福建省宁德市福安第二中学2020-2021学年高三数学文测试题含解析

福建省宁德市福安第二中学2020-2021学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为

A．

B．

C．

D．

参考答案：C略2.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为A．

B．

C．

D．参考答案：B3.在平面直角坐标系中，定义两点与之间的“直角距离”为．给出下列命题：（1）若，，则的最大值为；（2）若是圆上的任意两点，则的最大值为；(3)若，点为直线上的动点，则的最小值为．其中为真命题的是A．（1）（2）（3）

B．（1）（2）

C．（1）(3)

D．(2)(3)参考答案：A4.设α是一个平面，是两条不同的直线，以下命题不正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则参考答案：D5.“p且q是真命题”是“非p为假命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A6.下面程序框图是为了求出满足的最小偶数n，那么在

和两个空白框中，可以分别填入（

）A．和 B．和C．和 D．和参考答案：D∵要求时输出，且框图中在“否”时输出，∴“”内不能输入“”，又要求为偶数，且的初始值为0，∴“”中依次加2可保证其为偶数，∴D选项满足要求，故选D．7.若满足条件AB＝，C＝的三角形ABC有两个，则边长BC的取值范围是()A．(1，)

B．(，)

C．(，2)

D．(，2)参考答案：C8.已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则M∩N=（）A．{2，3}B．{1，2，3，4}C．{1，4}D．?参考答案：A考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由M与N，求出两集合的交集即可．解答：解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．9.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f（x+1）≥0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）参考答案：C【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，∴函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，∵f（0）=0，∴不等式f（x+1）≥0等价为f（x+1）≥f（0），则x+1≥0，得x≥﹣1，即不等式的解集为[﹣1，+∞），故选：C10.下列说法正确的个数是①“在中，若，则”的逆命题是真命题；②“”是“直线和直线垂直”的充要条件；③“三个数成等比数列”是“”的既不充分也不必要条件；④命题“”的否定是“，”．A．

B．

C．

D．

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是

.参考答案：略12.已知函数，则_______________.参考答案：1007略13.（13分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，点Q在椭圆C上且满足条件：=2，–2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设A、B为椭圆上不同的两点，且满足OA⊥OB，若(∈R)且，试问：是否为定值．若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由。参考答案：解析：（Ⅰ）设椭圆方程为，∵e=，∴a=2c∴，．又–2

∴cos∠F1QF2=．由|F1F2|2=|QF1|2+|QF2|2–2|QF|·|QF2|cos∠F1QF2得a=2，c=1，b2=3∴椭圆C的方程为．

……5分（Ⅱ）依题意可知，点M为由点O向直线AB所作的垂线的垂足．设A(x1，y1)，B(x2，y2)（1）当x1=x2时，直线OA、OB的斜率分别为±1，解方程组得x=±．∴．

……6分（2）当x1≠x2时，设AB的直线方程为：y=kx+m，代入得(3+4k2)x2+8mkx+4m2–12=0x1+x2=，x1·x2=

……8分∵，∴=∴7m2=12(k2+1)

∴

……11分又∵．综上所述．

……13分14.=_______.参考答案：215.已知函数，，若存在实数使成立，则实数的值为________.参考答案：【分析】先由题意得到，令，用导数的方法求出函数的最小值，再由配方法求出的最小值，结合题中条件，即可得出结果.【详解】函数，，所以令，则，令解得且当时，，单调递减；且当时，，单调递增，所以，又因为所以，因此只有与同时取最小值时，才能成立；所以，当时，也取最小值，此时，即.【点睛】本题主要考查根据导数的应用，根据函数最值求参数的问题，熟记导数的方法研究函数的单调性、最值等即可，属于常考题型.16.设函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b（a＜b）满足f（a）=f（﹣），f（10a+6b+21）=4lg2，则a+b的值为．参考答案：﹣【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题目给出的等式f（a）=f（﹣），代入函数解析式得到a、b的关系，从而判断出f（10a+6b+21）的符号，再把f（10a+6b+21）=4lg2，转化为含有一个字母的式子即可求解．【解答】解：因为f（a）=f（﹣），所以|lg（a+1）|=|lg（﹣+1）|=|lg（）|=|lg（b+2）|，所以a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1，又因为a＜b，所以a+1≠b+2，所以（a+1）（b+2）=1．又由f（a）=|lg（a+1）|有意义知a+1＞0，从而0＜a+1＜b+1＜b+2，于是0＜a+1＜1＜b+2．所以（10a+6b+21）+1=10（a+1）+6（b+2）=6（b+2）+＞1．从而f（10a+6b+21）=|lg[6（b+2）+]|=lg[6（b+2）+]．又f（10a+6b+21）=4lg2，所以lg[6（b+2）+]=4lg2，故6（b+2）+=16．解得b=﹣或b=﹣1（舍去）．把b=﹣代入（a+1）（b+2）=1解得a=﹣．所以a=﹣，b=﹣．a+b=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了数学代换思想，解答此题的关键是根据第一个等式找出a和b之间的关系，然后把一个字母用另一个字母代替，借助于第二个等式求解．17.（几何证明选讲选做题）如图3,△ABC的外角平分线AD交外接圆于D,，则

.参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为，圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为1的圆M与y轴相切．（Ⅰ）求抛物线E及圆M的方程；（Ⅱ）过P（1，0）作两条相互垂直的直线，与抛物线E相交于A，B两点，与圆M相交于C，D两点，N为线段CD的中点，当，求AB所在的直线方程．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为，圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为1的圆M与y轴相切，即可求抛物线E及圆M的方程；（Ⅱ）联立?x2﹣kx+k=0，又与直线AB垂直的直线CD与圆M相交，可得k的范围，利用，求出k，即可求AB所在的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为，∴p=，∴抛物线E：y=x2，…（3分）∵圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为1的圆M与y轴相切，∴圆M的方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1；…（6分）（Ⅱ）设直线AB的斜率为k（k显然存在且不为零）联立?x2﹣kx+k=0…（8分）又与直线AB垂直的直线CD与圆M相交，则即，而k2﹣4k＞0，故.（其中d表示圆心M到直线AB的距离）=…（12分）又，所以，解得或（舍）所以AB所在的直线方程为：即．…（15分）【点评】本题考查抛物线E及圆M的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．19.已知各项均为正整数的数列{an}的前n项和为Sn，满足：Sn﹣1+kan＝tan2﹣1，n≥2，n∈N*（其中k，t为常数）．（1）若k＝，t＝，数列{an}是等差数列，求a1的值；（2）若数列{an}是等比数列，求证：k＜t．参考答案：（1）a1＝1+，（2）见解析【分析】（1）由k＝，t＝，可得（n≥2），设等差数列{an}的公差为d，分别令n＝2，n＝3，利用等差数列的性质即可得出．（2）令公比为q＞0，则an+1＝anq，利用递推关系可得1＝（q﹣1）[tan（q+1）﹣k]，易知q≠1，从而可得t＝0，从而证明．【详解】（1）∵k＝，t＝，∴（n≥2），设等差数列{an}的公差为d，令n＝2，则，令n＝3，则，两式相减可得：，∵an＞0，∴a3﹣a2＝2＝d．由，且d＝2，化为﹣4＝0，a1＞0．解得a1＝1+．（2）∵Sn﹣1+kan＝tan2﹣1①，n≥2，n∈N*，所以Sn+kan+1＝﹣1②，②-①得an+kan+1﹣kan＝﹣，∴an＝（an+1﹣an）[t（an+1+an）﹣k]，令公比为q＞0，则an+1＝anq，∴（q﹣1）k+1＝tan（q2﹣1），∴1＝（q﹣1）[tan（q+1）﹣k]；∵对任意n≥2，n∈N*，1＝（q﹣1）[tan（q+1）﹣k]成立；∴q≠1，∴an不是一个常数；∴t＝0，∴Sn﹣1+kan＝﹣1，且{an}是各项均为正整数的数列，∴k＜0，故k＜t．【点睛】本题考查了等差数列与递推数列的通项公式及其性质、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆相交于不同的两点A、B.(1)求k的取值范围；(2)是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．参考答案：(1)圆(x－6)2＋y2＝4的圆心Q(6,0)，半径r＝2，设过P点的直线方程为y＝kx＋2，根据题意得<2，∴4k2＋3k<0，∴－<k<0.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，将y＝kx＋2代入x2＋y2－12x＋32＝0中消去y得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0，∵x1，x2是此方程两根，∴则x1＋x2＝－，又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝－＋4，P(0,2)，Q(6,0)，∴＝(6，－2)，＋与共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，∴＝－6k·＋24，∴k＝－，由(1)知k∈(－，0)，故没有符合题意的常数k.21.设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】84：等差数列的通项公式；87：等比数列；8E：数列的求和．【分析】（1）要求数列{an}，{bn}的通项公式，先要根据已知条件判断，数列是否为等差（比）数列，由a1=1，an+1=2Sn+1，不难得到数列{an}为等比数列，而由数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*，易得数列{bn}是一个等差数列．求出对应的基本量，代入即可求出数列{an}，{bn}的通项公式．（2）由（1）中结论，我们易得，即数列{cn}的通项公式可以分解为一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，则可以用错位相消法，求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），两式相减得an+1﹣an=2an，an+1=3an（n≥2）．又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1．故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．所以an=3n﹣1．由点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，所以bn+1﹣bn=2．则数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．则bn=1+（n﹣1）?2=2n﹣1（2）因为，所以．则，两式相减得：．所以=．【点评】解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算．22.（13分）已知定点A(1,0)和定直线x=-1，动