.60%365参考答案：A【分析】设“衰分比”为,甲衰分得石,由题意列出方程组,由此能求出结果．【详解】解：设“衰分比”为,甲衰分得石,由题意得,解得,,．故选：A．

5.函数（其中A＞0,）的图象如图所示，为了得到图象，则只需将的图象（

）A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位参考答案：A．试题分析：由已知中函数的图像过点和点，易得：，即，即，将点代入可得，，又因为，所以，所以．设将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，则，解得．所以将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像．故应选A．考点：由函数的部分图像确定其解析式．6.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（A）10（B）20（C）30（D）40参考答案：【解析】本题考查直线与圆的位置关系。，过点的最长弦为最短弦为答案：B7.“”是“”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B8.直线与曲线相切，则b的值为(

)A．﹣2 B．﹣1 C． D．1参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在直线的图象上又在曲线上，即可求出b的值．【解答】解：设切点坐标为（m，n）y′|x=m=﹣=解得m=1∵切点（1，n）在曲线的图象上，∴n=﹣，∵切点（1，﹣）又在直线上，∴b=﹣1．故答案为：B【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．9.已知圆C的方程为x2+y22x=0，若以直线y=kx2上任意一点为圆心，以l为半径的圆与圆C没有公共点，则k的整数值是

A．l

B．0

C．1

D．2参考答案：A10.等比数列中an>0,且,则=（

）参考答案：6二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.化简：=．参考答案：4sinθ【考点】三角函数的化简求值．【分析】直接由三角函数的诱导公式化简计算得答案．【解答】解：==4sinθ，故答案为：4sinθ．12.已知，若与的夹角为钝角，则的取值范围为

；参考答案：13.设满足约束条件，则的最大值为

．参考答案：214.已知向量，，若，则实数等于

．参考答案：因为，所以，故答案为．15.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表:根据上表可得回归方程为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为

。参考答案：65．516.函数，则函数的零点个数是________．参考答案：考点：1.函数的零点；2.分段函数；3.分类讨论.【方法点睛】本题主要考查的是函数的零点,分段函数,分类讨论，属于中档题，对于分段函数最常见的方法就是分类讨论，因此本题要分为和两种情况讨论，每一种注意其定义域的范围，通过分类分析出方程，解出方程，舍掉不合题意的值，在分析过程中最容易忽略的是这种情况，因此解这类题目最主要的问题就是分类分清楚，每种讨论完全，即可得到不重不漏的解.17.若在等腰Rt△ABC中，||=||=2，则?=

．参考答案：﹣4【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由向量的加减运算和向量的垂直的条件，以及向量的平方即为模的平方，即可得到．【解答】解：在等腰Rt△ABC中，||=||=2，且AB⊥AC，即有?=?（﹣）=?﹣=0﹣22=﹣4．故答案为：﹣4．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣时，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）a=时，令h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣．求h（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函数f（x）≤x﹣1对?x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）当a=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）2+lnx，（x＞0）…f'（x）=﹣x++=﹣，…①当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）单调递增；②当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）单调递减；所以函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．…（Ⅱ）当a=时，h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣=x2﹣2lnx，∴h′（x）=x﹣令h′（x）=0解得x=，…当x∈[1，]时，h′（x）＜0，当x∈[，e）时，h′（x）＞0，故x=是函数h（x）在[1，e]上唯一的极小值点，…故h（x）min=h（）=1﹣ln2，又h（1）=，h（e）=e2﹣2，所以h（x）max=e2﹣2．…

（Ⅲ）由题意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1对x∈[1，+∞）恒成立，…设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则g（x）max≤0，x∈[1，+∞），∴，…①当a≤0时，若x＞1，则g′（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）单调递减，∴g（x）max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；…②当时，，g（x）在[1，+∞）单调递增，所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，则不成立；…③当时，x=＞1，则f（x）在[1，]上单调递减，[，+∞）单调递增，则存在∈[，+∞），有g（）=a（﹣1）2+ln﹣+1=﹣lna+a﹣1＞0，所以不成立，…（13分）综上得a≤0．…（14分）考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求导，根据导数和函数的单调性即可求出单调区间；（Ⅱ）先求导，根据导数和函数的最值的关系即可求出；（Ⅲ）构造函数，转化为设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则g（x）max≤0，x∈[1，+∞），根据导数和函数最值的关系分类讨论即可．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）2+lnx，（x＞0）…f'（x）=﹣x++=﹣，…①当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）单调递增；②当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）单调递减；所以函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．…（Ⅱ）当a=时，h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣=x2﹣2lnx，∴h′（x）=x﹣令h′（x）=0解得x=，…当x∈[1，]时，h′（x）＜0，当x∈[，e）时，h′（x）＞0，故x=是函数h（x）在[1，e]上唯一的极小值点，…故h（x）min=h（）=1﹣ln2，又h（1）=，h（e）=e2﹣2，所以h（x）max=e2﹣2．…

（Ⅲ）由题意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1对x∈[1，+∞）恒成立，…设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则g（x）max≤0，x∈[1，+∞），∴，…①当a≤0时，若x＞1，则g′（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）单调递减，∴g（x）max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；…②当时，，g（x）在[1，+∞）单调递增，所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，则不成立；…③当时，x=＞1，则f（x）在[1，]上单调递减，[，+∞）单调递增，则存在∈[，+∞），有g（）=a（﹣1）2+ln﹣+1=﹣lna+a﹣1＞0，所以不成立，…（13分）综上得a≤0．…（14分）点评：本题考查了导数和函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数恒成立的问题，培养学生的转化能力，运算能力，属于难题．19.已知函数.（Ⅰ）讨论的导函数的零点个数；（Ⅱ）当时，证明：.参考答案：解：(Ⅰ)的定义域为，若，由，没有零点；若或，由，，，有一个零点；若，由，，没有零点．综上所述，当或时有一个零点；当时没有零点．(Ⅱ)由（1）知，，时当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.所以在取得最大值，最大值，即.所以等价于，即，其中．设，则.当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减.故当时取得最大值，最大值为所以当时，.从而当时，即．

20.已知椭圆的左、右焦点分别是，Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足．（Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；

（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由．参考答案：解（Ⅰ）设点P的坐标为（x,y）,由P（x,y）在椭圆上，得又由知，所以

（Ⅱ）当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上．当且时，由，得．又，所以T为线段F2Q的中点．在△QF1F2中，，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是

（Ⅲ）C上存在点M（）使S=的充要条件是由③得，由④得

所以，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M．当时，，由，，，得略21.在直角坐标系xOy中，过点P（2，1）的直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，已知直线l与曲线C交于A、B两点．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求|PA|?|PB|的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t2+（2﹣2）t﹣3=0．利用根与系数的关系、参数的几何意义即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即为ρ2sin2θ=2ρcosθ，化为普通方程为：y2=2x；（2）把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t2+（2﹣2）t﹣3=0．∴t1t2=﹣3．∴|PA|?|PB|=|t1t2|=3．22.（本小题满分12分）已知点，圆是以的中点为圆心，为半径的圆。

(Ⅰ)若圆的切线在轴和轴上截距相等,求切线方程；

(Ⅱ)若是圆外一点，从P向圆引切线,为切点,为坐标原点，且有,求使最小的点的坐标.参考答案：(Ⅰ)设圆心坐标为，半径为，依题意得

∴圆的方程为

（2分）（1）若截距均为0,即圆的切线过原点,则可设该切线为即,

则有,解得,此时切线方程为或.