《反例在数学探析中的作用探究》4200字（论文）

反例在数学分析中的作用研究摘要：在数学分析的学习过程中，反例经常用来理解或证明数学分析中的一些概念和性质，加深对于概念的理解和巩固，更好的掌握定理、公式和法则。在数学分析的学习过程中，反例经常被用在证明中。反例能够起到培养逻辑思维能力，能起到重要的作用。在本文中对于这个问题，针对数学分析中众多的反例问题进行了总结研究，总共分为函数的极限、函数的连续性、一元函数、多元函数以及数学分析中一些定理中的反例问题等。关键词：反例、极限、连续函数、Stolz公式目录TOC\o"1-3"\h\u3340引言： 125671.关于函数极限的反例 2127691.1极限定义中反例的体现 2303051.2确定函数的有界性 2274951.2.1用反例证明数集存在惟一的上（下）确界。 283701.2.2用反证法求函数的最大最小值 2286491.3用反证法证明极限是否存在 3287821.4用反例求函数与数列的极限关系 3128231.5用反例来确定数列的上下极限 4149442.函数连续性的反例 5135442.1用反例证明映射的惟一性 5229412.2用反例证明映射的类型 58362.3连续函数中的反例问题 52312.4用反例证明函数的单调性 647083.关于一元函数微积分中的反例 741403.1反例在牛顿-Lebniz公式中的体现 7222833.2积分中值定理有关的反例 792583.3黎曼可积中存在的反例问题 8134504.反例在学习多元函数微积分的作用 938124.1累计极限和二重极限中存在的反例 9177544.2多元函数微分中的存在反例问题 11229394.3与曲线方向无关的第二类曲线积分 1175185.在掌握定理过程中反例问题 1267055.1Stolz公式 12118605.2比试判别法 14269515.3对照原则 14196596.反例在辨析重要结论的逆命题中的体现 1513785总结 153535参考文献 16引言：在我们学习数学的过程中，遇到一个问题按照正常的逻辑顺序去思考这个问题时，我们用逆向思维去思考这个问题时，便能豁然开朗，有意料之外的成功。用逆向的思维方式从问题的反面去思考和解决问题，能更好的思考和解决问题。反例的运用除了在解决问题上有所体验体现，对于数学的归纳、发现以及推广都存在着很大的作用和影响。在数学的发展历史中，反例也有着不可忽视的功能。反例在数学的发展以及数学证明中有着重要的地位，同样的，在数学的学习、数学知识的领会、以及数学课题的研究的过程中都离不开反例。在数学分析的学习过程中，已知的条件的强弱，所使用范围宽窄，都是需要反例来作对比，才能够加深对其的理解。当命题有所错误的时候，在证明是存在漏洞是，都需要用到反例取证实的。一个比较重要的反证手段就是举反例，重要的反例总是能成为数学殿堂中的基石。1.关于函数极限的反例1.1极限定义中反例的体现假如有连续函数在点有极大值，则在该点中某个领域内会满足在该点的左侧递增右侧递减。而事实并非如此。如当时，有，而在时，对于任意小的领域内时而为正时而为负，所以有两侧任意领域内是存在震荡的。1.2确定函数的有界性函数有界性的定义：设在上有定义，若存在>0，对仍以，有则称在上有界。1.2.1用反例证明数集存在惟一的上（下）确界。证明：若数集的上（下）确界存在，则他比惟一存在。证：用反证法，设和是的上确界，且，则，，这与为的上确界矛盾，故必有，所以数集的上确界是惟一的。1.2.2用反证法求函数的最大最小值设，求证，证：用反证法，设，.设，则，，从而，引出矛盾。设，则，从而，引出矛盾。设，则，，从而，引出矛盾。综上所述可知，必有1.3用反证法证明极限是否存在证明：证明不存在证：若，因，知,从而，。但，取极限得,矛盾。 1.4用反例求函数与数列的极限关系子列与数列之间存在的极限关系（当时）子列有（当时），如下是数列与函数存在的极限关系：：当，有（当时）设函数在点的领域（点可能例外）内有定义，试证：如果对于任意的点列，这里,，都有，那么。证：若当时的极限不趋近于,即，，，虽然，但如此，若令，则，，；令，，，；令如此无限进行下去，可得一点列，但与已知条件矛盾。1.5用反例来确定数列的上下极限证明：证：先证设，则依上极限定义，，数列中至多只有项大于，而有无穷项小于；即对，至多有项小于，而有无穷大于，所以依下极限定义，有即设，，用反证法，设，依下极限定义，，当时，有，不妨设，则当时，。又有，，依下极限定义，则则当时，；则当时，由此推出矛盾，故，即又令，则于是由于所以2.函数连续性的反例2.1用反例证明映射的惟一性设映射是可逆的，证明：其逆映射是惟一的。证用反证法，设，都是的逆映射，且，则使得，由于有，使得，又,使得，即有，推出矛盾，所以假设不成立，映射可逆，则其逆映射是惟一的。2.2用反例证明映射的类型设与是两个任意映射，若，证明是单射，是满射。证因为,元素，使，所以是满射。用反例证明是单射，设有，使，则，又，故，推出矛盾，所以一定是单射。2.3连续函数中的反例问题函数连续性的证明，要证明一个函数在区间上连续，只要在区间任意确定一点，证明。证明：若函数在上每个函数值七号取得两次，则函数在上不连续。证：用反例和闭区间上连续函数的戒指定义证明，设在上连续，则又惟一的，使，为简单计算，设，则，有或者，取（类似可证），则是在上的最小值，由在必有最大值，以题设有，且，使。而在上连续，故在内有最小值，使，则，依连续函数的介值定理，在，，内至少个有一点存在，使，推出与题设相矛盾，故可确定，在上不是连续函数。2.4用反例证明函数的单调性函数在上连续，且是一一对应的，证明：当时，严格单调增加。证：用反证法，设不严格单调增加，则，且，而，隐函数是一一对应的，故必有。若，依闭区间上连续函数的介值定理，，使得，这与函数是一一对应的矛盾。若，同样知，使得，这也与函数是一一对应的矛盾。综上所述之，此时严格单调增加。3.关于一元函数微积分中的反例3.1反例在牛顿-Lebniz公式中的体现定积分的计算问题可以用牛顿-Lebniz公式来解决，若在闭区间区间上函数除点之外，处处都存在，但并不满足存在反例：当时，并有但在闭区间上，是初等连续函数，并，从而存在，所以.3.2积分中值定理有关的反例如果在闭区间上连续，在闭区间上不变号且可积，则在开区间中存在点，使得如果它是闭区间内的不连续可积函数，是否有类似的结论？设有反例函数在不连续，并且，若取，易得又有反例：函数在上不连续，在不存在得。例如函数在处不连续，且但不存在，使。3.3黎曼可积中存在的反例问题若假设是定义在闭区间上的一个函数，若存在某确定实数。对任何的正数，总存在某一个整数，使得对的任何分割，以及一个任意选择的点集，只要，就有则函数在闭区间上都是可积或黎曼可积，成为在必区间上的定积分或黎曼积分，得存在反例来证明黎曼可积函数不一定具有原函数所以在闭区间上函数是可积的，在闭区间函数上不存在原函数。综上所述得黎曼可积函数不一定具有原函数。若反过来，同样用反例来证明有原函数的函数不一定黎曼可积因为所以综上所述函数的一个原函数是函数，但在闭区间上函数无界，在闭区间上函数也不可积。4.反例在学习多元函数微积分的作用4.1累计极限和二重极限中存在的反例设为二元函数，当时，存在它的两个相等的累次极限并没有二重极限。，同理易得然而若令，当时有则极限值随着值变换而变换，所以不存在。例如因为取序列取序列所以不存在而进亦不存在，由于则根据极限定义对，当就有则4.2多元函数微分中的存在反例问题该函数在无穷远处有多个最大值，但没有最小值。例：则..因在所有点都可以忽略不计，必须在偏导数为0的点上得到一个极值有，又有；；（1）当取得极大值。（2）当综上所述，，该函数在这些点上没有极值4.3与曲线方向无关的第二类曲线积分例如：有取参数方程得：如果取逆时针方向，有从到，如果取顺时针方向，有从到所以有综上所述这个曲线积分与曲线方向是无关的。5.在掌握定理过程中反例问题5.1Stolz公式型Stolz公式如果是严格递增的且，，则（是有限数，或）型Stolz公式若严格递减且，，，则（是有限数，或）注意上面的可以是有限数，也可以是或，但是一般推不出，例如令这时虽然，但是，即。值得注意的是Stolz公式的逆命题是不成立的，用型Stolz公式为例，及时严格递增且，，是无法推出来的，当使用Stolz公式易知，若，则若反向推理是推不出的，例如：令，显然但是。针对上例我们还可以得推不出是因为的极限不存在，如果存在的话一定成立，所以加上单调的条件，则能确定是成立的，若因单调便能确保的极限是存在的，要么是有限数，要么是或，而这三种情况恰好在Stolz公式的使用范围内，这也是我们构造的反例一定不能是单调数列的原因。5.2比试判别法设为正项级数，且，但不一定收敛，例如：上例对理解比式判别有重要作用，若为正项级数，且,及常数,，不等式成立，所以级数是收敛的，因此的重要性和理解和两者之间存在的区别有较大的帮助。5.3对照原则若有收敛，并且有，此时存在，则不一定是收敛的，若，是两个正项级数，若，这时和一定是同敛态的，因此和不可同时为正项级数，令这时即使但是这是发散的，这说明比较法不能忘记对范围是正项级数之间的比较。6.反例在辨析重要结论的逆命题中的体现6.1有界变差数列（c为常数）若有界变差数列，能够证明有界变化列是收敛列，但不一定是变化列，例如：显然，但是总结：在数学分析的学习过程中，学会适当的运用反例，在学习的过程中也有利于提高学习的质量，对定义、概念和性质的了解更加深刻。在本文中简答的概括了反例在数学分析的学习过程中的作用，并且与数学分析中的典型问题结合。在数学分析的学习过程中对于定义、概念以及性质的理解不透彻时，或者在对于基本的概念以及定理的掌握不确定时，盲目的计算或者证明，容易产生事半功倍的效果，所以在学习数学分析的过程中要更好的掌握最基本的概念和定理。而反例在这一过程中往往能起到较为重要的地位，反例在理解和掌握基本的概念和定理是不可缺少的一部分。本文的意义在于介绍和总结在数学分析学习中的反例，在数学分析的学习的过程能更好的运用反例，能培养更好的逻辑思维能力，具有反例思想，能更好的学习好数学分析这门课程。参考文献：[1]斐礼文·数学分析中的典型问题与方法（第2版）[M]·北京：高等教育出版社，2006[2]孙清华、孙昊·数学分析内容、方法与技巧（上）[M]·武汉：华中科技大学出版社，2003[3]孙清华、孙昊·数学分析内容、方法与技巧（下）[M]·武汉：华中科技大学出版社，2003[4]邓东皋、尹小玲·数学分析简明教程第二版上册[M]·北京：高等教育出版社，2006[5]邓东皋、尹小玲·数学分析简明教程第二版下册[M]·北京：高等教育出版社，2006[6]B.R.Gelbaum,J.M.H.Olmsted.CounterexamplesinAnalysis[M].Dover;DoverPublicati