河北省石家庄市2025届高三一轮诊断考试数学试题（含答案）VIP

第=page11页，共=sectionpages11页河北省石家庄市2025届高三一轮诊断考试数学试题一、单选题：本大题共8小题，共40分。1.设集合A={1,2,3,4,6,8}，B={x|2x∈A}，则∁A(A∩B)=(

)A.{6} B.{6,8} C.{4,6,8} D.{3,4,6,8}2.若z=2+i，则zz+5zA.−4+2i B.−4−2i C.4+2i D.4−2i3.函数f(x)=(x−1x)cosA. B.

C. D.4.在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，已知A.3 B.4 C.5 D.65.设函数f(x)=log3(x2−ax+3)在区间(0,1)A.2 B.3 C.4 D.56.现安排甲、乙、丙三位同学在星期一到星期六值日，每人两天，且都不连续值日的不同方法种数为(

)A.6 B.15 C.20 D.307.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为FA.2 B.2 C.3 8.若函数f(x)的定义域内存在x1，x2(x1≠x2)，使得f(x1)+f(x2A.[135,3]∪[175,4) B.[二、多选题：本大题共3小题，共18分。9.某机构调查了一个工业园区内的小型民营企业年收入情况，并将所得数据按[200,300)，[300,400)，⋯，[700,800]分成六组，画出了样本频率分布直方图，则下列结论正确的是(

)

A.该工业园区内年收入落在区间[400,700)内的小型民营企业的频率为0.55

B.样本中年收入不低于500万元的小型民营企业的个数比年收入低于500万元的个数少

C.规定年收入在400万元以内(不含400万元)的民营企业才能享受减免税政策，则该工业园区有70%的小型民营企业能享受到减免税政策

D.估计样本中小型民营企业年收入的中位数等于平均数10.已知函数f(x)=(x−a)2(x−2)，且x=1是f(x)的一个极值点，下列说法正确的是A.实数a的值为1或−1

B.f(x)在(1,+∞)上单调递增

C.若x=1是f(x)的一个极小值点，则当x>1时，f(2x+1)>f(x+2)

D.若x=1是f(x)的一个极大值点，则当0<x<1时，f(2x−1)>f(11.如图，该图展现的是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，上、下两底面分别是两个全等且平行的正六边形A1B1C1D1E1F1，ABCDEF，它们的中心分别为O1，OA.异面直线O1A1与OA所成的角为π4

B.A1B1⊥平面O1OA三、填空题：本大题共3小题，共15分。12.已知向量a，b满足|a|=2，|a+2b|=|13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，与准线交于点P，PB=2BF，则直线l的斜率为

，14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b+c=tanA2(btanB+ctanC)，b=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.已知函数f(x)=(x−a)2(1)当a=0时，求f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论f(x)的单调性，并求当f(x)的极大值等于4时，实数a的值．16.一家调查机构在某地随机抽查1000名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格：

倾向于购买燃油车倾向于购买新能源车合计女性居民150250400男性居民350250600合计5005001000(1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析对新能源车与燃油车的购买倾向是否存在性别差异;(2)从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从中抽取4人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率;(3)从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为X，求X的分布列与数学期望．参考公式：χ2=n(ad−bc参考数据：

α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82817.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是PD的中点，点F在线段PB上．

(1)证明：PB/​/平面ACE．(2)若PA⊥平面ABCD，PA=AB=3，BC=5，AC=4，平面FAD与平面PAC夹角的余弦值为42929，求18.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，圆(x+c)2(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点(1,0)的动直线l与椭圆C有两个交点P，Q，以线段PQ为直径作圆D，点M(x0,0)始终在圆D内(包括圆周)，求19.若{cn}是递增数列，数列{an}满足对任意的n∈N∗，存在m∈(1)设cn=4n−1，an=2n−1，证明：数列(2)设cn=n−2，Sn是数列{cn}的前n项和，(3)设{cn}是首项为a，公比为q的递增等比数列，Tn是{cn}的前n项和，若数列{Tn参考答案1.B

2.D

3.A

4.C

5.C

6.D

7.A

8.B

9.BD

10.ACD

11.BCD

12.2

13.±14.3

15.解：(1)因为a=0，所以f(x)=x2ex，f′(x)=(2x+x2)ex，

所以f′(1)=3e，又f(1)=e，

所以所求切线的方程为y−e=3e(x−1)，即3ex−y−2e=0．

(2)f(x)的定义域为R，f′(x)=[2(x−a)+(x−a)2]ex=(x−a)(x−a+2)ex，

当f′(x)=0时，x=a−2或x=a．

由f′(x)>0，得x<a−2或x>a，由f′(x)<0，得a−2<x<a，

则f(x)在(−∞,a−2)和16.解：(1)零假设为H0:对新能源车与燃油车的购买倾向不存在性别差异．

根据表中数据，计算得到χ2=1000×(150×250−350×250)2400×600×500×500=1253≈41.7>10.828=x0.001，

根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，

即认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异，此推断犯错误的概率不大于0.001．

(2)由表格可得倾向于购买燃油车的居民中男、女性别比为7:3，所以抽取男性7人，女性3人，

再从中抽取4人进行座谈，有女性居民记为事件A，则P(A)=1−C74C104=56，

恰有2名男性居民记为事件B，则P(AB)=C32C72C104=310，

所以在有女性居民参加座谈的条件下，

恰有2名男性居民也参加座谈的概率为P(AB)P(A)=310×65=925．

(3)17.(1)证明：连接BD，设BD∩AC=G，连接GE.因为四边形ABCD是平行四边形，所以BG=GD，

又E为PD的中点，所以GE//PB．

因为GE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB/​/平面ACE．

(2)解：因为AB=3，BC=5，AC=4，所以AB2+AC2=BC2，则AB⊥AC．

又PA⊥平面ABCD，所以AB，AC，AP两两垂直．

以A为坐标原点，AB，AC，AP的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示

由PA=AB=3，BC=5，AC=4，可知A(0,0,0)，B(3,0,0)，P(0,0,3)，D(−3,4,0)．

设PF=λPB(0≤λ≤1)，则AF=AP+PF=(3λ,0,3−3λ)，AD=(−3,4,0)

设n=(x,y,z)是平面FAD的法向量，由n⋅AD=0,n⋅AF=0,得−3x+4y=0,3λx+(3−3λ)z=0,

取x=418.解：(1)因为∠AF1B=120∘，所以∠AF1F2=60∘，

则cos∠AF1F2=12=4c2+4c2−(2a−2c)22×4c2=c2−a2+2ac2c2，

解得a=2c．

因为△AF1B的面积为12×4c2×32=3，所以c=1，a=2，b=3，

所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1．

(2)设点P(x1,y1)，Q(x2,y2).

当直线l的斜率不存在时，19.(1)证明：因为{cn}是递增数列，{an}满足对任意的n∈N∗，存在m∈N∗，使得am−cnam−cn+1≤0，

所以cn≤am<cn+1．

又cn=4n−1，an=2n−1，

所以4n−1≤2m−1<4n+3，

解得2n≤m<2n+2，取m=2n+1，满足“分割数列”的定义，所以{an}是{cn}的“分割数列”．

(2)解：因为cn=n−2，所以Sn=n(n−3)2，dn=c2n−1=2n−3．

假设{Sn}是{dn}的“分割数列”，则dn≤Sm<dn+1，

即2n−3≤m(m−3)2<2n−1，整理得4n−6≤m(m−3)<4n−2．

当n=3时，6≤m(m−3)<10，所以m(m−3)>0，则m>3，

易知f(m)=m(m−3