2025年北师大新版高一数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大新版高一数学下册月考试卷520考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、设一元二次方程（x-1）（x-2）=m（m＜0）的两根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（）A.1＜α＜β＜2B.1＜α＜2＜βC.α＜1＜β＜2D.α＜1且β＞22、如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合为A.B.C.D.3、已知等差数列{}的前n项和为且S2=10，S5=55，则过点P（n，），Q（n+2，）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．－4D．－4、【题文】下列函数中，最小值为2的函数是A.B.C.D.5、【题文】集合则下列结论正确的是（）A.B.C.D.6、如图表示空间直角坐标系的直观图中；正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个7、为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把y=sinx图象上所有的点（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位8、集合M={x|x=3k-2，k∈Z}，P={y|y=3n+1，n∈Z}，S={z|z=6m+1，m∈Z}之间的关系是（）A.S⊊P⊊MB.S=P⊊MC.S⊊P=MD.P=M⊊S9、在下列命题中；正确的个数是（）

①若||=||，=

②若=则∥

③||=||；

④若∥∥则∥．A.1B.2C.3D.4评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+x+a（a为常数），则f（-1）=____．11、若点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第三象限，则角θ是第____象限的角．12、设表示向正西北走10km，表示向正东北走5km，表示向正东南走2km，则+2+5表示____．13、【题文】一次研究性课堂上，老师给出函数甲；乙、丙三位同学在研究此函数的性质时分别给出下列命题：

甲：函数为偶函数；

乙：函数

丙：若则一定有

你认为上述三个命题中正确的个数有____个14、【题文】以抛物线的焦点为圆心，且被轴截得的弦长等于的圆的方程为__________________.15、函数y=|x|的单调递增区间为____16、等差数列{an}中，a1=13，a4=1，则公差d=______．评卷人得分三、解答题(共9题，共18分)17、如图一所示，边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB、DD1的中点．

（Ⅰ）证明：EF∥平面BCD1；

（Ⅱ）若G为B1C1的中点，证明：A1G⊥EF；

（Ⅲ）如图二所示为一几何体的展开图，沿着图中虚线将它们折叠起来，所得几何体的体积为V1，若正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2，求的值．

18、已知函数f（x）=x2+px+q；若集合{x|f（x）=x}中仅有一个元素2；

（1）求实数p；q的值；

（2）求集合{x|f（x-1）=x+1}．

19、已知实数m使x2-4mx+2m+30＞0对一切x∈R成立；

（1）求实数m的范围D；

（2）求f（m）=（m+3）（1+|m-1|）（m∈D）的值域．

20、已知函数f（x）=log4（2x+3-x2）；

（1）求f（x）的定义域；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）求f（x）的值域．

21、（本小题满分14分）解不等式（1）（2）22、(本题满分12分)某校举行的数学知识竞赛中，将参赛学生的成绩在进行整理后分成5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组．已知第三小组的频数是15．(1)求成绩在50—70分的频率是多少；(2)求这次参赛学生的总人数是多少；(3)求这次数学竞赛成绩的平均分的近似值．23、【题文】(本小题12分)如图四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形；侧棱与底边长均为a；

且∠A1AD=∠A1AB=60°。

①求证四棱锥A1-ABCD为正四棱锥；

②求侧棱AA1到截面B1BDD1的距离；

③求侧面A1ABB1与截面B1BDD1的锐二面角大小。24、已知过点A（1）和B（5，12），以x轴正半轴为始边按照逆时针旋转所形成的最小正角分别为α，β．

（1）求sinα和cosβ；

（2）求sin（2α+β）．25、已知直线l

平行于直线3x+4y鈭�7=0

并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24

求直线l

的方程．评卷人得分四、作图题(共1题，共8分)26、作出下列函数图象：y=评卷人得分五、计算题(共4题，共16分)27、已知：（b-c）2=（a-b）（c-a），且a≠0，则=____．28、已知∠A为锐角且4sin2A-4sinAcosA+cos2A=0，则tanA=____．29、（2008•宁波校级自主招生）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=15°，且AE=AD，则∠CDE=____°．30、如果，已知：D为△ABC边AB上一点，且AC=，AD=2，DB=1，∠ADC=60°，求∠BCD的度数．评卷人得分六、综合题(共2题，共6分)31、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1；-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）试判断抛物线上是否存在一点P；使∠POM=90°．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．

（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK=90°，若不存在，说明理由；若存在，求出K点的坐标．32、已知△ABC的一边AC为关于x的一元二次方程x2+mx+4=0的两个正整数根之一，且另两边长为BC=4，AB=6，求cosA．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、A【分析】【分析】先令m=0求出函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合即可求出α，β的取值范围．【解析】【解答】解：设函数y=（x-1）（x-2）；

令m=0；

则（x-1）（x-2）=0；

解得：x=1或x=2；

则函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点分别为（1；0），（2，0）；

故此函数的图象如图：

∵m＜0；

∴y＜0；结合图象可得：x轴下方部分符合要求；

∴1＜α＜β＜2．

故选A．2、D【分析】【解析】试题分析：观察韦恩图可知，阴影表示的集合具有如下特征：在集合B中，不在集合A中，所以阴影部分所表示的集合为选D。考点：本题主要考查集合的运算，韦恩图。【解析】【答案】D3、A【分析】【解析】

由S2=10，S5=55得a1=3,d=4,直线斜率为：【解析】【答案】A4、D【分析】【解析】令所以则所以函数当时取到最小值不符合；

的定义域为当或时，此时单调递减；当或时，此时单调递增。所以在定义域上没有最小值；不符合；

因为所以当时，函数取到最大值2；不符合；

令所以则所以函数当时取到最小值2，符合，故选D。【解析】【答案】D5、D【分析】【解析】又

∴选D。【解析】【答案】D6、C【分析】【解答】根据空间直角坐标系的规定可知（1）（2）（4）都正确；（3）中，Oy轴的正向应为负向；

故选C．

【分析】直接按照空间直角坐标系的规定，直接推出结果即可。7、A【分析】【解答】解：∵由y=sinx到y=sin（x+），只是横坐标由x变为x+

∴要得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动个单位长度．

故选：A．

【分析】直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案．8、C【分析】解：∵M={x|x=3k-2；k∈Z}，N={y|y=3n+1，n∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}

∴M={-8；-5，-2，1，4，7，10，13，16}

P={-8；-5，-2，1，4，7，10}

S={1；7，13，19，25，}

故S⊊P=M；

故选：C．

给三个集合中的k；n，M依次取值，得到三个集合都含有公共元素1，且M，P是以3为公差的一些数组成，S是以6为公差的数组成，得到三者间的关系．

本题考查通过列举法得到集合的部分元素，得到各集合中元素的特点，判断出集合的关系．【解析】【答案】C9、B【分析】解：对于①，||=||时，与的方向不一定相同，∴=不一定成立；命题错误；

对于②，当=时，∥命题正确；

对于③，向量与是相反向量，∴||=||；命题正确；

对于④，当∥∥时，若=则与的方向不能确定，∴∥不一定成立；命题错误．

综上；正确的命题是②③．

故选：B．

根据向量相等的概念可以判断①②是否正确；

根据相反向量可以判断③是否正确；

根据向量平行的概念判断④是否正确．

本题考查了平面向量的基本概念的应用问题，是基础题目．【解析】【答案】B二、填空题(共7题，共14分)10、略

【分析】

∵当x≥0时，f（x）=2x+x+a；

∴f（1）=3+a

∵f（x）是定义在R上的奇函数。

∴f（0）=1+0+a=0；∴a=-1

∴f（-1）=-f（1）=-3-a=-2

故答案为-2

【解析】【答案】先利用奇函数的性质f（0）=0；计算a的值，再利用已知函数解析式，计算f（1）的值，最后利用奇函数的对称性求得f（-1）

11、略

【分析】

∵点P（sinθcosθ；2cosθ）位于第三象限；

∴sinθcosθ＜0

2cosθ＜0；

∴sinθ＞0；

cosθ＜0

∴θ是第二象限的角．

故答案为：二．

【解析】【答案】根据所给的点在第三象限；写出这个点的横标和纵标都小于0，根据这两个都小于0，得到角的正弦值大于0，余弦值小于0，得到角是第二象限的角．

12、略

【分析】

由题意可得和5互为相反的向量，∴+5=

∴+2+5=2

故答案为：2．

【解析】【答案】由题意可得和5互为相反的向量，故有+5=从而得到+2+5=2．

13、略

【分析】【解析】

试题分析：因为所以函数不是偶函数.因为函数是奇函数.先研究当x>0时，所以所以乙是正确的.由x>0时是递增的.所以丙是正确的.所以填2.本题解析式中的绝对值需要分类讨论；才能更清晰了解函数的解析式.

考点：1.分段函数的知识.2.函数的奇偶性，单调性.3.函数的值域.【解析】【答案】2.14、略

【分析】【解析】解：因为抛物线的焦点为（1,0）因被x轴截得的弦长为2，则半径满足r2=1+1=2

故所求的圆的方程为（x-1）2+y2=1【解析】【答案】（x-1）2+y2=115、（0，+∞）【分析】【解答】解：函数y=|x|的零点为x=0；

其图象如下；

通过图象可知；函数单调递增区间为（0，+∞）．

故答案为：（0；+∞）．

【分析】根据y=x的性质，求出函数的零点，函数y=|x|的图象是函数y=x关于x轴对称得到，通过图象求解单调增区间16、略

【分析】解：在等差数列{an}中；

由a1=13，a4=1，得d==．

∴等差数列{an}的公差d=-4．

故答案为：-4．

由题目给出的已知条件；直接代入等差数列的通项公式求公差即可．

本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题．【解析】-4三、解答题(共9题，共18分)17、略

【分析】

如图二所示；该几何体为有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，即四棱锥的高为1，底面是边长为1的正方形；

∴V四棱锥==

又=1；

∴=．

【解析】【答案】（Ⅰ）取CD1的中点H，连接FH，HB，证明EF∥HB，利用线面平行的判定，可得EF∥平面BCD1；

（Ⅱ）取BC中点I，连接GI，AI，证明AI⊥EF由四边形A1AIG为平行四边形得A1G∥AI；即可得到结论；

（Ⅲ）分别计算体积；即可得到结论．

（Ⅰ）证明：取CD1的中点H；连接FH，HB；

∵F、H分别是DD1、CD1的中点；

∴FH∥DC且FH=DC；

∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中；AB∥DC且AB=DC；

又E为AB的中点；∴FH∥EB且FH=EB；

∴四边形FHBE为平行四边形；∴EF∥HB；

又∵HB⊂平面BCD1，EF⊄平面BCD1；

∴EF∥平面BCD1；

（Ⅱ）证明：取BC中点I；连接GI，AI；

在正方形ABCD中，E，I分别为AB，BC的中点，

∴DE⊥AI；

∵DD1⊥平面ABCD；AI⊂平面ABCD；

∴AI⊥DF；

又DF∩DE=D；

∴AI⊥平面DEF；又EF⊂平面DEF；

∴AI⊥EF

由四边形A1AIG为平行四边形得A1G∥AI；

∴A1G⊥EF；

（Ⅲ）18、略

【分析】

（1）f（x）=x有两个相等的实数根，f（x）=x2+px+q=x；

可得方程x2+（p-1）x+q=0有两个相等的实数根为2；说明可以凑成完全平方式；

∴x2+（p-1）x+q=（x-2）2=x2-4x+4；∴p-1=-4，q=4；

所以p=-3；q=4；

（2）f（x-1）=x+1即是：（x-1）2-3（x-1）+4=x+1；

解得x=3±

∴{x|f（x-1）=x+1}={3+3-}．

【解析】【答案】（1）已知函数f（x）=x2+px+q，若集合{x|f（x）=x}中仅有一个元素2，将问题转化为方程x2+（p-1）x+q=0有两个相等的实数根为2；可以方程可以凑成完全平方式，利用系数相等，可以求解；

（2）由（1）求得的解析式f（x）；代入f（x-1）=x+1，得到一个方程，解出方程的解，就是集合的元素；

19、略

【分析】

（1）若x2-4mx+2m+30＞0对一切x∈R成立；

则△=（-4m）2-4（2m+30）＜0

解得＜m＜3

即D=（3）

（2）当m∈（1]时，f（m）=（m+3）（1+|m-1|）=（m+3）（2-m）=-m2-m+6=-（m+）2+∈（]

当m∈（1，3）时，f（m）=（m+3）（1+|m-1|）=（m+3）m=m2+3m=（m+）2-∈（4；18）

故f（m）=（m+3）（1+|m-1|）（m∈D）的值域为（18）

【解析】【答案】（1）由x2-4mx+2m+30＞0对一切x∈R成立；可得不等式对应的方程的△＜0，由此构造关于m的不等式，解不等式，可得实数m的范围D；

（2）利用零点分段法；结合二次函数的图象和性质，可分类讨论函数f（m）在各段上的值域，最后得到函数的值域．

20、略

【分析】

（1）∵2x+3-x2＞0．

∴-1＜x＜3．

∴函数f（x）的定义域为（-1；3）．

（2）令t=2x+3-x2；则函数t在（-1，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减．

∵y=log4t在（0；+∞）单调递增．

∴函数f（x）在（-1；1）上单调递增，在（1，3）上单调递减．

（3）由（2）的单调性可知；当x=1时，函数f（x）有最大值1，此时x=1．

函数的值域为（-∞；1]

【解析】【答案】（1）由题意可得2x+3-x2＞0；解不等式可求函数f（x）的定义域。

（2）要求函数的单调性及单调区间，根据复合函数单调性，只要求解t=22x+3-x2在定义域内的单调区间即可。

（3）要求函数f（x）的最大，只要求t=2x+3-x2最大值；进而可求函数的值域。

21、略

【分析】【解析】试题解析：（1）∴即解集为（2）当时，有∴当时，有∴考点：本题考查解指数、对数不等式【解析】【答案】（1）（2）当时，当时22、略

【分析】

(1)成绩在50—70分的频率为0.03×10+0.04×10=0.7;4分(2)第三小组的频率为0.015×10=0.15，这三个年级参赛学生的总人数(总数=频数/频率)为=100(人)．4分(3)平均分约为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67．12分【解析】略【解析】【答案】23、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）由AA1＝AD＝AB，及∠A1AD＝∠A1AB＝60°△A1AD、△AA1B都是正三角形，从而AA1＝A1D＝A1B，设A1在底面ABCD的射影为O，则由斜线长相等推出射影长也相等，所以O是Rt△ABD的外心，因为Rt△ABD的外心是斜边BD的中点，所以O是底面正方形ABCD的中心。所以四棱锥A1—ABCD是正四棱锥。

（2）由DB⊥平面AA1O截面BB1D1D⊥平面AA1O点O与侧棱AA1的距离d等于AA1和截面BB1D1D之间的距离。取AA1的中点M，则OM∥A1C，且OM⊥AA1，OM＝A1C＝a，∴所求距离为a。

（3）注意到所求二面角的棱是B1B，由M是AA1的中点MB⊥AA1，B1B∥AA1MB⊥B1B，又DB⊥AA1，AA1//B1BDB⊥B1B；

∴∠MBD是所求二面角的平面角。不妨设AB＝a＝2，则BD＝2MB＝MD＝

∴tanMBD＝

∴侧面A1ABB1与截面B1BDD1的夹角为arctan

考点：本试题考查了距离和角的求解运用。

点评：对于立体几何中的角和距离的求解是高考的一个方向，那么解决这类问题一般可以从两个角度来做，一个就是利用几何性质，结合定理和推论来了得到，另一个就是建立直角坐标系，通过法向量和直线的方向向量来表示得到，属于中档题。【解析】【答案】（1）因为Rt△ABD的外心是斜边BD的中点；所以O是底面正方形ABCD的中心，因此证明。

（2）a

（3）arctan24、略

【分析】

（1）由条件利用任意角的三角函数的定义；求得sinα和cosβ的值．

（2）由条件利用二倍角的三角公式求得sin2α；cos2α的值；再利用两角和的正弦公式求得sin（2α+β）=sin2αcosβ=cos2αsinβ的值．

本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的三角公式，两角和的正弦公式的应用，属于基础题．【解析】解：（1）由三角函数定义知sinα==cosβ==．

（2）由于0＜α，β＜∴cosα==sinβ==

∴sin2α=2sinαcosα=cos2α=2cosα2-1=

∴sin（2α+β）=sin2αcosβ=cos2αsinβ=+=．25、略

【分析】

设直线l

的方程为：3x+4y+m=0

求出截距，代入面积公式解出m

即可得出直线l

的方程．

本题考查了直线的位置关系，直线方程的求解，属于中档题．【解析】解：设直线l

的方程为：3x+4y+m=0

令x=0

得y=鈭�m4

令y=0

得x=鈭�m3

．

隆脿

直线l

与两坐标轴围成的三角形的面积为12隆脕|鈭�m4|隆脕|鈭�m3|=24

解得m=隆脌24

．

隆脿

直线l

的方程为3x+4y隆脌24=0

．四、作图题(共1题，共8分)26、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．五、计算题(共4题，共16分)27、略

【分析】【分析】根据题意将原式变形，然后利用添项法可配成完全平方式，再利用偶次方的非负性即可得出答案．【解析】【解答】解：；

化简：4a2-4a（b+c）+（b+c）2=0，；

即：；

∴=2，则=；

故答案为：．28、略

【分析】【分析】先根据解一元二次方程的配方法，得出2sinA-cosA=0，再根据tanA的定义即可求出其值．【解析】【解答】解：由题意得：（2sinA-cosA）2=0；

解得：2sinA-cosA=0；2sinA=cosA；

∴tanA===0.5．

故答案为：0.5．29、略

【分析】【分析】根据等腰三角形性质推出∠1=∠2，∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠1+∠3=∠B+15°，∠2=∠C+∠3，推出2∠3=15°即可．【解析】【解答】解：∵AD=AE，AC=AB，

∴∠1=∠2；∠B=∠C；

∵∠1+∠3=∠B+∠BAD=∠B+15°；

∠2=∠1=∠C+∠3；

∴∠C+∠3+∠3=∠B+15°；

2∠3=15°；

∴∠3=7.5°；

即∠CDE=7.5°；

故答案为：7.5°．30、略

【分析】【分析】过C作CE⊥AB于E，要想求∠BCD的度数，只需求出∠BCE的度数即可．设DE=x，在Rt△DCE中，∠ADC=60°，可求出CE的长；在Rt△AEC中，可根据勾股定理列出等式，从而求出x的值，继而得出BE=CE，求出∠BCE的值．【解析】【解答】解：过C作CE⊥AB于E；

设DE=x；则AE=2-x；

在Rt△DCE中；∠ADC=60°；

∴CE=x；

在Rt△AEC中；

根据勾股定理得：AE2+CE2=AC2；

∴（2-x）2+（x）2=（）2；

解得：；

∴BE=CE=；

又∠BEC=90°；

∴∠BCE=45°；又∠DCE=90°-∠ADC=90°-60°=30°；

∴∠BCD=∠BCE-∠DCE=15°．六、综合题(共2题，共6分)31、略

【分析】【分析】（1）将A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求a、b；c的值；得出抛物线解析式；

（2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90˚．设（a，a2-4a）；过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，利用互余关系证明Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求a即可；

（3）抛物线上必存在一点K，