2024-2025学年高中数学第三章概率3.1.3概率的基本性质学案含解析新人教A版必修3

PAGE3．1.3概率的基本性质[目标]1.了解事务的关系与运算；2.理解互斥事务、对立事务的概念；3.驾驭概率的基本性质，并能运用这些性质求一些简洁事务的概率．[重点]事务的关系、运算及概率的基本性质．[难点]概率的基本性质的应用．学问点一事务的关系与运算[填一填][答一答]1．下列说法正确吗？(1)在掷骰子的试验中{出现1点}⊆{出现的点数为奇数}；(2)不行能事务记作∅，明显C⊇∅(C是任一事务)；(3)事务A也包含于事务A，即A⊆A.提示：以上说法都正确，探讨事务的关系可以类比集合间的关系．2．并事务、交事务和集合的并集、交集意义一样吗？提示：并事务、交事务和集合的并集、交集的意义一样．例如，并事务包含三种状况：事务A发生，事务B不发生；事务A不发生，事务B发生；事务A，B同时发生，即事务A，B中至少有一个发生．3．事务A与事务B互斥的含义是什么？提示：事务A与事务B互斥的含义是：事务A与事务B在任何一次试验中都不会同时发生．4．互斥事务与对立事务的关系是怎样的？提示：互斥事务不肯定是对立事务，对立事务肯定是互斥事务．学问点二概率的几个基本性质[填一填]1．概率的取值范围为[0,1]．2．必定事务的概率为1，不行能事务的概率为0.3．概率加法公式：假如事务A与B为互斥事务，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．特例：若A与B为对立事务，则P(A)＝1－P(B)，P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.[答一答]5．若P(A)＋P(B)＝1，事务A与事务B是否肯定对立，试举例说明．提示：事务A与事务B不肯定对立．例如：抛掷一枚匀称的骰子，记事务A为出现偶数点，事务B为出现1点或2点或3点，则P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1.当出现2点时，事务A与事务B同时发生，所以事务A与事务B不互斥，明显也不对立．6．(1)若A，B为互斥事务，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝0.3.(2)甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成和棋的概率是0.5，则甲获胜的概率为0.3.解析：(1)因为A，B为互斥事务，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．所以P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.(2)设“甲胜”为事务A，“和棋”为事务B，其发生的概率分别是P(A)，P(B)，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.8，所以P(A)＝0.8－P(B)＝0.8－0.5＝0.3.故甲获胜的概率是0.3.类型一互斥事务与对立事务的推断[例1]一位射击手进行一次射击．事务A：命中的环数大于7环；事务B：命中环数为10环；事务C：命中的环数小于6环；事务D：命中的环数为6,7,8,9,10环．推断下列各对事务是否是互斥事务，是否为对立事务，并说明理由．(1)事务A与B.(2)事务A与C.(3)事务C与D.[解](1)不是互斥事务，更不行能是对立事务．理由：事务A：命中的环数大于7环，包含事务B：命中环数为10环，二者能够同时发生，即A∩B＝{命中环数为10环}．(2)是互斥事务，但不是对立事务．理由：事务A：命中的环数大于7环，与事务C：命中的环数小于6环不行能同时发生，但A∪C＝{命中环数为1,2,3,4,5,8,9,10环}≠I(I为全集)．(3)是互斥事务，也是对立事务．理由：事务C：命中的环数小于6环，与事务D：命中的环数为6,7,8,9,10环不行能同时发生，且C∪D＝{命中环数为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10环}＝I(I为全集)．互斥事务、对立事务的推断方法(1)利用基本概念①互斥事务不行能同时发生；②对立事务首先是互斥事务，且一次试验中必有一个要发生．(2)利用集合观点设事务A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.①若事务A与B互斥，则集合A∩B＝∅；②若事务A与B对立，则集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω.[变式训练1]从装有5个红球、5个白球的袋中随意取出3个球，下列事务：①“取出2个红球和1个白球”与“取出1个红球和2个白球”；②“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”；③“取出3个红球”与“取出的3个球中至少有1个白球”；④“取出3个红球”与“取出3个白球”．其中是对立事务的有(D)A．①④ B．②③C．③④ D．③解析：从袋中随意取出3个球，可能的状况有：“3个红球”“2个红球、1个白球”“1个红球、2个白球”“3个白球”，由此可知①②④中的两个事务都不是对立事务．对于③，“取出的3个球中至少有1个白球”包含“2个红球、1个白球”“1个红球、2个白球”“3个白球”三种状况，故“取出3个红球”与“取出的3个球中至少有1个白球”是对立事务．故选D.类型二事务的运算[例2]掷一枚骰子，下列事务：A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数大于2}，E＝{点数是3的倍数}．求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)记eq\x\to(H)为事务H的对立事务，求eq\x\to(D)，eq\x\to(A)C，eq\x\to(B)∪C，eq\x\to(D)＋eq\x\to(E).[解](1)A∩B＝∅，BC＝{出现2点}．(2)A∪B＝{出现1,2,3,4,5或6点}，B＋C＝{出现1,2,4或6点}．(3)eq\x\to(D)＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}；eq\x\to(A)C＝BC＝{出现2点}；eq\x\to(B)∪C＝A∪C＝{出现1,2,3或5点}；eq\x\to(D)＋eq\x\to(E)＝{出现1,2,4或5点}．进行事务的运算时，一是要紧扣运算的定义；二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.[变式训练2]一个口袋中有完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球．记事务A：“取出一个球是白球”；事务B：“取出一个球是黑球”；事务C：“取出一个球是红球”；事务D：“取出一个球是白球或黑球或红球”．说出A∪B，A∩B，A∪D，B∩D，C∩D各为什么事务．解：A∪B表示“取出一个球为白球或黑球”．A∩B表示“取出一个球既是白球又是黑球”．A∪D表示“取出一个球为红球或白球或黑球”．B∩D表示“取出一个球为黑球”．C∩D表示“取出一个球为红球”．类型三互斥事务与对立事务的概率命题视角1：互斥事务概率加法公式的应用[例3]掷一枚匀称的正六面体骰子，设A表示事务“出现2点”，B表示“出现奇数点”，则P(A∪B)等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,6) D.eq\f(1,3)[解析]∵P(A)＝eq\f(1,6)，P(B)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，事务A与B互斥，由互斥事务的概率加法公式得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).[答案]B解决这类问题的关键是要抓住1一次试验中可能出现的不同结果，由这些结果分别构成不同的事务；2这些事务中的任何两个事务都构成互斥事务；3互斥事务Am，An构成的事务A的概率PA＝PAm＋PAn；4推广到由两两互斥的n个事务Ai其中i＝1，2，…，n构成的事务A，PA＝PA1＋PA2＋PA3＋…＋PAn.[变式训练3]抛掷一骰子，视察出现的点数，设事务A为“出现1点”，B为“出现2点”，已知P(A)＝P(B)＝eq\f(1,6)，求出现1点或2点的概率．解：设事务C为“出现1点或2点”，因为事务A、B是互斥事务，由C＝A∪B得：P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,3)，∴出现1点或出现2点的概率是eq\f(1,3).命题视角2：对立事务概率的应用[例4](1)依据统计资料，甲射击一次中靶的概率是0.45，那么甲射击一次不中靶的概率为________．(2)一名射手在某次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在这次射击中：①射中10环或7环的概率；②射中的环数低于7环的概率．[解析](1)P(甲射击一次不中靶)＝1－P(甲射击一次中靶)＝1－0.45＝0.55.(2)解：①设“射中10环”为事务A，“射中7环”为事务B，由于在这次射击训练中，事务A与事务B不行能同时发生，故事务A与事务B是互斥事务，“射中10环或7环”的事务为A∪B.所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.所以射中10环或7环的概率为0.49.②“射中的环数低于7环”从正面考虑有以下几种状况：射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环．但由于这些概率都未知，故不能干脆求解．可考虑从反面入手．“射中的环数低于7环”的反面是“射中的环数大于或等于7环”，即7环，8环，9环，10环，由于这两个事务必有一个发生，故是对立事务，故可用对立事务转化的方法处理．设“射中的环数低于7环”为事务E，则事务eq\x\to(E)为“射中7环或8环或9环或10环”．又“射中7环”，“射中8环”，“射中9环”，“射中10环”彼此互斥．故P(eq\x\to(E))＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－P(eq\x\to(E))＝1－0.97＝0.03.所以射中的环数低于7环的概率为0.03.[答案](1)0.55(2)见解析应用对立事务解题的留意点(1)找准对立事务．(2)要有应用对立事务求概率的意识，当事务本身包含的状况较多，而其对立事务包含的结果较少时，就应当利用对立事务间的关系求解，即“正难则反”思想的应用．[变式训练4]学生的视力下降是非常严峻的问题，通过随机抽样调查某校1000名在校生，其中有200名学生裸眼视力在0.6以下，有450名学生祼眼视力在0.6～1.0，剩下的能达到1.0及以上，问：(1)这个学校在校生眼睛须要配镜或治疗(视力不足1.0)的概率为多少？(2)这个学校在校生眼睛合格(视力达到1.0及以上)的概率为多少？解：(1)因为事务A(视力在0.6以下)与事务B(视力在0.6～1.0)为互斥事务，所以事务C(视力不足1.0)的概率为P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(200,1000)＋eq\f(450,1000)＝0.65.(2)事务D(视力达到1.0及以上)与事务C为对立事务，所以P(D)＝1－P(C)＝0.35.所以该学校在校生眼睛合格的概率为0.35.1．许洋说：“本周我至少做完三套练习题．”设许洋所说的事务为A，则A的对立事务为(B)A．至多做完三套练习题B．至多做完二套练习题C．至多做完四套练习题D．至少做完四套练习题2．高二某班级中抽出三名学生，设事务甲为“三名学生全不是男生”，事务乙为“三名学生全是男生”，事务丙为“三名学生至少有一名是男生”，则(A)A．甲与丙互斥 B．任何两个均互斥C．乙与丙互斥 D．任何两个均不互斥解析：从高二某班级中抽出三名学生，设事务甲为“三名学生全不是男生”，事务乙为“三名学生全是男生”，事务丙为“三名学生至少有一名是男生”，在A中，事务甲与丙是互斥事务，故A正确；在B中，事务乙和丙有可能同时发生，不是互斥事务，故B错误；在C中，事务乙和丙有可能同时发生，不是互斥事务，故C错误；在D中，事务甲与丙是互斥事务，故D错误．故选A.3．若事务A，B互斥，P(A)＝3P(B)，P(A＋B)＝0.8，则P(A)＝0.6.解析：∵A，B互斥，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．又P(A)＝3P(B)，∴P(A＋B)＝3P(B)＋P(B)＝4P(B)＝0.8.∴P(B)＝0.2，P(A)＝0.6.4．抛掷一枚质地匀称的骰子，向上的点数不大于4的概率为eq\f(2,3).解析：向上的点数为5或6的概率为eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,3)，又向上的点数不大于4的对立事务为向上的点数为5或6.所以所求概率为1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).5．在数学考试中，小明的成果在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07，计算：(1)小明在数学考试中取得80分以上成果的概率；(2)小明考试及格的概率．解：分别记小明的成果“在90分以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”为事务B，C，D，E，这四个事务彼此互斥．(1)小明的成果在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)方法1：小明考试及格的概率是P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.方法2：小明考试不及格的概率是0.07，所以，小明考试及格的概率是P(考试及格)＝1－0.07＝0.93.——本课须驾驭的三大问题1．互斥事务和