人教A版（2019）高中数学必修第二册7.2.2复数的乘除运算【课件】

7.2.2

复数的乘、除运算主讲人：刘仙舟学 科：数学（人教A版）学 校：北京市第八十中学年 级：高一下学期高中数学【学习目标】掌握复数的乘法和除法运算法则.掌握复数乘法的运算律.理解共轭复数的概念及有关性质．会在复数范围内解实系数的一元二次方程.【重点难点】复数的乘、除法运算.共轭复数的有关性质.高中数学【预备知识】1. 复数的加法、减法的运算法则：①运算法则：

a

bi

c

d

i

=

a

c

b

d

i.其运算法则类似于多项式的合并同类项.②复数加法的运算律

：对于任意的

z1,

z2

,

z3

C

,

有：交换律：

z1

z2

z2

z1.结合律：

z1

z2

z3

z1

z2

z3

.高中数学【预备知识】2．共轭复数： (设

z

a

bi,

(a,

b

R).)a

bi

与

a

bi

互为共轭复数.

即当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．

z

的共轭复数用

z

表示.

特别地，当b

0时，它们叫做共轭虚数.高中数学【新课内容】问题：请同学们思考一下，根据数系扩充的原则，如何规定复数的乘法法则呢？(a

bi)(c

d

i)

？？？高中数学【新课内容】1.复数的乘法法则：设

z1

a

bi,

z2

c

di,

a,

b,

c,

d

R

是任意两个复数，那么它们的积:(a

bi)(c

d

i)

ac

bci

ad

i

bd

i2

(ac

bd

)

(ad

bc)i.可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把

i2换成−1，并且把实部与虚部分别合并即可.高中数学很明显，两个复数的积是一个确定的复数.

特别地，当z1,

z2

都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积.例

1计算（1）

(1

4i)(7

2i).（2）

(7

2i)(1

4i).（3）[(3

2i)(

4

3i)](5

i).（4）

(3

2i)[(

4

3i)(5

i)].

.解：（1）

(1

4i)(7

2i)

7

8

2

28

i

15

26i.（2）

(7

2i)(1

4i)

7

8

28

2

i

15

26i.（3）[(3

2i)(

4

3i)](5

i).

6

17i

5

i

47

79i.（4）

(3

2i)[(

4

3i)(5

i)]

(3

2i)

23

11i

47

79i.数学上，定义了一种运算，就要研究它的运算律.高中数学【例题】高中数学探究：观察上述计算，复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？我们容易得到复数乘法的运算律,对于任意

z1,z2,z3

C

，有z1z2

z2z1,

z1

z2

z3

z1

z2

z3

,z1

z2

z3

z1z2

z1z3

.下面我们来证明复数乘法满足交换律.交换律.结合律.乘法对加法的分配律.请大家课后自己再来证明一下乘法结合律及乘法对加法的分配律.z2

a2

b2i,

a1,b1,

a2

,b2

R

.因为又所以z1z2

a1

b1i

a2

b2i

a1a2

b1b2

a1b2

b1a2

i

.z2

z1

a2

b2i

a1

b1i

a2a1

b2b1

a2b1

b2a1

i

.a1a2

b1b2

a2a1

b2b1, a1b2

b1a2

a2b1

b2a1

.z1z2

z2z1.高中数学证明：设

z1

a1

b1i,高中数学小结：通常给定运算法则之后，人们就要研究它的运算律.应用运算律,

有助于我们进行简化计算，且解题思路、方法可能会更多一些.

17(7

2i)

119

34i.高中数学【例题】例2 计算（1）

(2

3i)(2

3i). （2）

(1

4i)(7

2i)(1

4i).（3）

(3

2i)2

.分析：本例可以用复数的乘法法则、运算律，以及乘法公式计算.解：（1）

(2

3i)(2

3i)

22

3i

2

4

9

13

.

平方差公式（2）

(1

4i)(7

2i)(1

4i)

(1

4i)(1

4i)

(7

2i)=17(7

2i)

119

34i（3）

(3

2i)2

32

12i

2i

2

9

12i

4

5

12i

.完全平方公式高中数学发现：由（1）推广得(a

bi)(a

bi)

a2

bi

2

a2

b2

.即两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数.高中数学关于共轭复数有：（设

z

a

bi,

则

z

a

bi,

a,b

R

）.①若

z

为实数，则

z

z

；若

z

为纯虚数，则

z

z

0

；②|

z

|

|

z

|

；③共轭复数的和为实数，即

z

z

=2a

；共轭复数的积为实数, 即zz

=a2

b2且zz

|z

|2.高中数学2.

复数的除法法则：类比实数的除法是乘法的逆运算.

我们规定复数的除法是乘法的逆运算,下面探求复数除法的法则.我们把满足

c

di

x

yi

a

bi,(a,b,c,

d,

x,

y

R,且c

di

0). ①的复数x

yi

，叫做a

bi除以复数

c

d

i的商.高中数学c2 c2

d

2

d

2

ac

bd

bc

ad

i,

a,

b,

c,

d

R,且c

d

i

0

c2

d

2 c2

d

2于是我们得到:x

yi

a

bi

c

d

i

由①可得，

cx

dy

cy

dx

i

a

bi,根据复数相等的定义，有cx

dy

a,

cy

dx

b.由此得 x

ac

bd

,

y

bc

ad

.高中数学其中c

di

叫做实数化因式.c2 c2

d

2

d

2即：c2

ac

ad

i

bci

bd

i2

ac

bd

bc

adid

2c

d

i

c

d

i

c

d

i

x

yi

=(a

bi)

(c

d

i)

a

bi

a

bi

c

d

i

高中数学例3 计算(1+2i)

÷

(3−4i).3−

4i(3−4i)(3

+

4i) 32+

42(1+2i)(3

+

4i) 3−8+6i

+

4i −5+

10i= = =25=−

1 25+5

i.解：(1+2i)÷

(3−4i)=1+2i小结：复数的除法：先把两个复数相除写成“分数”的形式，然后分子、分母同乘以分母的共轭复数．高中数学例4 在复数范围内解下列方程：(1)x2+2=

0;(2)ax2

+

bx

+

c

=

0，其中a,

b,

c

∈

R，且a≠0,△=b2−4ac<

0.高中数学（2）将方程ax2

+

bx

+

c

=

0的二次项系数化为1，得2b cx +ax+a

=0.解：2 2（1）因为( 2i) =

(− 2i) =−

2，所以方程x2

+

2

=

0的根为x

=±2a2(x

+ b

) =2b −4ac4a2.配方，得2i.（共轭复数）高中数学b2(x

+ ) =−−(b2−

4ac)2a (2a)2即−(b2

−

4ac) −△(2a)2=(2a)2>

0.由△<

0，知x

=− b2a

±−(b2−

4ac)2ai.所以原方程的根为2a±2a−(b2−4ac)

i.类似（1），可得 x

+ b =△=b2−4ac<

0=(2a)2−(b2

−

4ac) 2i .高中数学(1)当△≥

0时，x

=−b

± b2−

4ac2a;(2)当△<

0时，x

=2−b

± −(b −

4ac)i2a.如果实系数一元二次（多项式）方程有虚根，那么虚根以共轭复数的形式“成对”出现.（共轭复数）小结：在复数范围内，实系数一元二次方程ax2

+

bx

+c

=

0，(a

≠

0)的求根公式为：高中数学例5 计算解：

(1) 原式

i

1

i

1

i

i

.

1

i

2

i

i

i

1

2i

1

i4i3

i(2)

原式

i3

i4

i5

.(1)i

i2i3(2)

1

i

2

i

..2

i31

2i(3)

2

i