福建省宁德市第一中学2021年高一数学文下学期期末试卷含解析

/福建省宁德市第一中学2021年高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数,定义:使为整数的数叫作企盼数,则在区间[1,1000]内这样的企盼数共有(

)个.

A.7

B.8

C.9

D.10

参考答案：D略2.

设函数为奇函数，则f(5)=(

)A．0

B．1

C．

D．5参考答案：C3.若α∈（0，π），且，则cos2α=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】通过对表达式平方，求出cosα﹣sinα的值，然后利用二倍角公式求出cos2α的值，得到选项．【解答】解：（cosα+sinα）2=，而sinα＞0，cosα＜0cosα﹣sinα=﹣，cos2α=cos2α﹣sin2α=（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=﹣=，故选A．【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，本题的解答策略比较多，注意角的范围，三角函数的符号的确定是解题的关键．4.函数与函数的图像（

）A.关于原点对称

B.关于x轴对称C.关于y轴对称

D.关于直线y=x对称参考答案：D5.已知数列的首项，且，则为

（

）A．7

B．15

C．30

D．31参考答案：D略6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线B1C与直线A1C1所成角是（

）A.45° B.60° C.90° D.120°参考答案：B【分析】直线与直线所成角为，为等边三角形，得到答案.【详解】如图所示：连接易知：直线与直线所成角为为等边三角形，夹角为故答案选B【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力.7.参考答案：B略8.（5分）已知三点A（﹣2，﹣1），B（x，2），C（1，0）共线，则x为（） A． 7 B． ﹣5 C． 3 D． ﹣1参考答案：A考点： 直线的斜率．专题： 直线与圆．分析： 由三点共线可得kAB=kAC，代入向斜率公式求得x的值．解答： ∵三点A（﹣2，﹣1），B（x，2），C（1，0）共线，∴kAB=kAC，即，解得：x=7．故选：A．点评： 本题考查了直线的斜率的求法，考查了数学转化思想方法，是基础题．9.函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知集合A{x|y=2|x|+1,y∈Z}，B={y|y=22|x|+1,x∈Z},则A，B的关系是

（

）A．A=B

B。AB

C。BA

D。A∩B=φ参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）已知函数f（x）=，则f（f（））= ．参考答案：-2考点： 三角函数的化简求值．专题： 三角函数的求值．分析： 利用分段函数求出f（）的值，然后求解即可．解答： 因为，所以f（）==﹣1，所以=f（﹣1）=2（﹣1）3=﹣2．故答案为：﹣2．点评： 本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．12.定义关于x的不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的解集称为A的B邻域．若a+b﹣3的a+b邻域是区间（﹣3，3），则a2+b2的最小值是

．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】根据新定义由题意得：|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b的解集为区间（﹣3，3），从而得到关于a，b的等量关系，再利用基本不等式求得a2+b2的最小值．【解答】解：由题意可得|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b的解集为（﹣3，3），|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b等价于（﹣3，2（a+b）﹣3），∴2（a+b）﹣3=3，求得a+b=3，∴a2+b2≥=，故a2+b2的最小值为，故答案为：．【点评】本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想，属于基础题．13.已知函数f(x)=，若f（a）=2，则实数a=

．参考答案：e2【考点】函数的值．【分析】当a＜0时，f（a）=a﹣2=2；当a＞0时，f（a）=lna=2．由此能求出实数a．【解答】解：∵函数，f（a）=2，∴当a＜0时，f（a）=a﹣2=2，解得a=，不成立；当a＞0时，f（a）=lna=2，解得a=e2．∴实数a=e2．故答案为：e2．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为

.参考答案：试题分析：连接DE，设AD=2，易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE="3"，∴cos∠DAE==．15.给出下列四种说法：⑴函数与函数的定义域相同；⑵函数的值域相同；⑶函数均是奇函数；⑷函数上都是增函数。其中正确说法的序号是

。参考答案：（1）、（3）略16.与互相垂直，则实数___；参考答案：略17.A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|x＞a}，A?B，则a取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣2）【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】借助于子集概念得到两集合端点值的关系，求解不等式得到m的范围．【解答】解：因为A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|x＞a}，A?B，所以a＜﹣2，故答案为（﹣∞，﹣2）．【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用，体现了数形结合思想．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知A（1，1），B（5，4），C（2，5），设向量是与向量垂直的单位向量．（1）求单位向量的坐标；（2）求向量在向量上的投影；（3）求△ABC的面积S△ABC．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【专题】计算题；转化思想；分析法；平面向量及应用．【分析】（1）设=（x，y），根据向量的数量积和向量的模得到，解方程得，（2）设向量与向量的夹角为θ，在上的投影为h，根据向量的投影即可求出．（3）根据三角形的面积公式即可求出．【解答】解：（1）设=（x，y），依题意有，=（4，3），||=5，||=1，⊥，即=0，有，解得，或，所以，=（﹣，）或=（，﹣），（2）设向量与向量的夹角为θ，在上的投影为h，则h=||cosθ==?，=（1，4），当=（﹣，）时，h=1×（﹣）+4×=，当=（，﹣）时，h=1×+4×（﹣）=﹣，（3）S△ABC=|||h|=×5×=．【点评】本题考查了向量的数量积运算和向量的模的计算，以及向量的投影和三角形的面积．19.已知A（﹣1，2），B（2，8），（1）若=，=﹣，求的坐标；（2）设G（0，5），若⊥，∥，求E点坐标．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用向量的数乘运算、坐标运算、三角形法则即可得出．（2）利用向量的共线定理、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：（1）∵=（3，6），∴==（1，2），=﹣=（﹣2，﹣4），∴==（2，4）﹣（1，2）=（1，2）．（2）设E（x，y），则=（x+1，y﹣2），=（x﹣2，y﹣8），∵=（﹣2，﹣3），⊥，∥，∴，解得．∴E点坐标（﹣，）．【点评】本题考查了向量的数乘运算、坐标运算、三角形法则、向量的共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．20.函数f（x）=x2﹣mx（m＞0）在区间[0，2]上的最小值记为g（m）（Ⅰ）若0＜m≤4，求函数g（m）的解析式；（Ⅱ）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的函数h（x）为偶函数，且当x＞0时，h（x）=g（x），若h（t）＞h（4），求实数t的取值范围．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；二次函数的性质．【分析】（I）f（x）=．由0＜m≤4，可得，对m分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．（II）由题意可得：当x＞0时，h（x）=g（x）=，由于h（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函数，可得h（x）=，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．由于h（t）＞h（4），h（x）在（0，+∞）上单调递减，可得|t|＜4，解出即可．【解答】解：（I）f（x）=．当0＜m＜4时，，∴函数f（x）在上时单调递减，在上单调递增．∴当x=时，函数f（x）取得最小值，=﹣．当m=4时，=2，函数f（x）在[0，2]内单调递减，∴当x==2时，函数f（x）取得最小值，=﹣=﹣1．综上可得：g（m）=﹣．（II）由题意可得：当x＞0时，h（x）=g（x）=，∵h（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函数，∴h（x）=，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．∵h（t）＞h（4），及h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴|t|＜4，解得﹣4＜t＜4，且t≠0．∴t的取值范围是（﹣4，0）∪（0，4）．21.（本小题满分14分）已知数列的首项．（1）求证：数列为等比数列；（2）记，若，求最大正整数的值；（3）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列，且成等比数列？如果存在，请给予证明；如果不存在，请说明理由.参考答案：解：（1）因为，所以…………2分又因为，所以，所以数列为等比数列.………4分（2）由（1）可得，所以，，………6分若，则，所求最大正整数的值为100.…………8分（3）假设存在满足题意的正整数，则，，………9分因为，所以，…………11分化简得，，因为，…………13分当且仅当时等号成立，又互不相等，所以满足题意的正整数不存在.…………14分略22.（本小题满分13分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足关系式(2＋t)Sn＋1－tSn＝2t＋4(t≠－2，t≠0，n＝1，2，3，…)(1)当a1为何值时，数列{an}是等比数列；(2)在(1)的条件下，设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}使b1＝1，bn＝f(bn－1)(n＝2，3，4，…)，求bn；(3)在(2)条件下，如果对一切n∈N＋，不等式bn＋bn＋1＜恒成立，求实数c的取值范围．参考答案：解析：(1)(2＋t)Sn＋1－tSn＝2t＋4①n≥2时，(2＋t)Sn－tSn－1＝2t＋4②两式相减：(2＋t)(Sn＋1－Sn)－t(Sn－Sn－1)＝0，(2＋t)an＋1－tan＝0，＝．即n≥2时，为常数．当n＝1时，(2＋t)S2－tS1＝2t＋4，(2＋t