福建省宁德市福安第四中学2020年高三数学理模拟试卷含解析

/福建省宁德市福安第四中学2020年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数（，，），则“是奇函数”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B考点：1、充分条件与必要条件；2、三角函数性质.2.函数，若的解集为，且中只有一个整数，则实数k的取值范围为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式的整数解及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数的取值范围；（3）求不等式的解集．3.已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）=，若f（x）在[﹣1，0]上是减函数，记a=f（log0.52），b=f（log24），c=f（20.5），则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c参考答案：B【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】确定函数是周期为2的周期函数，f（x）在[0，1]上单调递增，并且a=f（log0.52）=f（log22）=f（1），b=f（log24）=f（2）=f（0），c=f（20.5），即可比较出a，b，c的大小．【解答】解：∵f（x+1）=，∴f（x+2）=f（x），∴函数是周期为2的周期函数；∵f（x）为偶函数，f（x）在[﹣1，0]上是减函数，∴f（x）在[0，1]上单调递增，并且a=f（log0.52）=f（log22）=f（1），b=f（log24）=f（2）=f（0），c=f（20.5）．∵0＜1＜20.5，∴b＜c＜a．故选：B．【点评】考查偶函数的定义，函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，1]上，根据单调性去比较函数值大小．4.已知复数,是的共轭复数,则等于(

)A.16

B.4

C.1

D.参考答案：C5.

定义两种运算：a⊕b＝，a?b＝，则f(x)＝是()A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数参考答案：A6.已知函数，则的图象大致为

参考答案：A略7.已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（

）A．－2

B．

C．－3

D．－6参考答案：D如图建立坐标系，，设，则，，最小值为。

8.一个空间几何体的正视图，侧视图如下图，图中的单位为cm，六边形是正六边形，则这个空间几何体的俯视图的面积是

（

）

A．cm2

B．cm2

C．cm2

D．20cm2参考答案：D9.已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=ex﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对于①利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②、③、④通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误；【解答】解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．对于③M={（x，y）|y=log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M={（x，y）|y=ex﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．所以②④正确．故选D．10.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的表面积为125π则的值为A．5

B．6

C．8

D．10参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）=log2x+1（x≥4）的反函数f﹣1（x）的定义域是．参考答案：[3，+∞）【考点】反函数．【分析】先根据函数单调性求出函数f（x）=log2x+1（x≥4）的值域，然后根据互为反函数图象的关系可知原函数的值域即为反函数的值域．【解答】解：函数f（x）=log2x+1（x≥4）的值域为[3，+∞），∴f﹣1（x）的定义域是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．【点评】本题主要考查了反函数，以及互为反函数图象的关系，属于基础题．12.一个社会调查机构就某地居民的月收放情况调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图所示）。为了分析居民的心入与年龄、学历、职业等方面的关系，再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元/月）收入段应抽出

人。参考答案：40略13.若数列的前n项和，则

。参考答案：【知识点】数列的概念与简单表示法D1【答案解析】当n2时，=2n-1,当n=1时==2所以【思路点拨】根据数列的求和公式求出。14.若向量，满足||=||=|+|=1，则?的值为

．参考答案：﹣考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的数量积运算即可得出．解答： 解：∵向量，满足||=||=|+|=1，∴，化为，即1，解得．故答案为．点评：熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．15.不等式的解集为________参考答案：16.如图，在△ABC中，，D是边BC上一点，，则．参考答案：【详解】由图及题意得

，

=

∴

=(

)(

)=

+

=

=

.17.已知，若，则的值为参考答案：1或

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤20.（本小题满分16分）已知函数，其中m，a均为实数．（1）求的极值；（2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值；（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得成立，求的取值范围．参考答案：对于函数在上值域中每一个值，函数在上总有两个不同自变量与之对应相等．首先求出函数在上值域，然后根据函数在上必须不为单调函数且每段单调区间对应的值域都需包含.由在不单调得，由每段单调区间对应的值域都需包含得，.试题解析：（1），令，得x=1．

…1分列表如下：x（-∞，1）1（1，+∞）+0-g(x)↗极大值↘

19.如图,四棱锥P-ABCD中,.（Ⅰ）求异面直线AB与PD所成角的余弦值；（Ⅱ）证明：平面PAD⊥平面PBD；（Ⅲ）求直线DC与平面PBD所成角的正弦值.参考答案：解：（Ⅰ）……………1分

……………2分,……………3分,而故……………4分……………5分（Ⅱ）

由勾股定理得……………6分……………8分……………9分（Ⅲ）直线与平面所成角即为直线与平面所成角……………10分由（Ⅱ）可知，=又……………11分……………12分故直线与平面所成角的正弦值为.……………13分20.一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．（1）写出甲总得分ξ的分布列；（2）求甲总得分ξ的期望E（ξ）．参考答案：解：（1）甲总得分情况有6分，7分，8分，9分四种可能，记为甲总得分．

，，，．………4分6789P（x＝）………7分

（2）甲总得分ξ的期望E（ξ）＝

＝．………………10分21.已知＝（5cosx，cosx），＝（sinx，2cosx），设函数f（x）＝·＋｜｜2＋．

（Ⅰ）当x∈[，]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）当x∈[，]时，若f（x）＝8，求函数f（x－）的值.参考答案：略22.（本小题满分12分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）下表是年龄的频率分布表，求正整数的值；

（2）现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组抽取的员工的人数分别是多少？

（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率.参考答案：(1)由题设可知，，.

…………2分

(2)因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名员工中抽取名员工，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为.所以第1，