2.1两条直线的位置关系 第2课时 垂线与垂线段（教学课件）- 七年级数学下册同步备课系列（北师大2024版）

2.1两条直线的位置关系第2课时

垂线与垂线段1.了解垂线的有关概念、性质及画法，了解点到直线的距离的概念；（重点）2.能够运用垂线的有关性质进行运算，并解决实际问题.（难点）

观察下面图片,你能找出其中相交的直线吗?它们有什么特殊的位置关系?日常生活中，如图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？ba1243想一想：两条相交直线在什么情况下是垂直的？120°60°120°90°90°90°垂直这是两条直线相交的特殊情况.探究一：垂直的定义与表示如图,已知∠1=60°,那么∠2=

，∠3=

，∠4=

.改变图中∠1的大小，若∠1=90°,则∠2=

，∠3=

，∠4=

，这时两条直线的关系是

.

两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么称这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.垂直是两直线相交的一种特例.1.垂直的定义☀注意：(1)线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段与直线、射线与直线垂直,指它们所在的直线互相垂直;(2)两条直线互相垂直,则形成的四个角为直角.反之,要说明两条直线垂直,只要说明这两条直线相交成的角中有一个角为直角即可.通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.2.垂直的表示方法DCBAOOlm如图：如果直线AB与直线CD垂直，记作：AB⊥CD（或CD⊥AB）；直线l与m垂直，记作l⊥m.其中，点O是垂足.ACBDE解：CE⊥CD，理由如下：∵∠ACE=31°，∠DCB=59°,∴∠ECD=180°-∠ACE-∠DCB=180°-31°-59°

=90°.∴CE⊥CD.例1

如图，C为直线AB上一点，过点C引两条射线CE，CD，且∠ACE=31°，∠DCB=59°.那么CE，CD的位置关系是什么?为什么?(1)如图,O为直线AB上一点，∠AOC＝∠BOC，那么OC与AB垂直吗？为什么？ABCO由∠AOC＝∠BOC，且∠AOC+∠BOC＝180°，可得∠AOC＝∠BOC=90°，所以OC⊥AB.(2)以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗？你知道她每一步的依据吗?与同伴进行交流.(3)如果OC⊥AB，那么∠AOC＝∠BOC吗？因为OC⊥AB，所以∠AOC＝∠BOC=90°.探究二：垂线的画法(1)你能用折叠的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！(2)如果只有直尺，你能在方格纸上画出已知直线的垂线吗？你还能再画出两条互相垂直的直线吗？画已知直线的垂线有三种方法：(1)用三角尺画垂线;(2)用量角器画垂线;(3)借助网格纸画垂线.C例2

下列各图中,过直线l外的点P画直线l的垂线,三角尺操作正确的是(

)探究三：垂线的性质和点到直线的距离做一做：(1)画已知直线l的垂线能画几条?

l可以画无数条1.放2.靠3.画(2)如图，点A在直线l上,过点A画直线l的垂线，你能画出多少条?可以画一条.

lA

1.放2.靠3.移4.画.(3)如图，点A在直线l外,过点A画直线l的垂线，你能画出多少条呢?根据以上操作，你能得出什么结论

lA

1.放2.靠3.移4.画可以画一条..同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.☀注意：1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.垂线的性质1：线段PO最短.（4）如图所示，P是直线l外一点,PO⊥l,点O是垂足.点A,B,C在直线l上,比较线段PO,PA,PB,PC的长短,你发现了什么?直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.垂线的性质2：点到直线的距离：如图所示，过点A作直线l的垂线,垂足为B,线段AB的长度叫做点A到直线l的距离.432.4例3如图所示，在三角形ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.若AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm,则点A到直线BC的距离为

cm,点B到直线AC的距离为

cm,点C到直线AB的距离为

cm.

D解析：点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度,而垂线段是该点与直线上各点的连线中最短的,从条件看,PC是三条线段中最短的,但不一定是所有线段中最短的,所以点P到直线m的距离应该是不大于2cm.例4P为直线m外一点，A,B,C为直线m上的三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm,则点P到直线m的距离 (

)A.等于4cm B.等于2cmC.小于2cm D.不大于2cmC2.P为直线l外一点,A,B,C为直线l上的三点,PA=3cm,PB=4cm,PC=5cm,则点P到直l的距离(

)A.等于2cm B.等于3cmC.小于3cm D.不大于3cmD1.如图所示，直线AB，CD相交于点O，下列条件中，不能说明AB⊥CD的是(

)A.∠AOD=90°B.∠AOC=∠BOCC.∠BOC+∠BOD=180°D.∠AOC+∠BOD=180°垂线段最短65°3.如图所示,已知点O在直线AB上,CO⊥DO.若∠1=155°,则∠3的度数为

.

4.如图所示，单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处.他们的做法是:过点C作CD⊥l于点D,将水泵房建在了D处.这样做最节省水管,其数学道理是

.

解:如图,过点A画CB的垂线,交CB的延长线于点E.E根据点到直线的距离的定义:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫这点到这条直线的距离.可得AE的长度即为点A到直线CB的距离.5.如图所示，过点A画CB的垂线,并指出哪条线段的长度表示点A到直线CB的距离.解:∵AB⊥CD,∴∠COB=90°.∴∠EOB=90°-∠COE=90°-35°=55°.∴∠BOF=180°-∠EOB=180°-55°=125°.故∠EOB的度数是55°,∠BOF的度数是125°.6.如图所示，直线AB，CD，EF都经过点O，且AB⊥CD，∠COE=35°，求∠EOB，∠BOF的度数.垂直的定义垂线的画法垂线的性质点到直线的距离两条直线的位置关系当两条直