福建省宁德市福安第二中学高三数学理月考试题含解析

福建省宁德市福安第二中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为BB1中点，则直线AN与B1C所成角的余弦值为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，表示出与，求两向量夹角余弦值，即可得出结果.【详解】如图，以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，则，，记直线与所成角为，则.故选D【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，熟记空间向量的方法求解即可，属于常考题型.2.．已知为等比数列，下面结论中正确的是（▲）A． B．C．若,则 D．若,则参考答案：【知识点】等比数列的性质．D3

【答案解析】B

解析：设等比数列的公比为q，则a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A不正确；，∴，故B正确；若a1=a3，则a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=﹣a2，故C不正确；若a3＞a1，则a1q2＞a1，∴a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故D不正确故选B．【思路点拨】a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立；，所以；若a1=a3，则a1=a1q2，从而可知a1=a2或a1=﹣a2；若a3＞a1，则a1q2＞a1，而a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故可得结论．3.设则A. B. C. D.参考答案：【知识点】指数对数B6B7【答案解析】D

由题意得,,则所以D【思路点拨】根据指数对数性质求出范围再比较。4.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A． B．2 C．3 D．参考答案：A【考点】类比推理．【分析】根据正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=4，则由（a+c）2=12+b2得a2+c2﹣b2=4，利用公式可得结论．【解答】解：根据正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=4，则由（a+c）2=12+b2得a2+c2﹣b2=4，则．故选A．5.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆，且该几何体的体积为；直径为2的球的体积为．则A．

B．

C．

D.

参考答案：B试题分析：由题意，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥得到的几何体，，，∴.选B.考点：三视图，体积.6.已知实数满足，每一对整数对应平面上一个点，则过这些点中的其中三点可作多少个不同的圆

（

）

A．70

B．61

C．52

D．43参考答案：答案：D7.已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m，n]上的最大值为2，则m+n=(

) A． B． C．+ D．参考答案：D考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可知0＜m＜1＜n，以及mn=1，再f（x）在区间[m，n]上的最大值为2可得出f（m）=2求出m，故可得m+n的值．解答： 解：由对数函数的性质知∵f（x）=|log2x|正实数m、n满足m＜n，且f（m）=f（n），∴0＜m＜1＜n，以及mn=1，又函数在区间[m，n]上的最大值为2，由于f（m）=f（n），故可得f（m）=2，即|log2m|=2，即log2m=﹣2，即m=，可得n=4，则m+n=．故选D．点评：本题考查对数函数的值域与最值，求解本题的关键是根据对数函数的性质判断出0＜m＜1＜n，以及mn=1及f（x）在区间[m，n]上的最大值的位置．根据题设条件灵活判断对解题很重要．8.在△中,,则的值是(

)A．0

B．1

C．

D．2参考答案：答案：C9.函数的图象（

）A．关于对称

B．关于y轴对称

C．关于原点对称

D．关于对称参考答案：试题分析：因为，其图象是的图象向下平移一个单位，所以关于对称.选.考点：1.三角函数的诱导公式；2.三角函数的图象和性质.10.函数的图像大致是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A因为函数可化简为可知函数为奇函数关于原点对称，可排除答案C；同时有，可知函数在时，则上单调递增，排除答案B和D，故答案选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量、的夹角为，且，，则向量与向量的夹角等于

．参考答案：（或）12.已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为_______。参考答案：略13.设f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+2）=f（x+1）﹣f（x），如果f（1）=lg，f（2）=lg15，则f（2017）=

．参考答案：﹣1【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知条件推导出f（x）是一个周期为6的函数，所以f=f（6×336+0）=f（0），利用已知条件求解即可．【解答】解：（1）f（1）=lg，f（2）=lg15，∴f（3）=f（2）﹣f（1）=lg15﹣（lg3﹣lg2）=lg5+lg2=1，f（4）=f（3）﹣f（2）=1﹣lg15，f（5）=f（4）﹣f（3）=1﹣lg15﹣1=﹣lg15，f（6）=f（5）﹣f（4）=﹣lg15﹣（1﹣lg15）=﹣1，f（7）=f（6）﹣f（5）=﹣1+lg15=lg，∴f（x）是一个周期为6的函数，∴f（2017）=f（6×336+1）=f（0），f（2）=f（1）﹣f（0），∴f（0）=f（1）﹣f（2）=lg﹣lg15=lg=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数的周期性和对数性质的灵活运用．14.定义运算=，函数图象的顶点是，且k、m、n、r成等差数列，则k+r=

.参考答案：15.设，若函数在区间上有极值点，则的取值范围为（）A．B.C．D．参考答案：C16.已知向量，，，，如果∥，则

.参考答案：略17.设函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定φ（A，B）=（|AB|为线段AB的长度）叫做曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数y=x3图象上两点A与B的横坐标分别为1和﹣1，则φ（A，B）=0；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A，B是抛物线y=x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；④设曲线y=ex（e是自然对数的底数）上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），则φ（A，B）＜1．其中真命题的序号为

．（将所有真命题的序号都填上）参考答案：①②③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由新定义，利用导数逐一求出函数y=x3、y=x2+1在点A与点B之间的“弯曲度”判断①、③；举例说明②正确；求出曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，然后结合不等式的性质，即可判断④．【解答】解：对于①，由y=x3，得y′=3x2，则kA=3，kB=3，则|kA﹣kB|=0，则φ（A，B）=0，故①正确；对于②，如y=1时，y′=0，则φ（A，B）=0，故②正确；对于③，抛物线y=x2+1的导数为y′=2x，yA=xA2+1，yB=xB2+1，yA﹣yB=xA2﹣xB2=（xA﹣xB）（xA+xB），则φ（A，B）===≤2，故③正确；对于④，由y=ex，得y′=ex，φ（A，B）=，由不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），可得φ（A，B）＜=1，故④正确．故答案为：①②③④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

已知函数．

（1）求的单调区间；（2）设，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．参考答案：解：（1）……2分当时，由于，故，故，所以，的单调递增区间为…………3分当时，由，得.在区间上，，在区间上所以，函数的单调递增区为，单调递减区间为…………5分所以，当时，的单调增区间为.当时，函数的单调递增区间为，单调递区间为………………6分（2）由已知，转化为.由已知可知………………8分由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.（或者举出反例：存在，故不符合题意）…9分当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，，所以，解得………………12分略19.已知函数其中当时，求曲线处的切线的斜率；

当时，求函数的单调区间与极值。

参考答案：略20.已知函数，.（Ⅰ）若对于任意，都满足，求a的值；（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数a的取值范围.参考答案：（Ⅰ）因为，，所以的图象关于对称.又的图象关于对称，所以，所以.（Ⅱ）等价于.设，则.由题意，即.当时，，，所以；当时，，，所以，综上.21.已知直线l的方程为y=x+4，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴．建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l与圆C的交点的极坐标；（Ⅱ）若P为圆C上的动点．求P到直线l的距离d的最大值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程，与直线方程联立解得交点坐标，利用可得极坐标．（II）圆心（0，2）到直线l的距离为d1，可得P到直线l的距离d的最大值为d1+r．【解答】