福建省南平市祖墩中学2020年高三数学理期末试卷含解析

福建省南平市祖墩中学2020年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是A.1cm3

B.2cm3

C.3cm3

D.6cm3参考答案：C由题意判断出，底面是一个直角三角形，两个直角边分别为1和2，整个棱锥的高由侧视图可得为3，所以三棱锥的体积为.2.

是成立的是（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既非充分又非必要条件参考答案：答案:A3.函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）

A．B．1C．2D．参考答案：A根据积分的应用可求面积为，选A.4.曲线在点（1,1）处切线的斜率等于

（

）A．

B．

C．2

D．1参考答案：C5.已知集合U={a，b，c，d，e），M={a，d），N={a，c，e），则为A．{a,c,d,e}

B．{a，b,d）

c．{b,d）

D．{d}参考答案：B6.执行如图所示的程序框图，输出S的值为ln5，则在判断框内应填（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由题意结合程序的输出值模拟程序的运行过程可知时，程序需要继续执行，时，程序结束，据此确定判断框内的内容即可.【详解】程序运行过程如下：首先初始化数据，，第一次循环，执行，，此时不应跳出循环；第二次循环，执行，，此时不应跳出循环；第三次循环，执行，，此时不应跳出循环；第四次循环，执行，，此时应跳出循环；时，程序需要继续执行，时，程序结束，故在判断框内应填.故选B.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．

7.已知函数，若，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：当时，恒成立，由得，，整理得，由于恒成立，，，解得，时，由于最小值是0，若恒成立，满足，即，同时满足以上两个条件，故答案为D考点：1、一元二次不等式的应用；2、分段函数的应用8.甲、乙、丙、丁四人每人购买了2张社会福利彩票，若这8张彩票中获一、二、三等奖的各一张，则不同的获奖可能共有

A.16种

B.36种

C.42种

D.60种参考答案：D9.已知函数（其中），则函数f(x)零点的个数为（

）个A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：B【分析】求导得到得到函数单调区间，计算，得到答案.【详解】（其中）.故或时，时，即在和单调递减，在单调递增.由于，而，所以，又，所以函数有唯一零点故选：.【点睛】本题考查了函数的零点问题，求导得到函数的单调区间是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）~（23）题为选考题，考生根据要求做答.10.设曲线在点（3，2）处的切线与直线垂直，则

A．2

B．

C．

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，，，则__________参考答案：【分析】由可计算得到；根据求出，利用模长的定义求得结果.【详解】

本题正确结果：【点睛】本题考查向量模长的坐标运算，关键是能够根据向量的线性运算求出向量的坐标，属于基础题.12.已知，，若，则的取值范围为

．参考答案：13.某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外15人选修B课程，其它人不选任何课程，从中任选两名学生，则他们选修不同课程的学生概率为__________。参考答案：14.若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数

参考答案：，要使复数是纯虚数，则有且，解得.15.已知函数，其定义域为R，则实数a的取值范围为

。参考答案：(2)略16.若抛物线y2=（m＞0）的焦点在圆x2+y2=1外，则实数m的取值范围是．参考答案：（0，1）考点： 抛物线的简单性质．专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 求出抛物线y2=（m＞0）的焦点F坐标为（，0），由F在圆x2+y2=1外，可得：＞1，进而可得实数m的取值范围．解答：解：抛物线y2=（m＞0）的焦点F坐标为（，0），若F在圆x2+y2=1外，则＞1，解得m∈（0，1），故答案为：（0，1）点评： 本题考查的知识点是抛物线的简单性质，点与圆的位置关系，是抛物线与圆的综合应用，难度不大，属于基础题．17.记，已知函数是偶函数（为实常数），则函数的零点为

.（写出所有零点）参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x﹣+1+2alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=b，求a+b的值；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，并且x1＜x2．①求实数a的取值范围；②若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））两点连线的斜率为k，求证：k﹣1＞a．参考答案：考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系即可；（2）求函数的导数，根据函数的导数和极值之间的关系，结合直线的斜率公式求解和证明即可．解答： 解：（1）函数的f（x）的导数f′（x）=1+=，∵函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=b，∴f′（1）=2+2a=0，解得a=﹣1．∵f（1）=1=b，∴a+b=0．（2）①∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，并且x1＜x2．∴f′（x）=0有两个不等的正根，即x2+2ax+1=0有两个不等正根，令g（x）=x2+2ax+1，∵g（0）=1，∴，解得a＜﹣1，即实数a的取值范围（﹣∞，﹣1]；②由①知x1x2=1，x1＜1＜x2．x2﹣＞0，故==（1++）﹣1=，令h（x）=2lnx﹣x+，则h′（x）=，∴函数h（x）单调递减，h（x2）＜h（1）=0，∴2lnx2﹣x2+＜0，∴＜1，∵a＜﹣1，∴＞a，即．点评：本题主要考查导数的几何意义以及导数的综合应用，要求熟练掌握函数单调性，最值和导数之间的关系，考查学生的运算和推理能力．19.已知函数．（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）将图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到的图象．若在内是单调函数，求实数m的最大值．参考答案：（1）最小正周期为π，减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性求得f（x）的最小正周期和单调递减区间．（2）利用函数y＝Asin（ωx+）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得m的最大值．【详解】（1）依题意，得函数f（x）＝4cosxsin（x）﹣1＝4cosx?（sinxcosx）﹣1sin2x+2cos2x﹣1＝2（sin2xcos2x）＝2sin（2x）．它的最小正周期为π．令2kπ2x2kπ，求得kπx≤kπ，故函数的减区间为[kπ，kπ]，k∈Z．（2）将y＝f（x）图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到y＝g（x）＝2sin（2x）的图象．若g（x）在（0，m）内是单调函数，则g（x）在（0，m）内是单调增函数，∴2m，求得m，故m的最大值为．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，函数y＝Asin（ωx+）的图象变换规律，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．20.若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数。参考答案：解析：称为的数码组，则；一、当数码组只含一个值，为，共得个值；二、当数码组恰含二个值，．、数码组为型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个，可取个值，则数码组个数为，对于每组，有种占位方式，于是这种有个．、数码组为型，，据构成三角形条件，有，的取值123456789中的个数共得个数码组，对于每组，有种占位方式，于是这种有个．、数码组为型，，据构成三角形条件，有，同上得个数码组，对于每组，两个有种占位方式，于是这种有个．以上共计个．三、当数码组恰含三个值，．、数码组为型，据构成三角形条件，则有，这种有组，每组中有种占位方式，于是这种有个．、数码组为型，，此条件等价于中取三个不同的数构成三角形的方法数，有组，每组中有种占位方式，于是这种有个．、数码组为型，，同情况，有个值．以上共计个值．四、互不相同，则有，这种有组，每组有个排法，共得个值．综上，全部四位三角形数的个数为个．21.(本小题满分12分)已知函数，（1）若时，函数在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（2）设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（1）依题意：在（0,+）上是增函数，对∈（0,+）恒成立，，则

的取值范围是.

（2）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为C2在点N处的切线斜率为

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则即则

设则，点R不存在.略22.已知数列{an}中，已知a1=1，a2=a，an+1=k（an+an+2）对任意n∈N*都成立，数列{an}的前n项和为Sn．（1）若{an}是等差数列，求k的值；（2）若a=1，k=﹣，求Sn；（3）是否存在实数k，使数列{am}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项am，am+1，am+2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）由等差数列等差中项的性质即可求得k的值；（2）由an+1=（an+an+2），an+2+an+1=﹣（an+1+an），an+3+an+2=﹣（an+2+an+1）=an+1+an，分类，根据n为偶数或奇数时，分组，即可求得Sn；（3）方法一：由题意根据等比数列的性质，分别求得q的值，求得任意相邻三项的顺序，即可求得k的值，方法二：分类，根据等差数列的性质，求得a的值，即可求得k的值．【解答】解：（1）∵{an}是等差数列，则2an+1=an+an+2对任意n∈N*都成立，又an+1=k（an+an+2）对任意n∈N*都成立，∴k=．（2）∵an+1=（an+an+2），an+2+an+1=﹣（an+1+an），an+3+an+2=﹣（an+2+an+1）=an+1+an，当n是偶数时，Sn=a1+a2+a3+a4+…+an﹣1+an=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an﹣1+an）=（a1+a2）=（a+1），当n是奇数时，Sn=a1+a2+a3+a4+…+an﹣1+an=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（an﹣1+an），=a1+（a2+a3）=a1+[﹣（a1+a2）]=1﹣（a+1），n=1也适合上式．综上可得，Sn=；（3）方法一：假设存在实数k，使数列{am}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项am，am+1，am+2按某顺序排列后成等差数列．am，am+1，am+2分别表示为：am，amq，．只考虑：1，q，q2（q≠1）的三种排列即可：1，q，q2；1，q2，q；q2，1，q．可得2q=1+q2，2q2=1+q；2=q2+q．分别解得q=1；q=1或﹣；q=1或q=﹣2．∴只有q=﹣2满足条件．∴相邻三项am，am+1，am+2分别为：am，﹣2am，4am．∴﹣2am=k（am+4am）．解得k=﹣