2024-2025学年高一数学上学期高频考点突破专题01集合含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1集合模块一：集合与元素1．集合：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．集合一般用英文大写字母表示．元素一般用英文小写字母表示；不含任何元素的集合叫做空集，记作．2．元素与集合的关系：、；3．常见的数集的写法：自然数集正整数集整数集有理数集实数集或4．元素的性质：确定性、互异性、无序性．5．集合的表示法⑴列举法．⑵描述法（又称特征性质描述法）：形如，称为集合的特征性质，称为集合的代表元素．为的范围，有时也写为．⑶图示法，又叫韦恩（Venn）图．⑷区间表示法：用来表示连续的数集．考点1：集合与元素的关系例1．若一个集合中的三个元素，，是的三边长，则此三角形肯定不是A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【解答】解：依据集合的性质可知，肯定不是等腰三角形．故选：．（2）若，，，则A． B．0 C．1 D．0或1【解答】解：①若，则，解得或，时，，，，，，舍去，；②若，则，无实数解；由①②知：．故选：．（3）设集合，，，若，则A．或或2 B．或 C．或2 D．或2【解答】解：若，则，，，4，；若，则或，时，，，，；时，（舍，故选：．例2.若集合只有一个元素，则A． B．0 C．4 D．0或【解答】解：集合只有一个元素，当时，不成立，集合是空集，不合题意当时，此时集合中元素是一元二次的根，所以△，即，解得故选：（2）已知集合至多有一个元素，则的取值范围是．【解答】解：时，即，，符合要求；时，至多有一个解，△，综上，的取值范围为故答案为：例3.已知集合被4除余1，．（1）请问53是不是中的元素？若是，将中的元素按从小到大的依次排列，它是第几项？（2）求中全部元素之和．【解答】（1）依据集合被4除余1，．得53被4除商13余1．所以，，，所以是第14项．（2）中的元素为．．．．故全部元素之和为例4.设，，为实数，，记集合，，，．若，分别为集合，的元素个数，则下列结论不行能的是A．且 B．且 C．且 D．且【解答】解：，，，，，．当，，，；故可能当，，，；故可能当，，，；当，，，；故可能当，，，；当，，，；综上，只有不行能发生，故选：．模块二：集合间关系与运算1．子集：假如集合中的随意一个元素都是集合的元素，则是的子集，记作或；规定：是随意集合的子集．假如集合中存在着不是集合中的元素，那么集合不包含于，记作或．2．真子集：假如集合，且存在，但，我们称集合是集合的真子集，记作（或），读作真包含于（真包含）．规定：是随意非空集合的真子集．3．集合相等：假如，且，我们说集合与集合相等，记作=．4．交集：；5．并集：；6．补集：①全集：假如所探讨的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用表示．②补集：在中的补集的数学表达式是．7．．考点2：集合相等例5.（1）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，，，求的值．【解答】解：由，可得，（否则不满意集合中元素的互异性）．因为含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，，，所以或解得或经检验，满意题意．全部．（2）已知集合，，，，若，则A．1 B．2 C． D．【解答】解：，，，，若，则1，2是方程得两根，则，即．故选：．（3）已知，，，，，，若，则实数的值为．【解答】解：；时，，，1，，，1，，满意；时，，，，，，，，不满；．故答案为：1．考点3：已知集合关系反求参例6.（1）若集合，，且，求由的可能取值组成的集合．【解答】解：集合，，集合中至多有一个元素，若集合为空集，即时，明显满意条件，故．若集合非空集，即，此时，若，则，若，则，故的取值为集合为，0，（2）已知集合，，1，，若，则实数的值为A．1或2 B．0或1 C．0或2 D．0或1或2【解答】解：依题意，当时，，满意．当时，若，则，或者，若，则，得；若，则得，综上：，1或．故选：．（3）已知集合，，若，则实数的取值范围为A．， B．， C．， D．，【解答】解：集合，解得集合，若，则集合应含有集合中的全部元素，则由数形结合可知：需集合的端点满意：，故实数的取值范围为：故选：．（4）已知，，若，则实数的取值范围是A． B． C． D．或【解答】解：已知，，若，转换成：时，恒成立．，则实数的取值范围：；故选：．（5）已知集合，，若，则的取值范围为．【解答】解：集合，，若，则集合应含有集合的全部元素，探讨集合：（1）当时，，即：，（2）当时，则由数形结合可知：需集合的端点满意：①，②，③，三个条件同时成立．解得：综上由（1）（2）可得实数的取值范围为：即：，故答案为：，（6）已知集合，，若，则实数的取值范围是．【解答】解：，①时；②，，综上所述；故答案为：，．（7）集合，，若，则的取值范围是．【解答】解：，，若，则，故答案为：．考点4：集合关系、运算综合例7.（1）已知集合，则实数的取值范围为A． B．， C． D．，【解答】解：，，，，，，，，，，，实数的取值范围为：，．故选：．（2）集合，，若，则实数的取值范围为A． B．， C． D．【解答】解：，；；；；；的取值范围为．故选：．（3）设全集为，集合，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）已知，若，求实数的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解二次不等式得：或，即或，解肯定值不等式得：，即，所以或，所以或，故答案为：或；（Ⅱ）因为，即①若时，即即满意题意．②若时，即，若，则，即，又，所以，综合①②可得：实数的取值范围为：，故答案为：．（4）设集合，．（Ⅰ）若，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，求实数的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由中不等式变形得：，解得：或，即或，，且，或，且，解得：或，则实数的取值范围为或；（Ⅱ），，或，解得：或．（5）已知集合或，或，（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【解答】解：（1）当时，集合或，或，或．（2）集合或，或，，，当时，，解得，成立；当时，或，解得或．综上，实数的取值范围是，，．（6）设集合，（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值．【解答】解：由中方程变形得：，解得：或，即，，（1），，当时，中方程无解，即，解得：；当时，中方程有解，且或为方程的解，把代入中方程得：，即，解得：或（不合题意，舍去）；把代入方程得：，即或1，综上，实数的值为或；（2），，把与为中方程的解，此时，解得：．课后作业1.设集合，，，若，则的值为A． B． C．1 D．0【解答】解：集合，，，且，或，即或，当时，，故舍去，当时，，，，符合题意．故选：．2.若集合，至多有一个元素，则的取值范围是_____．【解答】解：集合，至多有一个元素，或，解得或，的取值范围是或．故答案为：或．3.若集合，，，，且，则A．0 B．1 C． D．0或1【解答】解：集合，，，，且，，，解得或（舍，综上，．故选：．4.已知集合，，，若，则实数的取值范围是．【解答】解：集合，，或，，，，，解得．实数的取值范围是，．故答案为：，．5.