2024-2025学年新教材高中数学滚动复习3平面向量的应用含解析新人教A版必修第二册

滚动复习3eq\o(\s\up7(),\s\do5())一、选择题(每小题5分，共35分)1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝eq\f(1,3)，则sinB＝(B)A．eq\f(1,5) B．eq\f(5,9)C．eq\f(\r(5),3) D．1解析：由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以sinB＝eq\f(5,9).2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的状况是(C)A．有一解 B．有两解C．无解 D．有解但解的个数不确定解析：由正弦定理，有eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，故sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\r(3)>1，三角形无解．故选C．3．在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形态是(A)A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．不能确定解析：由正弦定理及sin2A＋sin2B<sin2C，可知a2＋b2<c2，在△ABC中，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，所以C为钝角，三角形为钝角三角形．故选A．4．在△ABC中，sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形态为(B)A．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形解析：∵sin2eq\f(A,2)＝eq\f(1－cosA,2)＝eq\f(c－b,2c)，∴cosA＝eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)⇒a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC为直角三角形．5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，C．若a2＝b2＋eq\f(1,4)c2，则eq\f(acosB,c)的值为(C)A．eq\f(1,4) B．eq\f(5,4)C．eq\f(5,8) D．eq\f(3,8)解析：因为a2＝b2＋eq\f(1,4)c2，所以b2＝a2－eq\f(1,4)c2.所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－\f(1,4)c2)),2ac)＝eq\f(5c,8a).所以eq\f(acosB,c)＝eq\f(a·\f(5c,8a),c)＝eq\f(5,8).6．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，假如2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为eq\f(3,2)，则b等于(A)A．1＋eq\r(3) B．eq\f(1＋\r(3),2)C．eq\f(2＋\r(3),2) D．2＋eq\r(3)解析：由eq\f(1,2)acsin30°＝eq\f(3,2)，得ac＝6，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos30°＝(a＋c)2－2ac－eq\r(3)ac＝4b2－12－6eq\r(3)，得b＝eq\r(3)＋1.7．(多选)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a＝4，b＝4eq\r(3)，A＝30°，则B＝(AB)A．120° B．60°C．150° D．30°解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴B＝60°或120°.二、填空题(每小题5分，共20分)8．在△ABC中，a＝14，A＝60°，b∶c＝8∶5，则△ABC的面积S△ABC＝40eq\r(3).解析：在△ABC中，设b＝8x，c＝5x，x>0，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即142＝(8x)2＋(5x)2－2×8x×5x×eq\f(1,2)，解得x＝2，则b＝16，c＝10，∴△ABC的面积S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝40eq\r(3).9．△ABC外接圆半径为eq\r(3)，内角A、B、C对应的边为a、b、c，若A＝60°，b＝2，则a的值为__3__，c的值为eq\r(6)＋1.解析：由正弦定理可得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(2,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2eq\r(3)，解得a＝3；由余弦定理可得：a2＝b2＋c2－2bccosA，可得：9＝4＋c2－2c，即c2－2c－5＝0，解得c＝1＋eq\r(6)或c＝1－eq\r(6)(舍去)．10．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－eq\f(1,4)，3sinA＝2sinB，则c＝__4__.解析：因为3sinA＝2sinB，所以3a＝2B．又a＝2，所以b＝3.由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcosC，所以c2＝22＋32－2×2×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝16，所以c＝4.11．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且面积S＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，则C＝__45°__.解析：在△ABC中，因为S＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，而S△ABC＝eq\f(1,2)absinC，所以eq\f(a2＋b2－c2,4)＝eq\f(1,2)absinC，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，所以cosC＝sinC，所以C＝45°.三、解答题(共45分)12．(15分)设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2bsinA．(1)求B的大小；(2)若a＝3eq\r(3)，c＝5，求B．解：(1)由a＝2bsinA，依据正弦定理，得sinA＝2sinBsinA，因为sinA≠0，所以sinB＝eq\f(1,2).因为△ABC为锐角三角形，所以B＝eq\f(π,6).(2)依据余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB＝27＋25－2×3eq\r(3)×5×eq\f(\r(3),2)＝7.所以b＝eq\r(7).13．(15分)在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，试确定△ABC的形态．解：由正弦定理，得eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(c,b).又2cosAsinB＝sinC，所以cosA＝eq\f(sinC,2sinB)＝eq\f(c,2b).由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).所以eq\f(c,2b)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，即c2＝b2＋c2－a2.所以a＝B．又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3aB．所以4b2－c2＝3b2.所以b＝C．所以a＝b＝C．因此△ABC为等边三角形．14．(15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，p＝(2a,1)，q＝(2b－c，cosC)，且p∥q.(1)求sinA的值；(2)求三角函数式eq\f(－2cos2C,1＋tanC)＋1的取值范围．解：(1)∵p∥q，∴2acosC＝2b－C．依据正弦定理，得2sinAcosC＝2sinB－sinC＝2sin(A＋C)－sinC，∴eq\f(1,2)sinC＝cosAsinC．∵sinC≠0，∴cosA＝eq\f(1,2).又∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2).(2)eq\f(－2cos2C,1＋tanC)＋1＝1－eq\f(2cos2C－sin2C,1＋\f(sinC,cosC))＝1－2cos2C＋2sinCcosC＝sin2C－cos2C＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2C－\f(π,4))).∵0<C<eq\f(2π,3)，∴－eq\f(π,4)<2C－eq\f(π,4)<eq\f(13π,12).∴－eq