福建省宁德市东侨中学高三数学理联考试卷含解析

/福建省宁德市东侨中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“直线l与抛物线C有唯一公共点”是“直线l与抛物线C相切”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．不充分与不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先判断前者成立是否能推出后者成立；反之后者成立是否能推出前者成立，利用充要条件的定义判断出结论．【解答】解：当“直线l与抛物线C有唯一公共点”成立时，有可能是直线与抛物线的对称轴平行，此时，“直线l与抛物线C相切”不成立；反之，“直线l与抛物线C相切”成立，一定能推出“直线l与抛物线C有唯一公共点”所以“直线l与抛物线C有唯一公共点”是“直线l与抛物线C相切”的必要不充分条件故选B．2.二项式的展开式中常数项为（）。

A．-15

B．15

C．-20

D．20参考答案：B3.在R上可导的函数()的图象如图所示，则关于的不等式()﹤0解集为A.

B.

C.

D.参考答案：A【知识点】导数的概念以及运算B11解析：当时，不等式不成立；当时，则不等式的解集等价于，此时函数为减函数，从图像可得；当时，则不等式的解集等价于，此时函数为增函数，从图像可得；所以解集为，故选择A.【思路点拨】通过的取值范围进行分类讨论，得到每段上的正负，再根据单调性与导数之间的关系，得到结果.4.下列四个命题，其中正确命题的个数(

)①若a＞|b|，则a2＞b2②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d

③若a＞b，c＞d，则ac＞bd

④若a＞b＞o，则＞．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】直接由不等式的可乘积性判断①；举例说明②③④错误．【解答】解：①若a＞|b|，则a2＞b2，①正确；②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d错误，如3＞2，﹣1＞﹣3，而3﹣（﹣1）=4＜5=2﹣（﹣3）；③若a＞b，c＞d，则ac＞bd错误，如3＞1，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＜1×（﹣3）；

④若a＞b＞o，则，当c＞0时，＜，④错误．∴正确命题的个数只有1个．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了不等式的基本性质，是基础题．5.已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）A．（k∈Z） B．（k∈Z）C．（k∈Z） D．（k∈Z）参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【专题】函数思想；待定系数法；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意和函数的对称性待定系数可得函数解析式，可得单调递减区间．【解答】解：由题意可得sin（2×+φ）=0，故2×+φ=kπ，解得φ=kπ﹣，k∈Z，由0＜φ＜可得φ=，∴f（x）=sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单凋递减区间为，k∈Z．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的单调性，属基础题．6.设甲：函数的值域为，乙：函数有四个单调区间，那么甲是乙的（

）A．充分不必要条件

B．充要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C7.定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）=1，且2f′（x）＞1，当x∈[﹣，]时，不等式f（2cosx）＞﹣2sin2的解集为（）A．（，） B．（﹣，） C．（0，） D．（﹣，）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣，可得g（x）在定义域R上是增函数，且g（1）=0，进而根据f（2cosx）＞﹣2sin2可得2cosx＞1，解得答案．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣，则g′（x）=f′（x）＞0，∴g（x）在定义域R上是增函数，且g（1）=f（1）=0，∴g（2cosx）=f（2cosx）﹣cosx=f（2cosx）﹣cosx，令2cosx＞1，则g（2cosx）＞0，即f（2cosx）＞+cosx，又∵x∈[﹣，]，且2cosx＞1∴x∈（﹣，），故选：D8.设函数的导函数为，且，则曲线在点(4，f(4))处切线的倾斜角为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B9.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个菱形，则该几何体的体积为 A． B．

C．

D．参考答案：A略10.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数x，y满足：，则的最大值是________；参考答案：5【分析】根据可行域求的最大值。【详解】由题意作图可知，在点（3,4）处取得最大值，。【点睛】本题考查线性规划，属于基础题。12.已知函数，则________．参考答案：-2略13.设向量，（n∈N*），若，设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn的最小值为．参考答案：1【考点】数列与向量的综合．【专题】计算题；函数思想；转化思想；平面向量及应用．【分析】利用向量共线求出数列的通项公式，然后求解数列的前n项和．【解答】解：向量，（n∈N*），若，可得an==2（）．Sn=a1+a2+a3+…+an=2[1+…+]=．数列{Sn}是递增数列，Sn的最小值为：S1=1．故答案为：1．【点评】本题考查向量与数列相结合，数列的函数特征，考查分析问题解决问题的能力．14.若，则

参考答案：215.已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=3﹣i，则z的实部为．参考答案：1【考点】复数的基本概念．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的实部可求．【解答】解：由z（1+i）=3﹣i，得，则z的实部为：1．故答案为：1．16.把函数的图象向左平移个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω+φ=__________.参考答案：略17.若双曲线右支上一点到直线的距离为，则=_________。参考答案：答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，，，以E为圆心，1为半径的圆过点A，C.(1)证明:BE⊥平面PAE；(2)若，求三棱锥的体积.参考答案：（1）由PA⊥底面ABCD，可知.又以E为圆心，1为半径的圆过点A，C，所以.又因为，所以.在中，有，所以，即.又，所以平面.（2）由（1）可知，，所以.又由已知及（1）可知，，所以.在中,设，则由余弦定理,得，即,即，解得.且，所以.因为底面,所以三棱锥的体积，故三棱锥的体积为.19.已知函数，．（1）若曲线与在公共点处有相同的切线，求实数、的值；（2）当时，若曲线与在公共点处有相同的切线，求证：点唯一；（3）若，，且曲线与总存在公切线，求正实数的最小值．参考答案：解：（1），．∵曲线与在公共点处有相同的切线∴，解得，．

………3分（2）设，则由题设有

…①又在点有共同的切线∴代入①得…………5分设，则，∴在上单调递增，所以＝0最多只有个实根，从而，结合（Ⅰ）可知，满足题设的点只能是

……………7分（3）当，时，，，曲线在点处的切线方程为，即．由，得．∵曲线与总存在公切线，∴关于的方程，即

总有解．

…………9分若，则，而，显然不成立，所以．………10分从而，方程可化为．令，则．∴当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增．∴在的最小值为，所以，要使方程有解，只须，即．……14分略20.（12分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）设函数f(x)=sinx+2cos2﹣1，a=2，f(B)=时，求b．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】（1）由余弦定理可得cosA=，结合范围0＜A＜π，利用特殊角的三角函数值可求A的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（x+），结合已知可求B，进而利用正弦定理可求b的值．【解答】（本题满分为10分）解：（1）∵在△ABC中，b2+c2﹣a2=bc．∴由余弦定理可得：cosA===，∵0＜A＜π，∴A=…5分（2）∵f（x）=sinx+2cos2=sinx+cosx=sin（x+），∴f（B）=sin（B+）=，解得B=，∵，可得：b===…10分【点评】本题主要考查了余弦定理，特殊角的三角函数值，三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．21.已知函数f（x）=Asin（ωx）（ω＞0）的图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若g(x)=f(x)·cos(2x+)，求g（x）在[0，]上的单调递减区间．参考答案：【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由图象求得A及周期，再由周期公式求得ω，则f（x）的解析式可求；（Ⅱ）把f（x）代入，整理后由复合函数的单调性求得g（x）在上的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）由图象可知A=2，设函数f（x）的周期为T，则，求得T=π，从而ω=2，∴f（x）=2sin2x；（Ⅱ）===，∴，即，k∈Z．令k=0，得，∴g（x）在上的单调递减区间为．22.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点，为等边三角形，且其面积为，A为椭圆的右顶点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于M，N