2024-2025学年新教材高中数学第四章概率与统计4.2随机变量4.2.5正态分布课后提升训练含解析新人教B版选择性必修第二册

PAGE4.2.5正态分布课后篇巩固提升基础达标练1.正态曲线关于y轴对称,当且仅当它所对应的随机变量的期望为()A.1 B.-1C.0 D.不确定解析因为X=μ为其对称轴,所以μ=0.答案C2.设X~N(10,0.64),则D(X)等于()A.0.8 B.0.64 C.0.642 D.6.4解析因为X~N(10,0.64),所以D(X)=0.64.答案B3.(多选)设两个正态分布N(μ1,σ12)(σ1>0)和N(μ2,σ22)(σ2A.μ1<μ2 B.μ1>μ2C.σ1<σ2 D.σ1>σ2解析μ是期望,σ2是方差,μ是密度函数图像的对称轴与x轴交点的位置,所以μ1<μ2.图像越“瘦高”,数据越集中,σ2越小,所以σ1<σ2.故选AC.答案AC4.若随机变量X~N(μ,σ2),则Y=aX+b听从()A.N(aμ,σ2) B.N(0,1)C.NμaD.N(aμ+b,a2σ2)解析因为X~N(μ,σ2),所以E(X)=μ,D(X)=σ2.所以E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=aμ+b,D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2σ2.从而Y~N(aμ+b,a2σ2).答案D5.为弘扬我国优秀的传统文化,市教化局对全市全部中小学生进行了“成语”听写测试,经过大数据分析,发觉本次听写测试成果听从正态分布N(78,16).试依据正态分布的相关学问估计测试成果大于90的学生所占的百分比为()A.0.15% B.1.5% C.3% D.3.3%解析由题意,μ=78,σ=4,在区间[66,90]的概率为0.997,成果大于90的学生所占的百分比为12(1-0.997)=0.15%,故选A答案A6.已知正态分布N(μ,σ2)的密度曲线是f(x)=12πσe-(①对随意x∈R,f(μ+x)=f(μ-x)成立;②假如随机变量X听从N(μ,σ2),且F(x)=P(X<x),那么F(x)是R上的增函数;③假如随机变量X听从N(108,100),那么X的期望是108,标准差是100;④随机变量X听从N(μ,σ2),P(X<1)=12,P(X≥2)=p,则P(0<X<2)=1-2其中,真命题的序号是.

解析假如随机变量X听从N(108,100),那么X的期望是108,标准差是10,故③是假命题,其余都是真命题.答案①②④7.灯泡厂生产的某种灯泡的寿命为X(单位:小时),已知X~N(1000,302),要使这种灯泡的平均寿命为1000小时的概率约为99.7%,问灯泡的最低寿命应限制在多少小时以上?解因为X~N(1000,302),所以μ=1000,σ=30.所以P(1000-3×30≤X≤1000+3×30)=P(910≤X≤1090)≈99.7%.所以灯泡的最低寿命应限制在910小时以上.8.在某次数学考试中,考生的成果X听从正态分布N(90,100).(1)试求考生成果X位于区间[70,110]内的概率;(2)若这次考试共有2000名考生参与,试估计成果在[80,100]内的考生大约有多少人?解因为X~N(90,100),所以μ=90,σ=100=10.(1)由于正态分布N(μ,σ2)在区间[μ-2σ,μ+2σ]内取值的概率约是0.954,而在该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考生成果X位于区间[70,110]内的概率约为0.954.(2)由于μ=90,σ=10,所以μ-σ=90-10=80,μ+σ=90+10=100.由于正态分布N(μ,σ2)在区间[μ-σ,μ+σ]内取值的概率约为0.683,所以考生成果X位于区间[80,100]内的概率约是0.683.一共有2000名考生,成果在[80,100]内的概率约为0.683,所以在这2000名考生中,成果在[80,100]内的人数大约为2000×0.683=1366.实力提升练1.(2024天津南开中学高二期末)设随机变量X~N(3,1.52),P(X<4)=0.7,则P(X≤2)=()A.0.3 B.0.4C.0.2 D.0.1解析由于P(X<4)=0.7,故P(X≥4)=0.3,则P(X≤2)=P(X≥4)=0.3,故选A.答案A2.(2024山东高三期末)已知随机变量ξ听从正态分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,则P(-2<ξ<1)=()A.0.2 B.0.3C.0.4 D.0.6解析由题意可知μ=1,正态分布曲线关于x=1对称,P(ξ≥4)=1-P(ξ<4)=0.1,依据对称性可知,P(ξ≤-2)=P(ξ≥4)=0.1,P(-2<ξ<1)=0.5-P(ξ≤-2)=0.5-0.1=0.4.故选C.答案C3.(多选)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别听从正态分布N(μ1,δ12),N(μ2,δ2A.甲类水果的平均质量μ1=0.4kgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小D.乙类水果的质量听从正态分布的参数δ2=1.99解析由图像可知,甲类水果的平均质量μ1=0.4kg,乙类水果的平均质量μ2=0.8kg,故A,C正确;甲图像比乙图像更高瘦,所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右,故B正确;乙类水果的质量听从的正态分布的最大值为1.99,即12πδ2=1.99,δ2故选ABC.答案ABC4.(2024山东高三月考)某班有48名学生,一次考试后的数学成果听从正态分布(注:P(μ-σ,μ+σ)=0.683),平均分为110,标准差为10,理论上说在110分到120分的人数是()A.8 B.16 C.20 D.32解析∵数学成果近似地听从正态分布N(110,102),P(|X-u|<σ)=0.683,∴P(|X-110|<10)=0.683,依据正态曲线的对称性知,位于110分到120分之间的概率是位于100分到120分之间的概率的一半,∴理论上说在110分到120分的人数是12×0.683×48≈16故选B.答案B5.(2024陕西高三月考)若随机变量ξ听从正态分布N(9,16),则μ+σ=,P(-3<ξ≤13)=.

参考数据:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=0.9973.解析依题意,ξ~N(9,42),其中μ=9,σ=4,∴μ+σ=13,故P(-3<ξ≤13)=P(μ-3σ<ξ≤μ+σ)=P=0.9973+0.68272答案130.846.(2024广东高三开学考试)探讨某市农科奇观的某种作物,其单株生长果实个数x听从正态分布N(90,σ2),且P(x<70)=0.1,从中随机抽取10株,果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X,假设X听从二项分布,则X的方差为.

解析因为x~N(90,σ2),所以P(90≤x≤110)=12-P(x>110),而P(x>110)=P(x<70)=0.1所以P(90≤x≤110)=0.4,而X~B(10,0.4),所以D(X)=10×0.4×0.6=2.4.答案2.47.(2024海南枫叶国际学校高二期末)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).依据长期生产阅历,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸听从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,假如出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异样状况,需对当天的生产过程进行检查,试用所学学问说明上述监控生产过程方法的合理性.附:若随机变量Z听从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592.解(1)由题可知尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,则落在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为1-0.9974=0.0026,因为P(X=0)=C160×(1-0.9974)0×0.997416≈0所以P(X≥1)=1-P(X=0)=0.0408,又因为X~B(16,0.0026),所以E(X)=16×0.0026=0.0416.(2)假如生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种状况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异样状况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.8.(2024山东夏津第一中学高三月考)2024年6月25日,《固体废物污染环境防治法(修订草案)》初次提请全国人大常委会审议,草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定.草案提出,国家推行生活垃圾分类制度.为了了解人民群众对垃圾分类的相识,某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络学问问卷调查,每一位市民仅有一次参与机会,通过随机抽样,得到参与问卷调查的1000人的得分(满分:100分)数据,统计结果如表所示:得分[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数2515020025022510050(1)由频数分布表可以认为,此次问卷调查的得分Z听从正态分布N(μ,210),μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表),请利用正态分布的学问求P(36<Z<79.5);(2)在(1)的条件下,市环保部门为此次参与问卷调查的市民制定如下嘉奖方案:①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费,得分低于μ的可以获赠1次随机话费;②每次获赠的随机话费和对应的概率为:获赠的随机话费/元2040概率21现市民小王要参与此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参与问卷调查获赠的话费,求X的分布列及数学期望.附:①210≈14.5;②若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.9974.解(1)依据题中所给的统计表,结合题中所给的条件,可以求得μ=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65.又36≈65-2210,79.5≈65+210,所以P(36<Z<79.5)=12×0.9545+12×0.6826=0.(2)依据题意可以得出所得话费的可能值有20,40,60,80元,得20元的状况为低于平均值,概率P=12×23=13,得40元的状况有一次机会获得40元,两次机会获得2个20元,概