2025年北师大版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高二数学上册月考试卷708考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、设两点的坐标分别为条件甲：点满足条件乙：点的坐标是方程的解．则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件2、【题文】已知是等差数列，为其前n项和，若O为坐标原点，点P（1，），点Q（2011，），则（）A.2011B.-2011C.0D.13、【题文】在等差数列中，则数列的前13项之和为A.B.C.D.784、已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.不确定5、如图是一个算法的流程图；则最后输出的S值为（）

A.-1B.-4C.-9D.-166、已知复数z=-4-3i（i是虚数单位），则下列说法正确的是（）A.复数z的虚部为-3iB.复数z的虚部为3C.复数z的共轭复数为=4+3iD.复数z的模为57、有3

个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(

)

A.13

B.12

C.23

D.34

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)8、在如图所示的算法流程图中，若输入m=4,n=6,则输出a=________,i=________.9、【题文】设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝________.10、【题文】若等比数列满足：则____11、【题文】等差数列的前n项和为且则公差____12、【题文】一组数据的平均值是5，则此组数据的标准差是________．13、【题文】已知点F,B分别为双曲线C:的焦点和虚轴端点，若线段FB的中点在双曲线C上，则双曲线C的离心率是___________.14、设z=+i，则|z|=____．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共6分)22、(本小题满分14分)已知为平面上点的坐标．（1）设集合从集合中随机取一个数作为从集合中随机取一个数作为求点在轴上的概率；（2）设求点落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．23、已知斜三棱柱侧棱与底面边长均为2，侧棱与底面所成的角为60°，且侧面ABB1A1与底面垂直．

（1）求异面直线B1C与C1A所成的角；

（2）求此斜三棱柱的表面积．

24、（本小题满分14分）已知若是的充分不必要条件，求的取值范围。评卷人得分五、综合题(共4题，共28分)25、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．26、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．27、已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．28、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、B【分析】试题分析：设条件甲：．其对应的图形是圆内，而点的坐标是方程的解的点所对应的图形是椭圆，观察图形得甲是乙的必要不充分条件即可．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积表示两个向量的夹角．【解析】【答案】B2、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A3、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B4、B【分析】【解答】解：∵M（a，b）在圆x2+y2=1外；

∴a2+b2＞1；

∴圆O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=＜1=r；

则直线与圆的位置关系是相交．

故选B

【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系．5、C【分析】解：经过第一次循环得到的结果为S=-1；n=3；

经过第二次循环得到的结果为S=-4；n=5；

经过第三次循环得到的结果为S=-9；n=7；

此时不满足判断框中的条件；输出S=-9；

故选：C．

按照程序框图的流程；写出前几次循环的结果，并判断每个结果是否满足判断框中的条件，直到不满足条件，输出s．

本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找出规律．【解析】【答案】C6、D【分析】解：z=-4-3i．

A．复数的虚部为-3；因此不正确；

B．由A可知；不正确；

C．复数z的共轭复数为=-4+3i；因此不正确；

D．复数z的模==5；正确．

故选：D．

A．复数的虚部为-3；

B．由A可知；不正确；

C．复数z的共轭复数为=-4+3i；

D．利用模的计算公式即可得出．

本题考查了复数的模、虚部、共轭复数，属于基础题．【解析】【答案】D7、A【分析】解：由题意知本题是一个古典概型；

试验发生包含的事件数是3隆脕3=9

种结果；

满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组；

由于共有三个小组；则有3

种结果；

根据古典概型概率公式得到P=39=13

故选A．

本题是一个古典概型；试验发生包含的事件数是3隆脕3

种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3

种结果，根据古典概型概率公式得到结果．

本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．【解析】A

二、填空题(共7题，共14分)8、略

【分析】刚开始m=4,n=6,i=1,第一次循环后i=2,a=4,第二次循环后i=3,a=12，此时6整除12,故输出的a=12，i=3【解析】【答案】a=12,i=39、略

【分析】【解析】设等差数列{an}的公差为d，由已知得＝a1a6，即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，解得d＝故Sn＝2n＋【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】

试题分析：因为

考点：等比数列的项及通项.

点评：根据可求出公比q,从而可利用求值.【解析】【答案】311、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】212、略

【分析】【解析】

试题分析：因为一组数据的平均值是5，所以因此方差为标准差是注意审题．

考点：数据分析相关知识【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

试题分析：设则线段的中点是将此点代入双曲线方程得到：解得所以

考点：双曲线的性质【解析】【答案】14、【分析】【解答】解：z=+i=+i=．

|z|==．

故答案为：．

【分析】直接利用是分母实数化，然后求模即可．三、作图题(共8题，共16分)15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共6分)22、略

【分析】

（1）共有12个基本事件，2分且他们是等可能的，属于古典概型。4分记“点在轴上”为事件事件包含3个基本事件：6分∴所求事件的概率为7分（2）依条件可知，点均匀地分布在平面区域内，属于几何概型.9分该平面区域的图形为右图中矩形围成的区域,面积为11分所求事件构成的平面区域为其图形如下图中的三角形(阴影部分)，又直线与轴、轴的交点分别为所以三角形的面积为13分∴所求事件的概率为14分【解析】略【解析】【答案】23、略

【分析】

（1）取AB中点D，连结BC1，交B1C于点O，连结ODB1D

∵平行四边形BCC1B1的对角线交点为O；

∴O为BC1的中点，可得OD是三角形ABC1的中位线。

∴OD∥AC1，∠COD（或补角）是异面直线B1C与C1A所成的角。

∵平面ABC⊥侧面ABB1A1，平面ABC∩侧面ABB1A1=AB

正三角形ABC中；CD⊥AB

∴CD⊥侧面ABB1A1；

∵CD=AB=B1D==

可得Rt△CDB1中，B1C==得C0==D0

∴△COD中由余弦定理，得cos∠COD==

因此，异面直线B1C与C1A所成的角为arccos

（2）由（1）得AC1=2D0=从而算出cos∠ACC1==-

∴sin∠ACC1=可得S=CC1•ACcsin∠ACC1=

同理算出S=

又∵S=A1A•ABsin60°=2S△ABC=S==

∴此斜三棱柱的表面积为。

S=S+S+S+S△ABC+S=2+4．

【解析】【答案】（1）取AB中点D，连结BC1，交B1C于点O，连结OD、B1D．由平行四边形形的性质和三角形中位线定理，证出∠COD（或补角）是异面直线B1C与C1A所成的角．结合题中数据算出△COD的三边之长，再利用余弦定理即可算出异面直线B1C与C1A所成的角大小；

（2）根据余弦定理解三角形，算出cos∠ACC1=-从而得到sin∠ACC1=可得S=．同样的方法算出S=结合S=2和S△ABC=S=即可求出此斜三棱柱的表面积．

24、略

【分析】

（10分）（12分）又（13分）故（14分）【解析】略【解析】【答案】五、综合题(共4题，共28分)25、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．26、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．27、解：（Ⅰ）∵f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6；f（1）＞0

∴﹣3+a（6﹣a）+6＞0

∴a2﹣6a﹣3＜0

∴{#mathml#}3-23<a<3+23

{#/mathml#}

∴不等式的解集为{#mathml#}a|3-23<a<3+23

{#/mathml#}

（Ⅱ）∵不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），

∴﹣3x2+a（6﹣a）x+6＞b的解集为（﹣1，3），

∴﹣1，3是方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣6+b=0的两个根

∴{#mathml#}-1+3=a6-a