2025年外研版2024高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版2024高一数学上册月考试卷958考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、已知集合A={x|0≤x≤4}；B={y|0≤y≤2}，下列从A到B的对应f不是映射的是（）

A.f：x→y=

B.f：x→y=

C.f：x→y=

D.f：x→y=

2、直线与圆的位置关系是A.相切B.相离C.相交D.与的取值有关3、【题文】已知集合则（）A.B.C.D.4、【题文】已知圆O：点P是椭圆C：上一点，过点P作圆O的两条切线PA、PB，A、B为切点，直线AB分别交轴、轴于点M、N，则的面积的最小值是。

A.B.1C.D.5、【题文】若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.6、【题文】函数y=log(2x2-3x+1)的递减区间为（）A.（1，+）B.（－］C.（+）D.（－］7、在△AOB中，则△AOB的面积为（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)8、不等式≥0的解集____.9、函数的最小正周期是____，它的图象可以由y=sin2x的图象向左平移____个单位得到．10、经过点（﹣2，1），且与直线2x﹣3y+5=0平行的直线方程是____11、已知f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）的图象如图所示，则不等式x[f（x）-f（-x）]＜0的解集为______．12、已知sin(娄脕鈭�3娄脨2)<0,tan娄脕<0

则角娄脕

是第______象限角．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)13、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．14、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．15、作出下列函数图象：y=16、作出函数y=的图象．17、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

18、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．评卷人得分四、计算题(共3题，共18分)19、在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，CD=2厘米，AD-BD=3厘米，那么BC=____厘米．20、如图，D是BC上一点，E是AB上一点，AD、CE交于点P，且AE：EB=3：2，CP：CE=5：6，那么DB：CD=____．21、（2005•兰州校级自主招生）已知四边形ABCD是正方形，且边长为2，延长BC到E，使CE=-，并作正方形CEFG，（如图），则△BDF的面积等于____．评卷人得分五、综合题(共4题，共12分)22、已知抛物线y=x2+4ax+3a2（a＞0）

（1）求证：抛物线的顶点必在x轴的下方；

（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），过A、B两点的圆M与y轴相切，且点M的纵坐标为；求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点C，求△CPA的面积．23、如图；以A为顶点的抛物线与y轴交于点B；已知A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设M（m；n）是抛物线上的一点（m；n为正整数），且它位于对称轴的右侧．若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；

（3）在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是否总成立？请说明理由．24、已知抛物线y=-x2+2mx-m2-m+2．

（1）判断抛物线的顶点与直线L：y=-x+2的位置关系；

（2）设该抛物线与x轴交于M；N两点；当OM•ON=4，且OM≠ON时，求出这条抛物线的解析式；

（3）直线L交x轴于点A，（2）中所求抛物线的对称轴与x轴交于点B．那么在对称轴上是否存在点P，使⊙P与直线L和x轴同时相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25、已知二次函数y=x2-2mx-m2（m≠0）的图象与x轴交于点A；B，它的顶点在以AB为直径的圆上．

（1）证明：A；B是x轴上两个不同的交点；

（2）求二次函数的解析式；

（3）设以AB为直径的圆与y轴交于点C，D，求弦CD的长．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】

集合A={x|0≤x≤4}；B={y|0≤y≤2}；

A、f：x→y=x；∵若0≤x≤4，可得0≤y≤2，故A为映射；

B、f：x→y=x，∵若0≤x≤4，可得0≤y≤故B为映射；

C、f：x→y=x，∵若x=4，可得y=故C不为映射；

D、f：x→y=∵若0≤x≤4，可得0≤y≤2，故D选项是A到B的映射；

故选C

【解析】【答案】根据映射的定义看集合A与集合B中的元素是否满足对应关系；从而对A；B、C、D四个选项进行一一判断。

2、C【分析】【解析】【答案】C3、B【分析】【解析】

试题分析：因为集合中的元素都在集合里，所以选B.

考点：集合间的关系.【解析】【答案】B4、A【分析】【解析】令由切线公式可得直线PA:直线PB:所以P满足和所以可得直线AB的方程为。

①.由①式得所以OMN面积②

另带入②得则所以当sin2β=1时面积最小,

此时Smin=【解析】【答案】A5、D【分析】【解析】要使函数是R上的增函数，需使解得故选D【解析】【答案】D6、A【分析】【解析】分析：y=log（2x2-3x+1）为复合函数；由复合函数单调性“同增异减”判断即可，注意定义域．

解答：解：y=log（2x2-3x+1）由y=logt和t=2x2-3x+1复合而成，因为y=logt在（0；+∞）上为减函数；

所以只需求t=2x2-3x+1的递增区间，因为t=2x2-3x+1在真数位置；故应恒大于0；

而t=2x2-3x+1大于0的递增区间为（1，+），故函数y=log（2x2-3x+1）的递减区间为（1，+）．

故选A

点评：本题考查复合函数的单调区间，在求复合函数单调区间时注意“同增异减”，还要注意定义域．【解析】【答案】A7、C【分析】解：在△AOB中，

可得2×5×cos∠AOB=-5，cos∠AOB=．sin

则△AOB的面积为：|OA||OB|sin∠AOB==．

故选：C．

求出AOB的夹角；利用三角形的面积求解即可．

本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．【解析】【答案】C二、填空题(共5题，共10分)8、略

【分析】【解析】试题分析：根据题意，不等式≥0等价于那么根据绝对值的几何意义可知，任意实数的绝对值都大于等于零，故可知解集为R.考点：一元二次不等式的解集【解析】【答案】R9、略

【分析】

∵

∴最小正周期是T==π

∵

∴它的图象可以由y=sin2x的图象向左平移个单位得到；

故答案为：π；

【解析】【答案】根据所给的三角函数是可以直接利用求周期的形式；根据周期的公式，写出周期的值，把三角函数式中的x的系数提出，括号中只有x和一个角度，这个角度就是图象变化的大小．

10、2x﹣3y+7=0【分析】【解答】解：设过点（﹣2；1），且与直线2x﹣3y+5=0平行的直线方程是2x﹣3y+m=0，把点（﹣2，1）代入方程解得。

m=7；故所求的直线的方程为2x﹣3y+7=0；

故答案为：2x﹣3y+7=0．

【分析】设出所求的直线方程是2x﹣3y+m=0，把点（﹣2，1）代入方程解得m的值，即得所求的直线的方程．11、略

【分析】解：∵已知f（x）是定义在（-∞；0）∪（0，+∞）

上的奇函数；

∴f（-x）=-f（x）；且f（x）的图象关于原点对称；

∴不等式x[f（x）-f（-x）]＜0；即2x•f（x）＜0；

即x与f（x）的符号相反；结合函数f（x）在R上的图象可得；

2x•f（x）＜0的解集为（0；3）∪（-3，0）；

故答案为（0；3）∪（-3，0）．

由题意可得；f（-x）=-f（x），且f（x）的图象关于原点对称，不等式即2x•f（x）＜0，即x与f（x）的符号相反，结合函数f（x）在R上的图象可得，2x•f（x）＜0的解集．

本题主要考查函数的奇偶性的性质，根据函数的图象解不等式，属于基础题．【解析】（0，3）∪（-3，0）12、略

【分析】解：隆脽sin(娄脕鈭�3娄脨2)=cos娄脕<0

隆脿娄脕

在在第二；三象限或x

轴的负半轴上；

隆脽tan娄脕<0

隆脿娄脕

在第二；四象限；

隆脿

角娄脕

是第二象限角；

故答案为：二。

根据三角函数值的符号法则；结合题意，进行判断即可．

本题考查了判断根据三角函数值判断角所在象限的应用问题，是基础题目．【解析】二三、作图题(共6题，共12分)13、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．14、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．15、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．16、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可17、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．18、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。四、计算题(共3题，共18分)19、略

【分析】【分析】设BD=x，则AD=3+x，在Rt△ACD、Rt△BCD、Rt△ABC中，分别应用勾股定理先求出x的值，然后求出BC的长．【解析】【解答】解：设BD=x；则AD=3+x；

在Rt△ACD中，根据勾股定理有：（3+x）2+22=AC2；

在Rt△BCD中，根据勾股定理有：x2+22=BC2；

在Rt△ABC中，根据勾股定理有：AC2+BC2=AB2=（3+2x）2；

∴（3+x）2+22+x2+22=（3+2x）2；

解得：x=1或-4（舍去）．

又∵12+22=BC2；

∴BC=．

故答案为：．20、略

【分析】【分析】过E点作EF∥BC，交AD于F．根据平行线分线段成比例得出EF：BD=3：（3+2）=3：5，EF：CD=（6-5）：5=1：5=3：15，从而得解．【解析】【解答】解：过E点作EF∥BC；交AD于F．

∵AE：EB=3：2；CP：CE=5：6；

∴EF：BD=3：（3+2）=3：5；EF：CD=（6-5）：5=1：5=3：15；

∴DB：CD=5：15=1：3．

故答案为：1：3．21、略

【分析】【分析】根据正方形的性质可知三角形BDC为等腰直角三角形，由正方形的边长为2，表示出三角形BDC的面积，四边形CDFE为直角梯形，上底下底分别为小大正方形的边长，高为小正方形的边长，利用梯形的面积公式表示出梯形CDFE的面积，而三角形BEF为直角三角形，直角边为小正方形的边长及大小边长之和，利用三角形的面积公式表示出三角形BEF的面积，发现四边形CDEF的面积与三角形EFB的面积相等，所求△BDF的面积等于三角形BDC的面积加上四边形CDFE的面积减去△EFB的面积即为三角形BDC的面积，进而得到所求的面积．【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形；边长为2；

∴BC=DC=2；且△BCD为等腰直角三角形；

∴△BDC的面积=BC•CD=×2×2=2；

又∵正方形CEFG；及正方形ABCD；

∴EF=CE；BC=CD；

由四边形CDFE的面积是（EF+CD）•EC，△EFB的面积是（BC+CE）•EF；

∴四边形CDFE的面积=△EFB的面积；

∴△BDF的面积=△BDC的面积+四边形CDFE的面积-△EFB的面积=△BDC的面积=2．

故答案为：2．五、综合题(共4题，共12分)22、略

【分析】【分析】（1）判定抛物线的顶点必在x轴的下方；根据开口方向，二次函数只要与x轴有两个交点即可．

（2）利用垂径定理；勾股定理可以求出

（3）利用三角形面积公式，以CD为底边，P到y轴的距离为高，可以求出．【解析】【解答】（1）证明：抛物线y=x2+4ax+3a2开口向上；且a＞0

又△=（4a）2-4×3a2=4a2＞0

∴抛物线必与x轴有两个交点

∴其顶点在x轴下方

（2）解：令x2+4ax+3a2=0

∴x1=-a，x2=-3a2

∴A（-a；0），B（-3a，0）

又圆M与y轴相切；

∴MA=2a

如图在Rt△MAC中，MA2=NA2+NM2即（2a）2=a2+（）2

∴a=±1（负值舍去）

∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3

（3）解：P（-2；-1），A（-1，0），C（0，3）

设直线PA的方程：y=kx+b，则-1=-2k+b

0=-k+b

∴k=1

b=1

∴y=x+1；令x=0得y=1

∴D（0；1）

∴S△CPA=S△PCD-S△CAD=×2×2-×2×1=123、略

【分析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标；可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将B点坐标代入求解即可；

（2）由于M在抛物线的图象上，根据（1）所得抛物线的解析式即可得到关于m、n的关系式：n=（m-3）2；由于m；n同为正整数，因此m-3应该是3的倍数，即m应该取3的倍数，可据此求出m、n的值，再根据“以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数”将不合题意的解舍去，即可得到M点的坐标；

（3）设出P点的坐标，然后分别表示出PA2、PB2、PM2的长，进而可求出关于PA2+PB2+PM2与P点纵坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PA2+PB2+PM2的最大（小）值，进而可判断出所求的结论是否恒成立．【解析】【解答】解：（1）设y=a（x-3）2；

把B（0；4）代入；

得a=；

∴y=（x-3）2；

（2）解法一：

∵四边形OAMB的四边长是四个连续的正整数；其中有3；4；

∴可能的情况有三种：1；2、3、4；2、3、4、5；3、4、5、6；

∵M点位于对称轴右侧；且m，n为正整数；

∴m是大于或等于4的正整数；

∴MB≥4；

∵AO=3；OB=4；

∴MB只有两种可能；∴MB=5或MB=6；

当m=4时，n=（4-3）2=（不是整数；舍去）；

当m=5时，n=（不是整数；舍去）；

当m=6时；n=4，MB=6；

当m≥7时；MB＞6；

因此；只有一种可能，即当点M的坐标为（6，4）时，MB=6，MA=5；

四边形OAMB的四条边长分别为3；4、5、6．

解法二：

∵m，n为正整数，n=（m-3）2；

∴（m-3）2应该是9的倍数；

∴m是3的倍数；

又∵m＞3；

∴m=6；9，12；

当m=6时；n=4；

此时；MA=5，MB=6；

∴当m≥9时；MB＞6；

∴四边形OAMB的四边长不能是四个连续的正整数；

∴点M的坐标只有一种可能（6；4）．

（3）设P（3；t），MB与对称轴交点为D；

则PA=|t|，PD=|4-t|，PM2=PB2=（4-t）2+9；

∴PA2+PB2+PM2=t2+2[（4-t）2+9]

=3t2-16t+50

=3（t-）2+；

∴当t=时，PA2+PB2+PM2有最小值；

∴PA2+PB2+PM2＞28总是成立．24、略

【分析】【分析】（1）根据抛物线y=-x2+2mx-m2-m+2=-（x-m）2-m+2；得出顶点坐标代入一次函数解析式即可；

（2）利用已知得出x1x2=m2+m-2，|m2+m-2|=4；进而求出m的值，再利用根的判别式得出m的取值范围，进而求出；

（3）分别利用点P1到直线L的距离P1Q1为a，以及点P2到直线L的距离P2Q2为b求出即可．【解析】【解答】解：（1）由抛物线y=-x2+2mx-m2-m+2=-（x-m）2-m+2；

得顶点坐标为（m；-m+2），显然满足y=-x+2

∴抛物线的顶点在直线L上．

（2）设M（x1，0），N（x2，0），且x1＜x2．

由OM•ON=4，OM≠ON，得|x1•x2|=4．

∵x1x2=m2+m-2，∴|m2+m-2|=4．

当m2+m-2=4时，m1=2，m2=-3

当m2+m-2=-4时；△＜0，此方程无解；

∵△1=（2m）2-4（m2+m-2）=-4m+8=-4m+8＞0．

∴m＜2．

故取m=-3．

则抛物线的解析式为y=-x2-6x-4．

（3）抛物线y=-x2-6x-4的对称轴为x=-3；顶点（-3，5）．

依题意；∠CAB=∠ACB=45°．

若点