福建省宁德市福鼎第十八中学2021年高二数学文月考试题含解析

福建省宁德市福鼎第十八中学2021年高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()A．n(n＋1)

B．n(n－1)

C.

D.参考答案：A略2.用反证法证明命题“”,其反设正确的是（）A.

B.C.

D.参考答案：A3.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则(

)A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩参考答案：D【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【详解】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了故选：D．【点睛】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．4.下列命题正确的是()A．若则 B．若则C．若则 D．若则参考答案：D5.对于函数①f（x）=4x+﹣5；②f（x）=|log2x|﹣（）x；③f（x）=|x﹣1|﹣；命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f（x）在区间（0，+∞]上恰有两个零点x1，x2，且x1x2＜1．能使命题甲、乙均为真命题的函数有（）个． A．0 B． 1 C． 2 D． 3参考答案：C略6.直线l:mx－y+1－m=0与圆C:x2+(y－1)2=5的位置关系是（

）．A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定参考答案：A直线，即，即直线过点，∵把点代入圆的方程有，∴点在圆的内部，∴过点的直线一定和圆相交．故选．7.已知函数，，要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（

）A.横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到B.横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到C.横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位得到D.横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位得到参考答案：B【分析】由题意，利用三角函数的图象变换，即可得到答案.【详解】将函数图象上点的横坐标伸长为原来的2倍，可得，再将上的点向右平移个单位，得，所以要得到，只需将图象上的点横坐标伸长为原来的倍，再向右平移个单位，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，其中解答总熟记三角函数的图象变换的规则，合理变换是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.定义为n个正数p1，p2，…pn的“均倒数”．若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又，则=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】类比推理．【专题】新定义；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由已知得a1+a2+…+an=n（2n+1）=Sn，求出Sn后，利用当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可求得通项an，最后利用裂项法，即可求和．【解答】解：由已知得，∴a1+a2+…+an=n（2n+1）=Sn当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1，验证知当n=1时也成立，∴an=4n﹣1，∴，∴∴=+（）+…+（）=1﹣=．故选C．【点评】本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．9.已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由题意可转化为，利用导数分别研究两个函数最小值，求解即可.【详解】解：当时，由得，=，当时，在单调递减，是函数的最小值，当时，为增函数，是函数的最小值，又因为，都，使得，可得在的最小值不小于在的最小值，即，解得：，故选：．【点睛】本题考查指数函数和对勾函数的图像及性质，考查利用导数研究单调性问题的应用，属于基础题.10.设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面垂直的性质．【专题】阅读型．【分析】由题意可知：l⊥α时，由线面垂直性质定理知，l⊥m且l⊥n．但反之不能成立，由充分必要条件概念可获解．【解答】解：l，m，n均为直线，m，n在平面α内，l⊥α?l⊥m且l⊥n（由线面垂直性质定理）．反之，如果l⊥m且l⊥n推不出l⊥α，也即m∥n时，l也可能平行于α．由充分必要条件概念可知，命题中前者是后者成立的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查线面垂直和充分必要条件的有关知识．主要注意两点：（1）线面垂直判定及性质定理．（2）充分必要条件的判定，要注意方向性，即谁是谁的．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数是定义在R上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，则其中所有正确命题的序号是--------____________。

①2是函数的周期；②函数在上是减函数，在上是增函数；

③函数的最大值是1，最小值是0；④当时，。参考答案：①②④12.定义运算，复数z满足，则复数z=．参考答案：2﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】根据给出的定义把化简整理后，运用复数的除法运算求z．【解答】解：由，得．故答案为2﹣i．13.动点在圆x2+y2=1上运动，它与定点B（-2，0）连线的中点的轨迹方程是

▲

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参考答案：略14.已知函数f（x）=13﹣8x+x2，且f′（a）=4，则实数a的值．参考答案：3【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，对函数f（x）求导可得f′（x），又由f′（a）=4，可得2a﹣8=4，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=13﹣8x+x2，则其导函数f′（x）=2x﹣8，若f′（a）=4，则有2a﹣8=4，解可得a=3；故答案为：3．15.连掷两次骰子分别得到的点数为m和n，记向量与向量的夹角为，则的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D16.一离散型随机变量X的概率分布列为X0123P0.1ab0.1且E(X)＝1.5，则a－b＝________.参考答案：0∵∴∴a－b＝0.17.已知正数a，b满足2a+b=ab，则a+2b的最小值为．参考答案：9考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵正数a，b满足2a+b=ab，∴=1．则a+2b=（a+2b）=5+=9，当且仅当a=b=3时取等号，因此a+2b的最小值为9．点评：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.2017年12月1日，“国际教育信息化大会”在山东青岛开幕.为了解哪些人更关注“国际教育信息化大会”，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制成频率分布直方图，如图所示，其分组区间为：[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65)，[65,75].把年龄落在区间[15,35)和[35,75]内的人分别称为“青少年”和“中老年”.（1）根据频率分布直方图求样本的中位数（保留两位小数）和众数；（2）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”；

关注不关注合计青少年15

中老年

合计5050100附：参考公式，其中.临界值表：0.050.0100.0013.8416.63510.828参考答案：（1）根据频率分布直方图可知样本的众数为40，因为，设样本的中位数为，则，所以，即样本的中位数约为36.43.（2）依题意可知，抽取的“青少年”共有人，“中老年”共有人.完成的列联表如下：

关注不关注合计青少年中老年合计结合列联表的数据得，因为,所以有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”.

19.数列满足。（Ⅰ）计算；（Ⅱ）猜想通项公式，并用数学归纳法证明。参考答案：解：（Ⅰ）…4分

（Ⅱ）猜想，…6分

证明：1

当n=1时，a1=1猜想显然成立；………7分2

假设当n=k)时，猜想成立，即，那么，，………11分综合①②，当时猜想成立。………12分略20.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为，（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。参考答案：（本小题14分）解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，∴b＝1，

∴所求椭圆方程为。（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）①当AB⊥x轴时，|AB|；②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，略21.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，等差数列{bn}中，b1=2，点P（bn，bn+1}在一次函数y=x+2的图象上．（1）求数列{an}，{bn}的通项an和bn；（2）设cn=an?bn，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式可得an，再利用等差数列的通项公式可得bn．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）由2an=Sn+2得：2a1=S1+2；即2a1=a1+2，解得a1=2．同理可得：2a2=S2+2；2a1=a1+a2+2，解得a2=4；由2an=Sn+2┅①得2an﹣1=Sn﹣1+2┅②；（n≥2）将两式相减得：2an﹣2an﹣1=Sn﹣Sn﹣1；2an﹣2an﹣1=an；an=2an﹣1（n≥2）所以：当n≥2时：an==2n；n=1时也成立．故：an=2n；又由等差数列{bn}中，b1=2，点P（bn，bn+1）在直线y=x+2上．得：bn+1=bn+2，且b1=2，所以：bn=2+2（n﹣1）=2n；（2）；数列{cn}的前n项和Tn=22+2×23+3×24+…+n?2n+1，2Tn=23+2×24+…+（n﹣1）×2n+1+n?2n+2，∴﹣Tn=22+23+…+2n+1﹣