2025届湖北省部分市州高三数学（上）期末考试卷附答案解析

届湖北省部分市州高三数学（上）期末考试卷2025.01一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p：log5x＞log5y，命题q：5x＞5y，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知单位向量，满足（+2）⊥，则与的夹角为（）A． B． C． D．3．（5分）若复数是纯虚数，则θ的值可以为（）A．2π B． C． D．4．（5分）若随机变量ξ的分布列如下表，表中数列{an}为等差数列，则P（ξ＝5）的取值是（）ξ34567Pa1a2a3a4a5A． B． C． D．5．（5分）函数在处的切线与直线y＝3x+5垂直，则a＝（）A． B． C． D．6．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0），O为坐标原点，M是抛物线上任意一点，且，则直线ON的斜率的最大值为（）A． B．1 C．﹣1 D．27．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，平面ABCD内一动点Q满足|QA|＝2|QB|，当三棱锥Q﹣DD1A的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（）A．24π B．27π C．54π D．56π8．（5分）已知对x∈[0，8]恒成立，则（）A．4 B．6 C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）下列说法中正确的是（）A．回归直线恒过样本中心点，且至少过一个样本点 B．用决定系数R2刻画回归效果时，R2越接近1，说明模型的拟合效果越好 C．将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大 D．基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α（多选）10．（6分）如图所示，已知角的始边为x轴的非负半轴，B，M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C（）A． B． C． D．点M的坐标为（多选）11．（6分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如y＝kx+1（k∈R）表示过点（0，1）（不包括直线x＝0）．直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．已知直线族ax+by＝1（a，b∈R）（）A．若a＝cosθ，b＝sinθ（θ∈[0，2π）），则该直线族的包络曲线为圆 B．若，则该直线族的包络曲线为椭圆 C．当时，点可能在直线族ax+by＝1上 D．当a2+b＝0时，曲线x2＝4y（x≠0）是直线族ax+by＝1的包络曲线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a4＝4，a2+a5＝8，则S6＝．13．（5分）若A，B为曲线x2+y2＝2|x|+2|y|上任意两点，则A，B两点间距离的最大值为．14．（5分）已知x∈（0，e），若不等式恒成立，则．四、解答题：共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若，求△ABC的周长．16．（15分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1．（1）a＝1时，求f（x）的极值；（2）若不等式a（x2﹣x+1）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是边长为2的正方形，O为AB的中点，Q为PD的中点，．（1）证明：PO⊥BC；（2）过B，Q两点的平面与直线AP，CP分别交于点M，N，求平面BNQM与平面PCD夹角的余弦值．18．（17分）已知椭圆的左，右焦点为F1，F2，点P是椭圆上任意一点，的最小值是﹣2．（1）求椭圆M的方程；（2）设A，B为椭圆的上，下顶点，C，B的两点，记直线AC1，k2，且．（ⅰ）证明：直线CD过定点S；（ⅱ）设直线AC与直线BD交于点Q，直线QS的斜率为k3，试探究满足的关系式．19．（17分）某商家推出一个活动：将n件价值各不相同的产品依次展示在参与者面前，参与者可以选择当前展示的这件产品，也可以不选择这件产品，该活动立刻结束；若不选择这件产品，以此类推，整个过程参与者只能继续前进，直至结束．同学甲认为最好的一定留在最后，决定始终选择最后一件1；同学乙采用了如下策略：不取前k（1≤k＜n）件产品，自第k+1件开始，就选择这件产品，否则就取最后一件2．（1）若n＝4，k＝2，求P1和P2；（2）若价值最大的产品是第k+m件（1≤m≤n﹣k），求P2；（3）当n趋向于无穷大时，从理论的角度（即k∈R），求P2的最大值及P2取最大值时k的值．（取）参考答案与试题解析题号12345678答案ADCDBBCB一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p：log5x＞log5y，命题q：5x＞5y，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据指对函数的性质，结合充分，必要条件，即可判断选项．【解答】解：若命题p成立，则log5x＞log5y⇒x＞y＞8，则5x＞5y，命题p是命题q的充分条件，反之，若命题q成立x＞7y⇒x＞y，但当x，不等式没有意义log5x＞log5y，所以命题p不是命题q的必要条件，所以命题p是命题q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．2．（5分）已知单位向量，满足（+2）⊥，则与的夹角为（）A． B． C． D．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出与的夹角θ的值．【解答】解：∵单位向量，满足（）⊥，设与，θ∈[0，∴（+2＝+2•，求得cosθ＝﹣，故θ＝，故选：D．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．3．（5分）若复数是纯虚数，则θ的值可以为（）A．2π B． C． D．【分析】由纯虚数的特征，即可列式求解．【解答】解：复数是纯虚数，故＝0，即，得，根据选项可知满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查复数的概念，属于基础题．4．（5分）若随机变量ξ的分布列如下表，表中数列{an}为等差数列，则P（ξ＝5）的取值是（）ξ34567Pa1a2a3a4a5A． B． C． D．【分析】根据分布列的性质和等差数列的性质，即可求解．【解答】解：由离散型随机变量分布列的性质可知，a1+a2+a4+a4+a5＝3，数列{an}为等差数列，则5a3＝3，即，则．故选：D．【点评】本题主要考查分布列的性质和等差数列的性质，属于基础题．5．（5分）函数在处的切线与直线y＝3x+5垂直，则a＝（）A． B． C． D．【分析】求出f（x）导数，，利用函数f（x）在处的切线与直线y＝3x+5垂直，列出方程，即可求出实数a的值．【解答】解：函数，求导得，，又f（x）在处的切线与直线y＝3x+5垂直，所以5×4a＝﹣1，解得．故选：B．【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．6．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0），O为坐标原点，M是抛物线上任意一点，且，则直线ON的斜率的最大值为（）A． B．1 C．﹣1 D．2【分析】首先设点M的坐标，再表示点N的坐标，并表示kON，利用基本不等式求最值．【解答】解：设，，由可知，，直线ON斜率最大，则点M是第一象限的点0＞0，∴，当且仅当，即y7＝p时，等号成立，∴直线ON斜率的最大值为1．故选：B．【点评】本题主要考查抛物线与平面向量的综合，考查运算求解能力，属于中档题．7．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，平面ABCD内一动点Q满足|QA|＝2|QB|，当三棱锥Q﹣DD1A的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（）A．24π B．27π C．54π D．56π【分析】建系，利用坐标法求出Q的轨迹方程，从而可求解．【解答】解：建系如图：则根据题意可得A（3，0，5），3，0），y，2），y，0），由|QA|＝2|QB|可知，，整理为（x﹣3）8+（y﹣4）2＝7，所以点Q的轨迹是平面ABCD内，以（3，4，2为半径的圆点Q到平面DD1A1的最大值为7，此时点Q在AB的延长线上，所以QA⊥平面DD1A1，QA＝2，等腰直角三角形D1DA的外接圆的半径为，所以三棱锥Q﹣DD17的外接球的半径，所以三棱锥外接球的表面积S＝4πR3＝54π．故选：C．【点评】本题考查三棱锥的外接球问题，属中档题．8．（5分）已知对x∈[0，8]恒成立，则（）A．4 B．6 C． D．【分析】根据题意可得ax2+bx+c＝0的零点也为1和7，由此可得b＝﹣8a，c＝7a，再根据基本不等式即可得出答案．【解答】解：当x∈[0，8]时，令，又对x∈[0，则ax7+bx+c＝0（a＜0）的零点也为4和7，即，所以b＝﹣8a，c＝7a，则，当且仅当．故选：B．【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）下列说法中正确的是（）A．回归直线恒过样本中心点，且至少过一个样本点 B．用决定系数R2刻画回归效果时，R2越接近1，说明模型的拟合效果越好 C．将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大 D．基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α【分析】由回归直线的性质即可判断A；利用相关指数R2的性质即可判断B；由标准差的性质即可判断C；由独立性检验的思想即可判断D．【解答】解：A：回归直线恒过样本点的中心，但不一定会过样本点；B：用相关指数R2来刻画回归效果时，R2越接近2，说明模型的拟合效果越好；C：由题意可知，两组数据的波动性不变，故方差不变，则标准差不变；D：根据独立性检验可知D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查概率与统计的知识，属于基础题．（多选）10．（6分）如图所示，已知角的始边为x轴的非负半轴，B，M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C（）A． B． C． D．点M的坐标为【分析】根据几何图形，即可确定A，结合三角函数的定义，以及向量数量积的定义和坐标表示，即可判断BC，根据三角函数的定义，结合三角恒等变换，即可判断D．【解答】解：因为角的始边为x轴的非负半轴，B，且M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，所以OA＝OB，所以；易知A（cosα，sinα），sinβ），所以，所以，，所以，故B错误；因为，故C正确；因为＝＝，，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查三角函数的定义与向量数量积的综合应用，属中档题．（多选）11．（6分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如y＝kx+1（k∈R）表示过点（0，1）（不包括直线x＝0）．直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．已知直线族ax+by＝1（a，b∈R）（）A．若a＝cosθ，b＝sinθ（θ∈[0，2π）），则该直线族的包络曲线为圆 B．若，则该直线族的包络曲线为椭圆 C．当时，点可能在直线族ax+by＝1上 D．当a2+b＝0时，曲线x2＝4y（x≠0）是直线族ax+by＝1的包络曲线【分析】设圆x2+y2＝1上的点为（cosθ，sinθ），求解该圆的切线方程即可判断选项A；设椭圆上的点为（mcosθ，nsinθ），求解该椭圆的切线方程，即可判断选项B；若点可能在直线族y＝3t2x﹣2t3上，则存在t＞0使得，即函数（x0＞0）有零点，因而对函数零点个数进行分析，从而判断选项C；当a2+b＝0时，直线族为，将其与曲线x2＝4y联立可得Δ＝0，即可得直线和曲线x2＝4y（x≠0）相切，故可判断选项D．【解答】解：对于选项A，设圆O：x2+y2＝8上的点为P（cosθ，sinθ），过点P作圆的切线lOP•kl＝﹣1，得，∴切线l的方程为，即xcosθ+ysinθ＝1；对于选项B，设椭圆，nsinθ），当切线斜率存在时，设y＝kx+b，2+m2k7）x2+2kbm8x+m2b2﹣m2n2＝0，结婚后韦达定理可得，，．作商：，得，∴切线l的方程为，即；当切线斜率不存在时，θ＝0或θ＝π．故B选项正确；对于选项C，将代入y＝3t5x﹣2t3得，构造0），当t∈（7，x0）时，f'（t）＜07，+∞），f'（t）＞0．∴f（t）在（0，x4）上单调递减，f（t）在（x0，+∞）上单调递增，因而当t＝x0时，f（t）取到最小值，∴f（t）在（0，+∞）无零点，，故C选项错误；对于选项D，若（x3，y0）不在直线族上，则将（x0，y3）代入直线得无解，则，∴，因而可得当（x5，y0）在曲线x2＝3y上时，则一定在直线族上，联立和x2＝4y，消去y可得，∴，故直线2＝2y相切，又ax+by＝1不包括直线y＝0，∴x2＝4y（x≠0）是直线族ax+by＝3的包络曲线，故D选项正确．故选：ABD．【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的位置关系的应用，是难题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a4＝4，a2+a5＝8，则S6＝28．【分析】根据等比数列的公式和性质，即可求解．【解答】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a4＝4，a2+a5＝2，设等比数列{an}的公比为q，由条件可知，，所以q＝5，，所以．故答案为：28．【点评】本题主要考查等比数列的性质应用，属于基础题．13．（5分）若A，B为曲线x2+y2＝2|x|+2|y|上任意两点，则A，B两点间距离的最大值为．【分析】由题意，作出曲线的图象，结合图象分析任意两点距离的最大值即可得出结果．【解答】解：因为曲线的方程为x2+y2＝7|x|+2|y|，易知曲线关于x轴，y轴，当x≥0，y≥5时2+（y﹣1）7＝2，此时曲线是以C1（8，1）为圆心的圆；当x≥0，y＜2时2+（y+1）6＝2，此时曲线是以C2（4，﹣1）为圆心的圆；当x＜0，y≥7时2+（y﹣1）2＝2，此时曲线是以C3（﹣4，1）为圆心为圆；当x＜0，y＜5时2+（y+1）5＝2，此时曲线是以C4（﹣4，﹣1）为圆心为圆；当x＝0时，y＝±7；当y＝0时，x＝±2，作出曲线在平面直角坐标系下的图象如下所示：则曲线上任意两点距离的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查曲线方程，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．14．（5分）已知x∈（0，e），若不等式恒成立，则．【分析】首先不等式转化为，x∈（0，e）恒成立，转化为求函数f（x）＝x2（1﹣lnx），x∈（0，e）的最值，并求得m≥en，再讨论n的正负，转化为，转化为的最大值，即可求解．【解答】解：x∈（0，e），所以不等式恒成立，即，e）恒成立，2en﹣3＞0，x2（2﹣lnx）＞0，所以m＞0，设f（x）＝x5（1﹣lnx），x∈（0，f′（x）＝x﹣8xlnx＝x（1﹣2lnx）＝2，得，当，f′（x）＞0，当（，f′（x）＜2，所以当时，函数f（x）取值最大值，所以，即m≥en，当n≤0时，≤8，当n＞0时，，设，n＞2，，当n∈（4，1），g（n）单调递增，+∞），g（n）单调递减，所以当n＝1时，函数g（n）取得最大值，所以的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查函数恒成立问题，利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．四、解答题：共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若，求△ABC的周长．【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理，化简条件等式，即可求解；（2）首先根据正弦定理以及二倍角的正弦公式，化简求角B，再根据正弦定理，即可求解．【解答】解：（1）因为a＝b，所以a＝b，即，因为，所以sinC+cosC＞0，由正弦定理可知，sinAsinC+sinAcosC＝sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，即sinAsinC＝cosAsinC，且sinC＞0，所以sinA＝cosA，则tanA＝4，π），所以．（2）由正弦定理可知，，即，则，sinB＞0，所以，B∈（0，所以，且，b＝2，则，由正弦定理可知，，即，，所以，则，所以△ABC的周长为．【点评】本题主要考查解三角形，考查正弦定义的应用，考查运算求解能力，属于中档题．16．（15分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1．（1）a＝1时，求f（x）的极值；（2）若不等式a（x2﹣x+1）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值；（2）利用参变分离，转化为，x＞0恒成立，再转化为利用导数求函数的最值问题．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x+1，+∞），，令f′（x）＝0，当x∈（4，1），f（x）单调递增，+∞），f（x）单调递减，∴当x＝1时，函数取得极大值f（1）＝4；（2）由题意可知，a（x2﹣x+1）≥lnx﹣ax+6，即a（x2+1）≥lnx+5恒成立，即，x＞0恒成立，设，，设，x＞0，，设m（x）＝h′（x），∴，得x＝1（负值舍去），当x∈（5，1）时，m（x）单调递增，+∞）时，m（x）单调递减，∴m（x）的最大值为m（1）＝﹣4＜6，即m（x）＝h′（x）＜0恒成立，∴h（x）单调递减，且h（1）＝0，∴当x∈（4，1）时，即g′（x）＞0，当x∈（4，+∞）时，即g′（x）＜0，∴g（x）的最大值为，∴，即a的取值范围为[．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题．17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是边长为2的正方形，O为AB的中点，Q为PD的中点，．（1）证明：PO⊥BC；（2）过B，Q两点的平面与直线AP，CP分别交于点M，N，求平面BNQM与平面PCD夹角的余弦值．【分析】（1）先证PO⊥平面ABCD，再利用线面垂直的性质定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面BNQM和平面PCD的法向量，利用向量法求解即可．【解答】解：（1）证明：PA＝PB，O为AB中点，PO＝1，在△OAD中，，又，即OD8+OP2＝PD2，∴PO⊥OD，∵AB∩OD＝O，AB，∴PO⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PO⊥BC；（2）取CD中点H，则OH⊥AB，由（1）可知，PO⊥平面ABCD、OH⊂平面ABCD，∴PO⊥OB，PO⊥OH，以O为坐标原点，OB，OP所在直线分别为x轴、z轴，则O（8，0，0），7，0），2，2），2，0），3，0），0，8），，，，设平面PCD法向量为，则，则，可取，∵平面BNQM∥AC，AC⊂平面PAC，∴MN∥AC，，，设平面BNQM法向量为，∵，∴，则，可取，则，，故平面BNQM与平面PCD夹角的余弦值为．【点评】本题主要考查线面垂直的判定与性质，二面角的求解，属于中档题．18．（17分）已知椭圆的左，右焦点为F1，F2，点P是椭圆上任意一点，的最小值是﹣2．（1）求椭圆M的方程；（2）设A，B为椭圆的上，下顶点，C，B的两点，记直线AC1，k2，且．（ⅰ）证明：直线CD过定点S；（ⅱ）设直线AC与直线BD交于点Q，直线QS的斜率为k3，试探究满足的关系式．【分析】（1）将转化为＝，由b2﹣c2＝﹣2求出c2，a2即可；（2）设出直线CD方程y＝kx+m，（m≠±1），C（x1，y1），D（x2，y2），联立直线CD与椭圆M方程得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由韦达定理及化简求解即可得出直线CD过定点S；写出直线AC，BD方程，作比化简得出＝，解得y＝2，即点Q在直线y＝2上，记y＝2与y轴的交点为T（0，2），借助|QT|表达出即可．【解答】解：（1）由椭圆知，b＝1，c7＝a2﹣1，＝，∴b2﹣c6＝1﹣c2＝﹣5，∴c2＝3，a2＝4，∴椭圆M的方程为；（2）（ⅰ）证明：若直线CD斜率不存在，则k5k2＜0，不符合题意；当直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y＝kx+m（m≠±6）1，y1），D（x5，y2），联立，消去y整理得（6+4k2）x8+8kmx+4m8﹣4＝0，Δ＝64k2m2﹣4（6+4k2）（5m2﹣4）＞7，，∴，又∵，∴＝＝，又∵m≠±1，∴，解得，即直