2024-2025学年吉林省长春市长春八中高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省长春八中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若点P(1,2)为圆x2+y2=8的弦AB的中点，则弦A.x+2y−5=0 B.2x+y−4=0 C.x−2y+3=0 D.2x−y=02.已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)ex(

)A.在区间(−1,2)上是减函数

B.在区间(−32,12)上是减函数

C.在区间(0,2)3.已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，若a2A.3 B.6 C.9 D.274.若a=ln22,b=1A.c>b>a B.a>b>c C.b>a>c D.b>c>a5.已知抛物线C：y2=2px的焦点为F(1,0)，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，△PQF为等边三角形，过PQ的中点M作直线MR//QF，交x轴于R点，则直线MR的方程为(

)A.3x+y−23=0 B.36.设数列{an}满足a1=1，a2n=a2n−1+2，aA.7 B.9 C.12 D.147.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与函数A.2 B.3 C.2 8.已知函数f(x)的定义域为(−∞,0)，f(−1)=−1，其导函数f′(x)满足xf′(x)−2f(x)>0，则不等式f(x+2025)+(x+2025)2<0的解集为A.(−2026,0) B.(−2026,−2025) C.(−∞,−2026) D.(−∞,−2025)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题正确的有(

)A.已知函数f(x)=ln(2x+1)，若f′(x0)=1，则x0=0

B.已知函数f(x)在R上可导，若f′(1)=2，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=2

C.10.设数列{an}满足a1+3a2+5a3A.a1=2 B.an=22n−111.已知P为直角坐标平面的动点，关于P的轨迹方程正确的(

)A.点M(0,1)，直线l的方程y=−1，若|PM|等于P到l的距离，P点轨迹方程x2=2y

B.圆M方程：x2+y2−2x=0，圆N方程：(x+1)2+y2=9，动圆P分别圆M、N相切，P点轨迹方程x24+y23=1(x≠2)

C.点O(0,0)，M(1,0)与点P距离满足|PM|=3|PO|，P的方程三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S1113.过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交椭圆C于A，B两点，直线l过椭圆C的左焦点和上顶点14.若函数f(x)=x+4x+3lnx在(a,2−3a)内有最小值，则实数a四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知函数f(x)=13x3+ax2−5x+b在x=5处取得极小值，且极小值为−33．

(1)求a，b的值；16.(本小题12分)

圆心在直线x+2y=0上的圆C与y轴的负半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23．

(1)求圆C的标准方程；

(2)过点P(4,−2)作圆C的切线l，求切线l的方程；

(3)若圆C上恰好有3个点到直线l：x+y+m=0的距离为1，求m的值．17.(本小题12分)

已知数列{an}为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，S7=49，且a2，a5，a14成等比数列．

(1)求{an}的通项公式；

(2)若数列{a18.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，过点F2作两条直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，△F1AB的周长为42．

(1)求C的方程；

(2)若△19.(本小题12分)

已知f(x)=ex−ax．

(1)若f(x)≥0恒成立，求a的范围；

(2)证明不等式：x参考答案1.A

2.B

3.C

4.D

5.B

6.C

7.A

8.B

9.BD

10.ABD

11.CD

12.1213.514.[0,115.解：(1)由题意可得f′(x)=x2+2ax−5，

因为f(x)在x=5处取得极小值，且极小值为−33，

所以f′(5)=25+10a−5=0f(5)=1253+25a−25+b=−33，解得a=−2b=13，

此时f′(x)=x2−4x−5=(x−5)(x+1)，满足f(x)在x=5处取得极小值，

故a=−2b=13．

(2)由(1)得f(x)=13x3−2x2−5x+13，f′(x)=(x−5)(x+1)，

当x∈[−2,0]时，令f′(x)>0解得−2≤x<−1，令f′(x)<0解得−1<x≤2，

所以f(x)在[−2,−1)上单调递增，在(−1,0]上单调递减，

16.解：(1)因为圆C的圆心在直线x+2y=0上，所以可设圆心C(−2m,m)，

因为圆C与y轴的负半轴相切，所以m<0，半径r=−2m，

又圆C截x轴所得弦的长为23，所以r2−m2=3，解得m=−1，

所以圆C的圆心C(2,−1)，半径r=2，

所以圆C的标准方程为(x−2)2+(y+1)2=4；

(2)由(1)可知圆C的圆心C(2,−1)，半径r=2，

因为l与圆C相切，所以圆心C(2,−1)到直线l的距离d=r=2，

当直线l斜率不存在时，l：x=4，此时圆心C(2,−1)到直线l的距离d=2，符合题意，

当直线l斜率存在时，设斜率为k，则l：y+2=k(x−4)，即kx−y−4k−2=0，

此时圆心C(2,−1)到直线l的距离d=|2k+1−4k−2|k2+(−1)2=|2k+1|k2+1=r=2，解得k=34，

即直线l的方程为：y+2=34(x−4)，

即3x−4y−20=0，

综上所述：切线l的方程为x−4=0或3x−4y−20=0；

(3)因为圆C上恰好有3个点到直线l：17.解：(1)设{an}为公差d不为零的等差数列，其前n项和为Sn，

由S7=49，可得7a1+21d=49，即a1+3d=7，

由a2，a5，a14成等比数列，可得a52=a2a14，即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，

化为d=2a1，

18.解：(1)由题意知2c=2，所以c=1，

又△F1AB的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=42，

所以a=2，所以b2=a2−c2=1，

故椭圆C的方程为x22+y2=1；

(2)易知l1的斜率不为0，设l1：x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立x=my+1x2+2y2−2=0，得(m2+2)y2+2my−1=0，

所以y19.解：(1)由f(x)=ex−ax≥0，得ex≥ax，

当x=0时，不等式成立；

当x>0时，原不等式化为a≤exx恒成立，令g(x)=exx，得g′(x)=(x−1)exx2．

当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

∴当x>0时，a≤g(x)