2024届湖南省岳阳市某中学高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2024届湖南省岳阳市第一中学高三第二次诊断性检测数学试卷

注意事项:

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5亳米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图是二次函数/（x）=f-法+。的部分图象，则函数g（x）=alnx+/'（x）的零点所在的区间是（）

71、

C.(1,2)D.(2,3)

A.Z2

2.函数〃、）=乎的大致图象为（）

A.-60B.-12C.12D.60

4.函数f(x)=4sin(0%+@)(A>0,①>0,的部分图象如图所示，则④。的值分别为（）

71

A.2,0B.2,C.2----D.2,-

4f36

5.函数y=sinx（3sinx+4cos工）（XEH）的最大值为〃，最小正周期为丁，则有序数对（",7）为（）

A.(5,乃)B.(4,4)C.(—1,24)D.(4,2幻

6.已知盒中有3个红球,3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A,B,C编号，现从中摸出3个球（除颜

色与编号外球没有区别）,则恰好不同时包含字母A,8,C的概率为（）

1719723

A.—D.—

2128928

7.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱.下

图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部

分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形.若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方

456

D.-

7777

8.已知函数/（x）=ln（x+l）-or,若曲线y=/。）在点（0J（0））处的切线方程为y=2x,则实数。的取值为（）

B.C.1D.2

9.从集合｛-3,4｝中随机选取一个数记为机，从集合｛-2,-1,2,3,4｝中随机选取一个数记为〃，则在方

程《+二=1表示双曲线的条件下,方程二+£=1表示焦点在）'轴上的双曲线的概率为（）

mnmn

98179

A.—B.—C.—D.—

17173535

2

10.若z=l-i+I，贝！h的虚部是

A.3B.-3C.3iD.-3i

22

11.己知集合人={（乂），）|丁=/},B={^y）\x+y=[}f则的真子集个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

12.已知椭圆C:二+y2=i内有一条以点P1,-为中点的弦A3,则直线A8的方程为（）

3I3J

A.3x-3y-2=0B.3x-3y+2=0

C.3x+3y-4=0D.3x+3y+4=0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x+y<10

13.设实数％）'满足约束条件,x-yW2,则z=2x+3y的最大值为.

x>4

14.已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为2,则该圆柱的底面半径为.

15.AB,。三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160,240,400,为调查联考数学学科的成绩,

现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在8学校抽取的数学成绩的份数为30,则抽取的样本容量为

16.如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线C4、C8围成一个三角形养殖区ACH.为了便于管理，在线段

之间有一观察站点M到直线BC,C4的距离分别为8百米、1百米，则观察点M到点A、8距离之和的

最小值为______________百米.

K

.pk

P，—---------i---

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.（12分）已知椭圆七：£+*=1（〃>〃>（））的左、右焦点分别为耳和尸2,右顶点为A,且|A用二3,短轴

长为2G

（1）求椭圆七的方程；

（2）若过点A作垂直工轴的直线/,点/为直线/上纵坐标不为零的任意一点，过F?作次的垂线交椭圆E于点。和

Q,当因=迪时，求此时四边形7P£Q的面积.

IPQI24

18.（12分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习

惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环

保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据,六类习惯是：（1）卫

生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息

规律状况类.经过数据整理，得到下表：

卫生习惯状垃圾处理状体育锻炼状心理健康状膳食合理状作息规律状

况类况类况类况类况类况类

有效答卷份数380550330410400430

习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6

假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.

（1）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；

（2）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具

备两类良好习惯的概率；

（3）利用上述六类习惯调查的排序，用“4=1”表示任选一位第％类受访者是习惯良好者，“4=0”表示任选一位第

A类受访者不是习惯良好者（4=1,2,34,5,6）.写出方差。-D4,。短的大小关系・

19.（12分）某商场为改进服务质量，随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查,调查后，就顾客“购物体验”

的满意度统计如下:

□满意不满意

E□□

0□FI

（1）是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关?

（2）为答谢顾客，该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动.据统计，在此期间顾客购买该商品的支付情

况如下:

购物卡支

支付方式现金支付APP支付

付

频率10%30%60%

按9折支其中有1/3的顾客按4折支付，1/2的顾客按6折支付，1/6的顾

优惠方式按8折支付

付客按8折支付

将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为X,求X的分布列和数学期望.

尢彳

附表及公式：K?=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸（烂.名）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.（12分）已知某种细菌的适宜生长温度为12・C~27e,为了研究该种细菌的繁殖数量》（单位：个）随温度x（单

位：・C）变化的规律，收集数据如下：

温度必℃14161820222426

繁殖数量）'/个2530385066120218

对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示:

7

可化-7)

XykZG-元)(丫-到

1=11=1/=1/=1

20784.11123.8159020.5

_17

其中左=如％,

•i=i

（1）请绘出）'关于K的散点图，并根据散点图判断），="+〃与），=（/'哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量），关

于温度X的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果及表格数据，建立丁关于X的回归方程（结果精确到0.1）；

（3）当温度为27P时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？

参考公式：对于一组数据（%,匕）（i=1,2,3,•・・,〃），其回归直线V=pu+a的斜率和截距的最小二成估计分别为

5

尸二『------------，a=v-Put参考数据：«245.

£（4-五『

r=i

21.（12分）如图，在多面休488石户中，四边形ABC。是菱形，EF//AC,EF=\,ZABC=60\。£_1平

面ABC。，CE=6CD=2,G是。石的中点.

（I）求证：平面ACG//平面8所；

（II）求直线AO与平面A3尸所成的角的正弦值.

22.（10分）已知椭圆C:二+与=1（。＞方＞0）的左，右焦点分别为片，居，直线/：），=丘+机与椭圆C相交于P,。

a~b~

两点；当直线/经过椭圆。的下顶点A和右焦点用时，△耳的周长为4拒，且/与椭圆。的另一个交点的横坐标

为9

（1）求椭圆。的方程；

（2）点M为△P。。内一点，。为坐标原点，满足MP+MO+M2=0,若点M恰好在圆O：/+/=6上，求

实数〃z的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据二次函数图象的对称轴得出。范围，)'轴截距，求出。的范围，判断g(x)在区间端点函数值正负，即可求出结论.

【详解】

2

'：f(x)=x-bx+af结合函数的图象可知，

二次函数的对称轴为工=

—<x=-<1,<f\x)=2x-b

22t

所以gO)=。Inx+/'(x)=aInx+2彳一在(0,+oo)上单调递增.

又因为g(g)=t/ln^+l-Z?<0,^(I)=4zlnl+2-Z?>0,

所以函数g(x)的零点所在的区间是［』'.

IZ/

故选:B.

【点睛】

本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.

2、A

【解析】

利用特殊点的坐标代入，排除掉C,D；再由判断A选项正确.

【详解】

/(-l.l)=~L1^,|1J|<0,排除掉GD；

el

1,1

——In—

/(-!)=212=五卜正，

2

e-I-

•.TnV541n〃=g,Je<2^

.../(-l)=V^lnV2<l.

2

故选：A.

【点睛】

本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，

属于中档题.

3、B

【解析】

在二项展开式的通项公式中，令X的幕指数等于3,求出，•的值，即可求得含丁项的系数.

【详解】

(x—的展开式通项为&•产=C；・(—2)’•产%

令6-3r=3,得r=1,可得含炉项的系数为《x(—2)=-12.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

4、D

【解析】

/\

由题意结合函数的图象，求出周期7,根据周期公式求出3,求出A,根据函数的图象过点：，1,求出。，即可求

得答案

【详解】

4T3r1\71乃3几

由函数性象可知：—=--——=—

41264

T=兀,

co—2,/I=1

函数的图象过点心)

/.1=sin2x—十。，

\6J

II71rt兀

则。

2o

故选。

【点睛】

本题主要考查的是y=Asin(5+。)的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周

期、最值，代入已知点坐标求出结果

5、B

【解析】

函数），=sinx（3sinx+4cosx）=3sin2x+4sinxcosx=2sin2x——cos2x+—=—sin（2x-0）+—（夕为辅助角）

2222

・••函数的最大值为M=4,最小正周期为7=券="

故选B

6、B

【解析】

首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母A,8,C”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A,

B,C”，记事件“恰好不同时包含字母4,B,L为E,利用对立事件的概率公式计算可得；

【详解】

解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为C：=84（个），

则事件“恰好不同时包含字母A,B,C”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A,B,C”

3319

记事件“恰好不同时包含字母A,B，C”为E,则P（E）=1-不■=丁.

C92o

故选：B

【点睛】

本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题.

7、D

【解析】

由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比，即可求解.

【详解】

由题,窗花的面积为122-4x1=140,其中小正方形的面积为5x4=20,

eIHas*n140—206

所以所求概率P=———=—,

故选:D

r点睛】

本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.

8、B

【解析】

求出函数的导数，利用切线方程通过/（0）,求解即可；

【详解】

J（X）的定义域为（-1,+8）,

因为r(x)=——一a,曲线y=/(x)在点(0,J(U))处的切线方程为y=2x,

x+1

可得1-4=2,解得。=T,

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力.

9、A

【解析】

设事件4为“方程三十£=1表示双曲线“，事件8为“方程上+£=1表示焦点在y轴上的双曲线”，分别计算出

mnmn

fXA),P(AB),再利用公式P(3/A)=与学计算即可.

P(A)

【详解】

设事件A为“方程—+^-=1表示双曲线*事件B为“方程■•十£=1表示焦点在>'轴上

mnmn

3x3-i-4x?173x39

的双曲线”，由题意，P(A)='；g,P(A8)=汜=9，则所求的概率为

7x5357x535

P(AB)9

P(B/A)=

P(A)n

故选：A.

【点睛】

本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.

10、B

【解析】

因为z=l-i-2i=l-3i,所以z的虚部是-3.故选B.

11、C

【解析】

求出A「8的元素，再确定其真子集个数.

【详解】

-—2-—2

,.2X=----------X=------------

由)「•：，解得「2或L2，工ACIB中有两个元素，因此它的真子集有3个.

［厂+旷=175-1V5-1

y=—y=—

故选：c.

【点睛】

本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合

A3都是曲线上的点集.

12、C

【解析】

Y2222

设A（XQ，J,研巧,%），则上+乂2=],工+%2=1，相减得到Q+Q女=0,解得答案.

3333

【详解】

设A（X1,y）,8（毛,%），设直线斜率为左，则曰+y：=i,/:+）/二1，

相减得到：（%一二!%+%）+（）+%）（），「力。,AB的中点为尸卜,；）

224

即；+7%=。，故Z=—1,直线A4的方程为：y=-x+—.

333

故选：C.

【点睛】

本题考查了椭圆内点差法求直线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、26

【解析】

x+y<\0

试题分析：作出不等式组，2所表示的平面区域如图，当直线2=2工+3），过点（4,6）时，Z最大，且

x>4

zImIU.lIxA=2x4+3x6=26

14、G

【解析】

由圆柱外接球的性质，即可求得结果.

【详解】

解：由于圆柱的高和球半径均为2,,则球心到圆柱底面的距离为1,

设圆柱底面半径为人由已知有/+]2=22,

r=应，

即圆柱的底面半径为由.

故答案为：V3.

【点睛】

本题考查由圆柱的外接球的性质求圆柱底面半径，属于基础题.

15、100

【解析】

某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.

【详解】

X

设抽取的样本容量为X,由已知，30=240x解得x=100.

160+240+400

故答案为：100

【点睛】

本题考杳随机抽样中的分层抽样，考查学生基本的运算能力，是一道容易题.

16、5石

【解析】

建系，将直线A4用方程表示出来，再用参数表示出线段A8的长度，最后利用导数来求函数最小值.

【详解】

以。为原点，CA,CB所在直线分别作为X〉轴，建立平面直角坐标系，则”(8,1).设直线A4:y-l=©x-8),即

(1__O、

),二履+1—83则A--=—,0,B(01-8k),

\^)

4>0

所以k,所以kvO,

1-8攵>0

AB2=\------+(1-82)2=/(&)/<0),

\k)

贝ij/(幻=(1-8幻211+J|(z<o),

贝厅”)=2(1—82八(一8)'(1+£)+(1-8攵)2'(一2G

-2(1-8%)(8公+1)—2(1—8Z)(2A+1)(4/—2攵+1)

"F=P，

当xef—8,—时，Ax)<0,则单调递减，当xcf—；,()］时，f\x)>0,则/(x)单调递增，

\乙)、乙)

所以当&二一;时，A8最短，此时AB=5行.

故答案为：5石

【点睛】

本题考查导数的实际应用，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)—+^-=1(2)马亚

437

【解析】

a+c=3

（1）依题意可得＜8=6,解方程组即可求出椭圆的方程;

a2=b2+c2

（2）设r（2,T〃）G〃wO）,则=+设直线。。的方程为X=m），+1,联立直线与椭圆方程，消去X,设

P（A，y）,Q（%2，）’2），列出韦达定理，即可表示IPQL再根据四=述求出参数机，从而得出A最后

IPQI24

QPQ

由点写到直线PQ的距离得到SATPQ=SAFFQ,由3四边形孙=32+3她尸。=2,7P°即可得解;

【详解】

。+c=3a=2

解：(1)・・•在=6・・・解得匕二6,

，/2

a-=b~+c~

22

，椭圆£的方程为工+工=1.

43

(2)・・・A(2,0),・••可设T(2,T〃)(WNO),・•・|叫|=J/%?+[.・.・%.=』=—m,

・・.k也二,，・・・设直线P。的方程为x=my+l,

m

x=my+1

:.■x2y1，；・(3疗+4)y?+6wy-9=0,显然J>0恒成立.

T+T=

设P(X，X)，。仁，%)，则y+必=[：4,丁»二&；9，

5m+43〃z+4

・•・I也1=，(％-42『+()北-％)2=%)『+(1f'

=JW+l)[(y+)J_]==12(>+1)

9儿"R7172J十/[l3w2+4j3w2+4j3m2+4

.I跖3〃?+4_3〃P+4_75/2

‘两12"+1)=1262+1一百

:.1Sm4-in2-17=0，，解得irr=I，解得m=±]t

...|明1slp。煤••%=38)竽

•・•此时直线PQ的方程为x±)，-l=O,^(-1,0),

，点写到直线PQ的距离为d=匕导二J2,

,・S四边形rpqo=SATPQ+S&F\PQ=2SATPQ=~］一

即此时四边形TPZQ的面积为芋.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的综合应用，考查计算能力，属于中档题.

18、(1)0.104(2)0.766(3)=D^>>D^2

【解析】

(1)设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者”的事件为A,根据古典概型求出即可；

(2)设该区“卫生习惯状况良好者“，”体育锻炼状况良好者“、"膳食合理状况良好者”事件分别为人，B,C,设事

件E1为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“，则

P(E)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC),求出即可；

(3)根据题意，写出即可.

【详解】

(1)设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者”的事件为A,

有效问卷共有380+550+330+410+460+430=2500(份)，

其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是400x0.65=260人，

故26)=怒260=0.104；

(2)设该区“卫生习惯状况良好者“，”体育锻炼状况良好者“、"膳食合理状况良好者”事件分别为4,B,C,

根据题意，可知P(A)=0.6,(B)=0.8,P(C)=0.65,

设事件?为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯”

贝!JP(E)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

=0.6x0.8x0.35+0.6x0.2x0.65+0.4x0.8x0.65+0.6x0.8x0.65

=0.168+0.078+0.208+0.312

=0.766.

所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯至少具备2个良好习惯的概率为0.766.

(3)。［=。白＞。女＞。$＞。刍＞。刍.

【点睛】

本题考查了古典概型求概率，独立性事件，互斥性事件求概率等，考查运算能力和事件应用能力，中档题.

19、（1）有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；（2）67元，见解析.

【解析】

（1）根据表格数据代入公式，结合临界值即得解；

（2）X的可能取值为40,60,80,1,根据题意依次计算概率，列出分布列，求数学期望即可.

【详解】

（1）由题得

“2200(40x40-80x40)250

K-=——----------------------=——«5.556>5.024,

120x80x80x1209

所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关.

(2)由题意可知X的可能取值为40,60,80,1.

1113

p(X=40)=-x60%=-,P(X=60)=-x60%=京,

P(X=80)=30%+^x60%=|,P(X=90)=10%=^.

则X的分布列为

X4060801

321

P

510510

1321

所以，EX=40x-+60x—+80X-+90X—=67(元).

51051()

【点睛】

本题考查了统计和概率综合，考查了列联表，随机变量的分布列和数学期望等知识点，考查了学生数据处理，综合分

析，数学运算的能力，属于中档题.

20、（1）作图见解析；），=ce必更适合&）（3）预报值为245

【解析】

（1）由散点图即可得到答案；

-可（勺一%）__

（2）把＞，=。*两边取自然对数，得1”，=公+lnc,由”=上―___________计算得到，再将（工工）代入

Iny=c/r+lnc,可得Inc,最终求得lny=0.2x+0.1,即），=/」"2\

（3）将刀=27代入=/」•*2、中计算即可.

【详解】

解：（1）绘出y关于x的散点图，如图所示:

由散点图可知，），=C-A更适合作为该种细菌的繁殖数量丁关于X的回归方程类型；

（2）把＞，=。*两边取自然对数，得1”=公+hic,

即攵=办+Inc,

7_

力（斗-初勺-D205

由“二上---------；——二上。0.183a0.2

112

lnc=4.1-0.2x20«0.1.

/.Iny=0.2x+0.1,

则y关于x的回归方程为y=e"」•e°2‘；

（3）当x=27时，计算可得.y=网

即温度为27*C时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245.

【点睛】

本题考查求非线性回归方程及其应用的问题，考查学生数据处理能力及运算能力，是一道中档题.

21、（I）详见解析；（II）姮.

5

【解析】

试题分析：（I）连接8Z）交AC于。，得OGHBE,所以OG〃面BEF,又EFHAC,得AC〃面8砂,

即可利用面面平行的判定定理，证得结论；

（II）如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求的平面A3厂的一个法向量小，利用向量A力和向量〃7夹

角公式，即可求解AD与平面A8厂所成角的正弦值.

试题解析：

(I)连接笈D交AC于O,易知O是夕。的中点，故OGI/BE,BEu面BEF,OG在面BEF夕卜，所以OG//

面BEF；

又EFHAC,4c在面尸外，AC〃面BEF,又AC与。G相交于点O,面ACG有两条相交直线与面尸

平行，故面4CG〃面尸；

(11)如羽，以0为坐标原点，分别以0。、0〃、0户为小)，、1轴建立空间直角坐标系，则4(-1,0,0),川(),一6,0),

D(0,V3,0),F(0,0,5/3),AO=(l,G,0),A8=(l,—G,0),A尸二(1,O,G),