【冲锋号考场模拟】赢战2023年高考数学模拟仿真卷 04卷(新高考专用)(解析版)

【冲锋号•考场模拟】赢战2023年高考数学模拟仿真卷04卷（新高考专用）

（解析版）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第I[卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考

证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.已知i为虚数单位，复数z=-'+3i的共枕复数为1则W+Iz|=（）

22

A.一，+gB.1一乌C.，+且iD.-1-^i

22222222

【答案】B

【分析】先分别求得W、|z|,再去求富|z|即可解决.

【详解】复数z=」+3i的共物复数短」-@i

2222

复数z=-<+]i的模目=母）=],

则z+|z|=----^i+1=---^i

2222

故选：B

2.已知集合A={x|xvl},B={x|log2x<l},plij（）

A.4QB={x|x<l}B.A\\B=R

C.AUB={x|xvl}D.ACB={X[0<R<1}

【答案】D

【分析】求出集合B后再逐项计算，从而可得正确的选项.

【详解】，集合A={x|xvl},fi={x|log2x<l}={x|0<x<2},

.•.AB={x|O<x<l},故A错误，D正确；

AB={x|x<2},故B,C错误.

故选：D.

3.若tana=1,则sin2a-cos2ar=()

A.—B.—C.7-D.1

542

【答案】D

【分析】根据二倍角公式结合同角三角函数的基本关系求解，将所求式子写成分母为1的形式，用

sii?a+cos2a=1进行代换，分子、分母同时除以cos?。，然后把tana的值代入求值即可.

，・斗.cc2sinacosa-cos'a+sin2a2tana-l+tan2a2xl-l+l2«

Li\-m-Jsin2a-cos2a=-----------------------=-------；-----------=---------------=1.

sin~a+cos~atana+11~+1

故选：D.

4.科学家康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基在1903年提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最

大y满足公式：色土生•，其中明，秩分别为火箭结构质量和推进剂的质量，％是发动机的喷气速度.己

m\

知某实验用的单级火笳模型结构质量为。kg,若添加推进剂3〃依，火箭的最大速度为2.8历2/s,若添加

推进剂5a依，则火箭的最大速度约为(参考数据：ln2=0.7Jn3a.i)()

A.4.7hn/sB.4.2krn/sC.36kmisD.3.1hn/s

【答案】C

【分析】由题目条件求出公式v=%ln2詈中的％,再把题中信息代入公式即可得到答案.

【详解】由题目条件知2.8=%ln空即二％ln4,则％=芸=聋=2.

aIn421n2

所以p=%In"+5"=v0In6=2(In2+In3)=3.6.

故选：C.

5.已知各项为正的数列应}的前〃项和为S“，满足S”=：(g+1>，则”3的最小值为()

U

4n+*-

9

A.-B.4C.3D.2

2

【答案】D

【分析】由S.=：(4+1)2结合q=5“-5小求出凡，从而求得S,，由此求出邦塔的表达式，利用基本不

4n

等式即可求得答案.

【详解】各项为正的数列{4},q>0,

+1)2,

二.几.2时，an=Sn-Sn_x+

即4：一々3-2(4+4_1)=0,化为：(4+%)(4-4_「2)=0,

可+。,1>0，•.q-QT=2,

又4=：（4+1））解得4=1,

数到｛%｝是等差数列，首项为1,公差为2.

:.an=1+2（〃-1）=2〃-1,

••.S“=%2〃-1+1)2=〃2,

,2=2^=~=〃+»±-2..2\^7^-2=2

当且仅当〃=1时取等号,

a“+32/1—1+3〃+1/i+1Y'7/1+1

2S+6

••一^的最小值为2・

%+3

故选：D.

6.在四面体A3CD中,AB_Z3C,A区=24,30=10,40=13夜，乙4c0=45，则四面体ABC。外接球的表面积

为（）

67641694

A.676〃B■--------C.169乃

3

【答案】A

【分析】通过解三角形，分析出两个直角三角形从而获解

【详解】因为AB，BC,48=24,8C=10,所以4。=JAB?+8C?=26

13点26

AC

在“8中,由正弦定理得，即V2-sinZADC

sinZACDsinZADC

2

所以sinZADC=1,所以ZADC=90

D

取AC的中点0,可知。为四面体ABCD外接球的球心，外接球的半径R=^AC=\3

所以四面体A8CZ)外接球的表面积S=4;rR2=676/r

故选：A

7.已知抛物线C：V=4x,焦点为尸，点M是抛物线C上的动点，过点尸作直线(。-1卜+)」2々+1=0的

垂线，垂足为P,则|"?|+|明的最小值为()

A.B.C.5D.3

22

【答窠】A

【分析】由条件确定点P的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求可尸|+|网的最小值.

【详解】V抛物线C的方程为丁=4%,

・•・G1,0),抛物线c的准线方程为户-1,

*/方程(4—1)%+,―2/7+1=0可化为,_1=(1_々)(4_2),

・・・(a-l)x+y-2a+l=0过定点3(2,1),

设P(x,y),设尸,8的中点为A,则哈3因为如期，尸为垂足，

•••归川=4五8|=孝,所以[一|)=；，

即点P的轨迹为以A为圆心，半径为它的圆，

2

过点M作准线x=-l的垂线，垂足为必，贝=|

A\MF\+\MP\=\MM]+\MP\„又-9，当且仅当MJ*一:点共线且P在",4之间时等号成立,

・•・|MF|+|MP闫+-孝，

过点A作准线L1的垂线，垂足为A，则|MM|十|MA3仪|=|，当且仅当A，M，A三点共线时等号成立，

A\MF\+\Mp\>^dl,当且仅当A，M，P，A四点共线且尸在M,A之间时等号成立，

所以|MF|十的最小值为三巨，

故选：A.

8.已知函数/(x)=kiru|+|coW-sin2x-l,则下列说法错误的是()

A.〃x)是以乃为周期的函数

B.尸卷是曲线y=/(x)的对称轴

C.函数f(X)的最大值为&,最小值为近一2

D.若函数/(力在(O,M4)上恰有2021个零点,则号＜”,,1011

【答案】B

【分析】结合周期函数的定义证明幻=/(x)后判断A,由对称性判断B,在xe。润上分类讨论去掠

绝对值符号求函数的最大值和最小值判断C,根据周期性研究/(幻在(0,加上零点个数后可得参数范围，从

而判断D.

【详解】因为/(x+i)=/(x),所以/(")是以乃为周期的函数，A正确：又

/(^•-x)=|siiu|+|co&x|+sin2x-l^/(x),B错误；

由A知只需考虑/(x)在［0,万］上的最大值.

①当xwO.y时，令F=sinx+cosx=&sin(x+?),则Ew［l,0］,/(同=一产+/=〃(。，易知〃⑺在区间”,应］

上单调递减，所以，/(X)的最大值为〃(1)=0,最小值为〃(夜)=夜-2.

②当xeg定时，令，=sinx-cosx=V5sm［一()，则fc［l,夜］J(x)=/+f-2=v(f),易知y(r)在区间

［1,01卜.单调递增，所以，/⑺的最大值为k0)=&,最小值为川)=0.

综合可知：函数f(x)的最大值为&,最小值为0-2,C正确；

因为〃力是以乃为周期的函数，可以先研究函数“X)在(0,句上的零点个数.易知/(不)=0.

当xe(0费时，令/(力=〃(。=--+£=0,解得/=0或1,

1=后中+?卜0在（0,引上无解，1=而比1+北=1在（0囹上仅有-解钎不

当1寸，令/（力=乂。=r+'-2=0,解得］=-2或1.

/=缶皿［一?）=一2在停万）上无解，t=

上也无解.

综合可知：函数“力在（0,句上有两个零点，分别为x=1和1=航

又因为f（X）是以乃为周期的函数，所以，若〃eN'，则/（x）在（0,〃句上恰有2〃个零点.

on?I

又己知函数“可在（0,“乃）上恰有2021个零点，所以早VM,1011,D正确.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的周期性，对称性，最值，零点等问题，对于最值问题，解题关

键是结合周期性根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号，然后结合三角函数性质得出最值.零点问题

也是在一个周期内研究即可得.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若a,b,c为实数，则下列命题正确的是（）

A.若a>b>0,则仅sN"）B.若ac?>加。,则

C.若a>0,则十D，若a>b,c>d,则ac>Ad

【答案】AB

【分析】利用不等式的性质，逐个判断命题的真假.

【详解】对于A,若a>b>0,当〃GN’时，由不等式的性质，有优>N，故A1E确;

对于B,由题意得"0,有/>0,若如2>尻2,则£>容，即彳,与，故B正确；

ccCC

对于C,不妨取。=1*=-1,满足但故c错误；

ab

对于D,若a>b,c>d,不妨取。=2,。=1,。=-1,〃=一2,则ac=M,故D错误，

故选：AB

10.已知函数/（力=4^（以+0）伊>0,口>0,0<0<兀）在工=工处取得极小值一2,与此极小值点最近的

心）羽象的一个对称中心为信。）

则下列结论正确的是（）

A./(x)=2cos(2x+^B.将）=2sin2x的图象向左平移彳■个单位长度即可得到

/W的图象

c.7（X）在区间（0弓）上单调递减D./（力在区间。卷）上的值域为卜2,6］

【答案】ACD

【分析】利用三角函数的图象性质以及图象的平移变换即可一一判断求解.

【详解】第一步：根据余弦函数的图象与性质求出A,切，*的值，判断A选项

A选项：由题知，A=2,

设/（%）的最小正周期为T，

则4=兹-?=£,・..7=冗=生，・・・/=2.（三角函数图象的相邻对称中心与对称轴之间的距离为1，其

41264ci）4

中了为该三角函数的最小正周期）

.”图=2c°s（2靖+°卜一2,

...陪+q=一1,贝IJ—+(p=n+2lai(keZ),

6

jr

得＞=7+2E(2eZ),(整体思想)

6

又0＜伊＜加，：.（p=j

6

:./（力=2cos（2x+看上2sin（2x+yj,故A正确；

第二步：利用三角函数图象的平移变换法则判断B选项

B选项：/（X）的图象可以由y=2sin2x的图象向左平移g个单位长度得到,

故B错误；

第三步：利用整体思想及余弦函数的图象与性质判断C,D选项

C选项：由0＜若得已＜2"看＜詈，则/（x）在区间jog）上单调递减，

故C正确；

D选项：*.*0＜x＜—,2x+—€—cosf2xH—-I,--,

2cos

・・・〃x）在区间0,日上的值域为［-2,百］,故D正确.

故选:ACD.

22

11.在椭圆C:=+马•=l（a＞b＞0）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆厂:/+V=储+从上，称此圆为

a~b-

该椭圆的蒙日圆.该圆由法国数学家（1746-1818）最先发现.若椭圆。:二+亡=I,则下列说法正

169

确的有（）

A.椭圆C外切矩形面积的最小值为48

B.椭圆C外切矩形面积的最大值为48

C.点P（x,y）为蒙日圆「上任意一点，点M（-10,0）,N（0,10）,当NPM/V取最大值时，tan/PMN=2+石

D.若椭圆。的左、右焦点分别为耳，K，过椭圆C上一点P和原点作直线/与蒙日圆相交于点M,N,则

PF\PF?=PMPN

【答案】ACD

【分析】先求得椭圆C的蒙日圆方程“2+），2=25,然后利用外切矩形的面积结合二次函数求最值可判断A,

B选项，

利用两角和的正切公式，椭圆的定义，向量运算的转化来判断C,D选项

【详解】对于A,B：如图，设对于椭圆C上任意点过点“作椭圆的切线交圆「：/+寸=25于产，Q

两点，

P,。关于原点对称的点分别为S,T,则椭圆C的一个外切矩形为夕。仃，

则S二|PQHQS|,由图象易知,

圆心0到直线PQ的距离＜/e[3,4],所以|P。e[6,8].

又|PQ『+|QS|2=100,所以外切矩形为PQST的面积S=^|?0|2（100-1P（2|2|e[48,50],

因此A对，B错.

对「C：当PM与圆相切且切点P在圆下方时，NPMN最大,tan/PMO=立,/NMO=45,

3

现1

二.tanNPMN=3=2+石,C对.

「同

3

对于D：PF[+PF2=8,?.PF；+PF；+2PF{-=64,

PF;+PF；=64-2PFlPF2,

2

P£-PK=2P0PF；+PF^+2PFtPF2=4PO®

PFl-PF2=鸟E+PF；-2PFX-PF2=6后②

①+②得尸尸+PF：=2PO2+14,/.PO2=25-PRPF”

PMPN=(r-OP)(r+OP)=25-(25-PF.PF2)=PFi-PF2t故D正确.

故选：ACD.

【点睛】本题解题的关键一方面结合题目要求求出蒙日圆方程，建立参数间的关系式来表示面积进而利用

函数求最值问题，

另一方面结合椭圆定义式，向量的运算推导尸耳/用的关系，体现了数形结合的思想

12.如图，在正方体ABC。-AgCQ中，E,尸是底面正方形A8CO四边上的两个不同的动点，过点A、E、F

的平面记为。，则()

B.当E,尸分别是AB/C的中点时，。分正方体两部分的体积9%化＜匕)之比是25：47

C.当石，尸分别是ARAB的中点时，4片上存在点p使得AP〃a

D.当户是BC中点时，满足|E〃|=2|E用的点E有且只有2个

【答案】BCD

【分析】A.若截面Q为五边形，则截面Q与正方体的5个面都相交，则必有两条交线平行，与正五边形的

性质矛盾.

B.作出截面以，分别求出两部分的体积，再求体积比.

C.作出截面再在线段A片上找出P，证明A尸〃a.

D.分别从点E在线段AB,BC,CD,AO上去讨论怛〃|二21七尸|是否成立.

【详解】A.若。截正方体的截面为五边形，则五边形必有两条边位于正方体相对的平行平面上，此时该五

边形必有两条边相互平行，但正五边形没有哪两条边平行，故截面不可能是五边形，选项A错误.

B.如图，延长E尸分别交于点G,/,连接分别交AACG于点”，J，

・•・截面为五边形。内石可，记正方体楂长为6,CI=AG=XCJ=AH=2t

截面RHEE/下侧的体积为V=』x,x9x9x6-Lx」x3x3x2xLx3x3x2=8l—3—3=75,

323232

另侧体积为：=216-75=141,=75:141=25:47,故选项B正确.

C.截面a为图中等腰梯形以四A，此时取A片中点P,知AP〃片产，

4

A

APN平面a,片产U平面。AAP//a,故选项C正确.

D.当E在CO上时，设£D=x,C£>=2,

由=2\EF\="+f=25/(2-x)2+1=>x=p故CD上有一个点E；

当七在AO上时，圈晔=黑=坐<2,故AO上不存在这样的点E；

IEFImmIM>

四)血=回=也=20>2

当E在BC上时，lEFIgx|CF|1»故BC上也不存在；

22

当E在A8上时，设AE=y,工,8+/=242一"+1ny=6,故ABl二存在一个点E，・••共2

个，选项D正确.

故选：BCD.

【点睛】作截面的三种方法：

①直接法：截面的定点在几何体的棱上

②平行线法：截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行

③延长交线得交点：截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量力=。,一2),Z>=(-1,2),若①山〉《多乃)，则实数2的取值范围是.

【答案】(总2卜(2，+8)

【分析】已知〈〃，〃〉€(]"),则它们数量积小于。且两向量不为相反向量，根据向量数量积的坐标运算,

共线向量的坐标表示，即可求出实数;t的取值范围.

【详解】解：已知如，刀£(1，万)，则它仅数量积小于。且两向量不为相反向量，

所以4包=(1,_2)(_1,4)=_2/1_1<0=；1>_，，

2

1一2

若为相反向量，则两向量共线，有「;二一二义二？，

-1A

所以实数2的取值范围是且;IH2.

故答窠为：卜最2卜(2,+00).

14.已知多项式42(工一1)4=4(x+l)6+4(x+l)5++4(%+])+0,贝ljq=.

【答案】-88

【分析】利用换元法，结合二项式的通项公式进行求解即可.

【详解】令x+l=，=>x=f-l,

所以由Y(x-l)4=q(x+iy+a2(x+l)S++。6(工+1)+々7，可得

(r—1)—2)=(1^4-++4,+%，

即—27+1)(/-2)=+(1^+4-(iff+ci-j,

二项式(，一2)4的通项公式为心=C：•L.(-2/,

用『以④=1XC：X(-2)3+(-2)XC：X(-2)2+1XC：X(-2)=—88.

故答案为：-88

【点睛】关键点睛：利用换元法，结合二项式的通项公式是解题的关键.

15.在RtZXABC中，AB1BC,AB=4,BC=3,点£)在边AB上，且4P=3£>3,动点尸满足=

则CP的最小值为.

【答案】1

【分析】以B为原点建立坐标系，结合E4=2PD,利用坐标运算求出动点尸的轨迹，再结合圆的性质求得

最小值即可.

【详解】建立如图直角坐标系，依题意知，A(4,0),8(0,0),C(0,3),力(1,0),设P(x,y),

由R4=2PD知，J(x-4>+y2=2j(x-lf+y2,整理得丁+丁二人

所以动点P的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，

由圆的性质可知，当P(0,2)时，CP最小，为3-2=1.

故答案为：1.

16.已知函数/")的定义域为凡/(2x+2)为偶函数，/(x+1)为奇函数，且当xe[0,l]时，/(x)=or+R若

"4)=1,则同+唱+名>唱=一.

【答案】0

【分析】根据题意可得/(力关于％=2对称，也关于(1,0)对称，进一步得到周期为4,再求出。力的值，最后

可求出同+喝+名>(|)的值,

【详解】解：因为f(2》+2)为偶函数，

所以“幺+2)=f(2x+i),即/(-x+2)=/(x+2),

所以函数“力关于x=2对称，所以f(T)=f(x+4),

又因为/(x+1)为奇函数，

所以“T+1)=—4X+1),

所以函数/(%)关于(1。)对称,f(r)=—〃X+2)=-f(r+2).

即〃%)=-〃X+2),

所以〃x+2)=-/(x),/[(x+2)+2]=-/(x+2)=f(x),

gpy(x+4)=/(x),

所以〃司的周期为4,

在f(-x+l)=—〃x+l)中令x=0,得/⑴=一/⑴，所以70)=0,即a+b=O,

又因为"4)=1,所以"0)=1,即〃=1,所以a=—l,

所以当时，/(x)=-x+i,

所以/

所以噌卜/(1+如毋1-；)=-心=总

“卜吗=/(2-3=展)=-；，

⑺3311

/-=/(2+9=/(2-9=/(-)=-,

⑶2222

尼卜吗=心)<

所以则同+同+佃+电卜.

故答案为：0.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在dBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,t?2+Z>2(l-4cos2B)=-ab,且c=2Z?8sB.

⑴求8；

⑵若二ABC的周长为4+26，求8c边上中线的长.

【答窠】(1)8=2

O

【分析】(1)已知条件结合余弦定理求得。=彳，再由正弦定理求反

(2)rh(1)求出角A,利用三角形周长求出各边的长，再由余弦定理求BC边上中线的长.

【详解】(1)Sa2_4cos_B^=-ab,Wa2+-4b2cos2B=-ab»

又c=2bcosB,所以『二4//cc/A,即/+〃2一「2=一〃力，

得8SC=^X-ab1

由余弦定理,

2ab2ab~~2

又Ce(0,7t),所以C=手，

由c=2Z?cosB及正弦定理，得sinC=2sinBcosB,所以sin28=@,

2

由Bw(0，S，得2研0,引，所以28g解得8哈

(2)由⑴可知B=$C==,所以,4=冗-"空

63636

所以〃=b,由c=2Z>cos8,得c=5/5a.

因为“IBC的周长为4+26.

所以〃+。+豆。=4+2\/5,解得。=2.

设6c的中点为。，则8=；8。=1,如图所示:

AB

在"18中由余弦定理，得:

4D=^AC2+CD2-2ACCD-C0S=J+1-2x2xIx(-g)=不,

所以8C边上中线的长为J7.

18.如图，在四棱柱A8CO—中，底面ABCO和侧面8CGq都是矩形，DQ=D£,AB=3BC=3.

⑵若平面83由与平面8DR所成的角为60,求三棱锥8。。的体积.

【答案】(1)见解析

【分析】（1）由题意可得出AOJ_CD,ADI.DD.,即可证明AD_L平面C。。©,再由线面垂直的判定定理即

可证明；

（2）取A8的中点/，以｛EEECEA｝为正交基底建系，设皿”仅>0）,写出各点坐标，分别求出平

面或>口与平面BCG用的法向量，根据它们所成的锐二面角的大小为9，利月夹角公式列出方程可求加

〃=述，再由体积公式结合等体积法即可得出答案..

【详解】（1）证明：因为底面A8CO和侧面5CG用都是矩形，

所以4O_LCO,ADV£>D,,

又COnOA=。，CD,ORu平面CDQG，

所以4£>_L平面。AG，又。Cu平面a）nc，

所以4O_LRC.

（2）取E为。。的中点，连接。E,因为AD_L平面8AG，

又OEu平面CD〃G，所以ADLDE,

又因为〃O=DC，所以AEJ_OC,

又ADCDC=D,AD,OCu平面A8CD

所以"E_L平面ABC。，

取AB的中点尸，E为8的中点，底面A8C。是矩形，

所以即/C。、以E为原点，以EF,EC,EDj所在直线分别为％,>,z轴,

建立空间直角坐标系E-型，如图所示：

设即=4（4>0）,则E(0,0,0),,〃(o,o,a),C,G(0,3,a),

^O,-1,ol设平面孔壮的法向量〃=a，y,zj,08=(130),OR=(o,Q

%+3y=0

%DB=0

由，可得：3

%•DD、=0-y}+az}=0

令M=2a可得％=-6。，Z|=-3,所以“=(-6a,2a,-3),

设平面8CC|B1的法向量%=(工2，%*2)，CB=(1,0,0),CG=(O.TM).

n2cB=0々=°.、

由＜可得，＜3八，令马=3可得%=-2%所以小=(0,—为3)

也”=0-y2+az2=0

7T

由于平面8CGB1与平面BDR所成的锐二面角的平面角为q,

所以麻”，斗端二仙；；：城+94

可得：32々"+36。2—81=0，贝1］（4〃2十9）（跄2-9）=0,

解得。=逑.

4

因为4。_1_平面C0AG,AD//BC,所以3C/平面。

又因为CCJ/DD-所以CG<Z平面3。口，。〃<=平面8。〃，

所以CG〃平面3。2，

所以%-8力口叫=,cDf'BC

11「八八口”11.372.3上

=-x--CD•D.E-BC=-x—x3x---x1=----.

3213248

19.已知数列｛q｝的各项均为正数，且对任意的都有争墨++墨=〃.

⑴求数列｛《,｝的通项公式；

（2）设"二1诟1-----（〃eN）,且数列帆｝的前〃项和为7；,问是否存在正整数机，对任意正整数〃有

白恒成立？若存在，求出机的最大值：若不存在，请说明理由•

2022

【答窠】（1）见=2"，〃cN

⑵存在，1010

【分析】⑴由卜导++祟=〃得到：争墨++器■=82）,两式相减得即可求解;

(2)由(1)得到d-一二，利用裂项相消求和得到7；二1-一二，由数列的单调性定义可得数列｛1｝为

递增数列，结合条件得到矗＜g，即可求解.

【详解】⑴因为卜号++故=〃，般wN,

当让2时，卜袋+・+爵=〃-1,

两式相减得寸=1(w＞2),即q=2"(〃22).

又当〃=1时，得4=2,满足上式.

X

故4=2",/1GN.

所以数列｛1｝为递增数列，所以4之7；=4=3.

因为对任意正整数〃有7；＞矗恒成立，

所以悬解得机＜畔=1011•又用eN",所以见皿=1010-

202222

所以存在正整数小，使得对任意正整数〃有金恒成立，且现的最大值为1010.

20.2022世界乒乓球团体锦标赛将于2022年9月30日至10月9日在成都举行.近年来，乒乓球运动已成

为国内民众喜爱的运动之一.今有甲、乙两选手争夺乒乓球比赛冠军，比赛采用三局两胜制，即某选手率

先获得两局胜利时比赛结束.根据以往经验，甲、乙在一局比赛获胜的概率分别为:、；，且每局比赛相

互独立.

(1)求甲获得乒兵球比赛冠军的概率；

(2)比赛开始前，工作人员买来两盒新球，分别为“装有2个白球与1个黄球”的白盒与“装有1个白球与2个

黄球''的黄盒.每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，直接丢弃.裁

判按照如下规则取球:每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致，且第一局从白盒中取球.记甲、

乙决出冠军后，两盒内门球剩余的总数为X,求随机变量X的分布列与数学期望.

【答案】⑴言

（2）分布列见解析，二

【分析】（1）甲获得乒兵球比赛冠军这个事件为前两局甲全获胜，或前两局中甲胜一局第三局甲胜，由独

立事件与互斥事件概率公式计算；

（2）甲乙决出冠军共进行了y局比赛，易知y=2或y=3,记叫表示第i局从白盒中抽取的白色球，Y表示

第i局从黄盒中抽取的黄色球，X的所有可能取值为1,2,3,根据丫=2和y=3分类讨论确定事件X=1,

X=2,X=3的情形，求出概率得分布列，再由期望公式计算期望.

（1）

记事件仆“甲在第i局比赛中获胜”，（1=123）,事件4广甲在第i局比赛中末胜”a=l,2,3）.

O1

P（A）=（P（Z）=1-P（4）=热（i=L2,3）.记事件A:“甲夺得冠军”,

则PG4）=p（A4）+P（A*）+P（*4）=（：j+；xS+；x（步崇

（2）

设甲乙决出冠军共进行了y局比赛，易知y=2或y=3.

4

贝iJp（y=2）=P（A4）+P,故P（y=3）=i-p（y-2）=§.

记也表示第i局从白盒中抽取的白色球，匕表示第i局从黄盒中抽取的黄色球,

X的所有可能取值为1,2,3；

p（x=1）=尸（丫=2）p（叫叼+尸（丫=3乂2（叱吗叼+p（%历引+p（丽明））

5（21）4（21,2111I35

9（32）913232333J81*

P（X=2）=P（Y=2）（尸佃咐+P便可）+2（丫=3）（P佃喇）+P（师闾）

5（2111、"212121132

913233J91323332）81'

尸（X=3）=尸（丫=2）尸色）+P（r=3）尸监引中衿）+茕泊X£）哈.

综上可得，X的分布列如下：

X123

353214

P818?8?

数学期望为E(X)=lx335+2x3±2+3x1*4=4"7

81818127

21.已知双曲线E:=1的焦距为4,以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x-y+6=0相切.

⑴求双曲线E的方程；

（2）已知点尸为双曲线E的左焦点,试问在％轴上是否存在一定点”，过点〃任意作一条直线/交双曲线E于

尸，。两点，使FP•产Q为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴氏J-y2=]

（2）存在，定值为1,/W（-3-73.0）

【分析】（1）利用点到直线的距离公式求得。的只，再根据焦距，求得b即可求解・；

（2）假设存在满足条件的点M,先在直线星直于>轴时，求得定值，再结合根与系数的关系，分析验证直线

不至直于y轴时，求得此定值的情况，从而得出结论.

【详解】（1）原点到宜.线K