2025高考数学二轮复习-第01讲 导数的概念、运算及几何意义-专项讲义【含答案】

2025高考数学二轮复习-第01讲导数的概念、运算及几何意义-专项讲义（8类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第13题,5分已知切线斜率求参数公切线问题直线的点斜式方程2024年新Ⅱ卷，第16题,15分求在曲线上一点处的切线方程利用导数研究含参函数单调性根据极值求参数2022年新I卷，第10题,5分求在曲线上一点处的切线方程利用导数研究函数的零点求已知函数的极值点2022年新I卷，第12题,5分函数与导函数图象之间的关系抽象函数的奇偶性函数对称性的应用2022年新I卷，第15题,5分求过一点的切线方程求某点处的导数值2022年新Ⅱ卷，第14题,5分求过一点的切线方程无2021年新I卷，第7题,5分求过一点的切线方程利用导数研究函数图象及性质2021年新Ⅱ卷，第16题,5分两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题直线的点斜式方程及辨析2020年新I卷，第21题,12分求在曲线上一点处的切线方程利用导数研究不等式恒成立问题2020年新Ⅱ卷，第22题,12分求在曲线上一点处的切线方程利用导数研究不等式恒成立问题2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分左右【备考策略】1理解导数概念的实际背景，理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，了解导数的本质与思想,了解极限思想2能通过函数图象直观理解导数的几何意3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数并.熟练使用导数公式表4能理解导数的几何意义并会求切线方程【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查在曲线上一点的切线方程或过一点的切线方程，需加强复习备考知识讲解函数在处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)。函数的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数f′(x)＝limeq\o(,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.八大常用函数的求导公式（1）（为常数）（2），例：，，，（3）（4）（5）（6）（7）（8）导数的四则运算和的导数：差的导数：积的导数：（前导后不导前不导后导）商的导数：，复合函数的求导公式函数中，设（内函数），则（外函数）导数的几何意义导数的几何意义函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即．直线的点斜式方程直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为：【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为；（2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标；第二步：写出过的切线方程为；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程，可得过点P(x0，y0)的切线方程．考点一、导数的计算1．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．(5)(6)(7)(8)2．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．1．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．2．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数．(1)(2)；(3)(4).3．（23-24高三上·山西临汾·阶段练习）求下列函数的导数：(1)(2)(3)(4)(5)(6)考点二、求曲线切线的斜率或倾斜角1．（全国·高考真题）曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（

）.A． B． C．2 D．12．（全国·高考真题）曲线在点处的切线的倾斜角为（

）A． B． C． D．1．（2024·上海嘉定·二模）已知曲线上有一点，则过点的切线的斜率为．2．（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．考点三、求在曲线上一点的切线方程1．（2021·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为．2．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．3．（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．1．（2024·全国·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．2．（2024·河北保定·三模）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．3．（2024·湖北·模拟预测）写出函数的一条斜率为正的切线方程：．考点四、求过一点的切线方程1．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为，．2．（2024·贵州·模拟预测）过点作曲线的切线，请写出切线的方程.1．（2023·全国·模拟预测）过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（

）A．和 B．和C．和 D．和2．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条考点五、已知切线（斜率）求参数1．（全国·高考真题）曲线在点处的切线的斜率为，则．2．（2024·湖南长沙·二模）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．11．（2024·四川遂宁·三模）曲线在点处切线的斜率为3，则实数．2．（2024·浙江绍兴·二模）函数在点处的切线与直线平行，则（

）A． B． C． D．3．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，若曲线在处的切线方程为，则．考点六、两条切线平行、垂直问题1．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是．2．（2023·四川凉山·一模）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2024·河北邢台·二模）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（

）A． B． C． D．1．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（山东·高考真题）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是A． B． C． D．3．（2024·河南·模拟预测）已知函数的图象经过两点，且的图象在处的切线互相垂直，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2024·河南·三模）已知函数点，在曲线上（在第一象限），过，的切线相互平行，且分别交轴于，两点，则的最小值为．考点七、公切线问题1．（2024·全国·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.2．（全国·高考真题）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．3．（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线是曲线和的公切线，则实数a=．2．（2024·上海·三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为.3．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．考点八、切线（方程）的综合应用1．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．2．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．3．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线恒在曲线的上方，则的取值范围是（

）A． B． C． D．1．（2024·全国·模拟预测）若直线与曲线相切，则的最小值为（

）A． B．－2 C．－1 D．01．2．（2024·全国·模拟预测）若直线与曲线（且）无公共点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2024·重庆·模拟预测）已知直线与曲线相切于点，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．一、单选题1．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线的一条切线方程为，则实数（）A． B． C．1 D．22．（2024·河北保定·三模）已知二次函数（且）的图象与曲线交于点P，与x轴交于点A（异于点O），若曲线在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为（

）A． B． C． D．3．（2024·全国·模拟预测）若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（

）A．3 B． C．7 D．5．（23-24高二下·山东枣庄·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（

）A．1 B． C． D．6．（2024·河南·模拟预测）函数与直线相切于点，则点的横坐标为（

）A． B．1 C．2 D．二、填空题7．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为.8．（2024·山西朔州·模拟预测）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为.9．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程是，若，则的值为.10．（2024·四川·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则．一、单选题1．（2024·四川德阳·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（

）A． B．1 C． D．2．（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或3．（2024·重庆渝中·模拟预测）若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（

）A． B．1 C．3 D．或34．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（

）A． B．C． D．5．（2024·浙江金华·三模）若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（

）A． B． C． D．二、填空题6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，若曲线与直线相切，则．7．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是．8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）若直线为曲线的一条切线，则的最大值为.9．（2024·山东临沂·二模）若直线与曲线相切，则的取值范围为.10．（23-24高三上·江苏无锡·期末）已知函数，若函数的图象在点和点处的两条切线相互平行且分别交轴于、两点，则的取值范围为.1．（2020·全国·高考真题）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.2．（2020·全国·高考真题）函数的图像在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．3．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是.4．（2019·天津·高考真题）曲线在点处的切线方程为.5．（2019·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为．6．（2019·全国·高考真题）已知曲线在点处的切线方程为，则A． B． C． D．7．（2018·全国·高考真题）曲线在点处的切线的斜率为，则．8．（2019·全国·高考真题）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为A． B．C． D．9．（2018·全国·高考真题）设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为()A． B． C． D．10．（2018·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为参考答案与详细解析（8类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第13题,5分已知切线斜率求参数公切线问题直线的点斜式方程2024年新Ⅱ卷，第16题,15分求在曲线上一点处的切线方程利用导数研究含参函数单调性根据极值求参数2022年新I卷，第10题,5分求在曲线上一点处的切线方程利用导数研究函数的零点求已知函数的极值点2022年新I卷，第12题,5分函数与导函数图象之间的关系抽象函数的奇偶性函数对称性的应用2022年新I卷，第15题,5分求过一点的切线方程求某点处的导数值2022年新Ⅱ卷，第14题,5分求过一点的切线方程无2021年新I卷，第7题,5分求过一点的切线方程利用导数研究函数图象及性质2021年新Ⅱ卷，第16题,5分两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题直线的点斜式方程及辨析2020年新I卷，第21题,12分求在曲线上一点处的切线方程利用导数研究不等式恒成立问题2020年新Ⅱ卷，第22题,12分求在曲线上一点处的切线方程利用导数研究不等式恒成立问题2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分左右【备考策略】1理解导数概念的实际背景，理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，了解导数的本质与思想,了解极限思想2能通过函数图象直观理解导数的几何意3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数并.熟练使用导数公式表4能理解导数的几何意义并会求切线方程【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查在曲线上一点的切线方程或过一点的切线方程，需加强复习备考知识讲解函数在处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)。函数的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数f′(x)＝limeq\o(,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.八大常用函数的求导公式（1）（为常数）（2），例：，，，（3）（4）（5）（6）（7）（8）导数的四则运算和的导数：差的导数：积的导数：（前导后不导前不导后导）商的导数：，复合函数的求导公式函数中，设（内函数），则（外函数）导数的几何意义导数的几何意义函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即．直线的点斜式方程直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为：【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为；（2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标；第二步：写出过的切线方程为；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程，可得过点P(x0，y0)的切线方程．考点一、导数的计算1．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．(5)(6)(7)(8)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】根据导数的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数的导数公式求解，另外（6）还用了切换弦，（7）还用了半角公式.【详解】（1）（2）（3）（4）（5）．（6），则（7），则．（8）2．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用复合函数及求导乘法法则进行计算；（2）利用复合函数及求导加法法则进行计算；（3）利用复合函数及求导乘法法则进行计算；（4）利用复合函数及求导减法，除法法则进行计算.【详解】（1）（2）（3）（4）1．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）（2）根据基本初等函数的导数即可求解，（3）（4）（6）根据基本初等函数的导数和导数的四则运算即可求解，（5）根据复合求导法则即可求解.【详解】（1）（2）（3）（4）（5）令，令，则（6）2．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数．(1)(2)；(3)(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据导数的四则运算和复合函数的求导法则可求各函数的导数.【详解】（1）（2）（3）（4）3．（23-24高三上·山西临汾·阶段练习）求下列函数的导数：(1)(2)(3)(4)(5)(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）—（6）根据导数的运算法则及基本初等函数函数的导数公式计算可得.【详解】（1）因为，所以.（2）因为，所以.（3）因为，所以.（4）因为，所以.（5）因为，所以.（6）因为，所以.考点二、求曲线切线的斜率或倾斜角1．（全国·高考真题）曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（

）.A． B． C．2 D．1【答案】C【详解】试题分析：由，得，故，故切线的斜率为，故选C.考点：导数的集合意义.2．（全国·高考真题）曲线在点处的切线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数的几何意义求解即可．【详解】∵，∴曲线在点处的切线的斜率，则倾斜角为，故选：B．1．（2024·上海嘉定·二模）已知曲线上有一点，则过点的切线的斜率为．【答案】4或1【分析】根据导数的几何意义直接求解即可.【详解】设，则，设切点为，则切线方程为，因为切线过点，所以，解得或，所以过点P的切线的斜率为4或1.故答案为：4或12．（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.【详解】由，则，即直线的斜率为，根据倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为.故选：C考点三、求在曲线上一点的切线方程1．（2021·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为．【答案】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．故答案为：．2．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【详解】设曲线在点处的切线方程为，因为，所以，所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C3．（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积.【详解】，则，即该切线方程为，即，令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故选：A.1．（2024·全国·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据导数的几何意义，即可求解.【详解】由，可得，则，又，则所求切线方程为，即．故选：B．2．（2024·河北保定·三模）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据导数的几何意义求得曲线的切线方程，结合三角形面积公式计算即可.【详解】由，得，则，，所以曲线在点处的切线方程为.令，得，令，得，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.故选：C3．（2024·湖北·模拟预测）写出函数的一条斜率为正的切线方程：．【答案】（答案不唯一）【分析】根据导数的几何意义结合导数运算求导函数，取定义域内的点作切点，求斜率与切点坐标即可得切线方程.【详解】，，则，取切点为，则斜率为，又，则切线方程为：，即.故答案为：（答案不唯一）考点四、求过一点的切线方程1．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为，．【答案】【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；解：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；[方法二]：根据函数的对称性，数形结合当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；因为是偶函数，图象为：所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.[方法三]：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；.2．（2024·贵州·模拟预测）过点作曲线的切线，请写出切线的方程.【答案】或【分析】设切点，求导并写出切线方程，代入点求出值即可.【详解】设切点为，而，所以切线的斜率，故切线方程为，因为切线过点，，化简可得或，则切点为或，则代入得切线方程为：或，故答案为：或.1．（2023·全国·模拟预测）过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【分析】由解析式得为偶函数，故过原点作的两条切线一定关于y轴对称，再由导数几何意义求上的切线，结合偶函数对称性写出另一条切线.【详解】由，得为偶函数，故过原点作的两条切线一定关于y轴对称．当时，，则，设切点为，故，解得或（舍），所以切线斜率为1，从而切线方程为．由对称性知：另一条切线方程为．故选：A2．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】A【分析】利用导数求出斜率，结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解.【详解】设切点为，由可得，则过坐标原点的切线的斜率，故，即，解得，故过坐标原点的切线共有1条．故选：A．考点五、已知切线（斜率）求参数1．（全国·高考真题）曲线在点处的切线的斜率为，则．【答案】【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可．【详解】解：则所以故答案为-3.【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．2．（2024·湖南长沙·二模）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】利用已知条件求出切点的横坐标，从而得到，利用基本不等式即可求解.【详解】由于直线与曲线相切，设切点为，且，所以，则切点的横坐标，则，即.又，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为1.故选：D1．（2024·四川遂宁·三模）曲线在点处切线的斜率为3，则实数．【答案】1【分析】根据导数几何意义，求出在处的导数即可得解.【详解】的导数为，可得曲线在点处切线的斜率为，解得.故答案为：1.2．（2024·浙江绍兴·二模）函数在点处的切线与直线平行，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可得解．【详解】，则，因为函数在点处的切线与直线平行，所以，解得，故选：A．3．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，若曲线在处的切线方程为，则．【答案】【分析】利用导函数和切线斜率求出的值，利用解析式和切点坐标求出的值，可得.【详解】函数，，若曲线在处的切线方程为，则切点坐标为，切线斜率，则有，解得，所以．故答案为：.考点六、两条切线平行、垂直问题1．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是．【答案】【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.【详解】由题意，，则，所以点和点，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.2．（2023·四川凉山·一模）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数的几何意义结合导函数的单调性计算即可.【详解】由，不妨设这两条相互垂直的切线的切点为，且若，则恒成立，不符合题意，可排除A项；所以，此时易知单调递增，要满足题意则需.故选：D3．（2024·河北邢台·二模）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到的关系，在结合不等式求的取值范围即可.【详解】因为，.所以，.由因为在，两个不同点处的切线相互平行，所以，又，所以，故CD错误；因为且，所以，故A不成立；当时，.故B成立.故选：B1．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意知有两个不相等的正实数根，结合一元二次方程根的分布即可求得参数的范围.【详解】由题意知，因为切线与直线垂直，所以曲线在点处的切线斜率都是，即关于的方程有两个不相等的正实数根，化简得，有两个不相等的正实数根，则，解得.故选：A.2．（山东·高考真题）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是A． B． C． D．【答案】A【分析】若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．【详解】解：函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y＝sinx时，y′＝cosx，满足条件；当y＝lnx时，y′0恒成立，不满足条件；当y＝ex时，y′＝ex＞0恒成立，不满足条件；当y＝x3时，y′＝3x2＞0恒成立，不满足条件；故选A．考点：导数及其性质.3．（2024·河南·模拟预测）已知函数的图象经过两点，且的图象在处的切线互相垂直，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构建，利用导数判断原函数单调性和值域，结合题意分析可知，运算求解即可.【详解】因为，则，构建，则，当时，；当时，；可知在上单调递增，在上单调递减，且，当趋近于时，趋近于，可知的值域为，由题意可知：存在，使得，则，即，解得，所以的取值范围是.故选：D.【点睛】关键点点睛：求的值域为，根据导数的几何意义分析可知存在，使得，结合值域分析求解即可.7．（2024·河南·三模）已知函数点，在曲线上（在第一象限），过，的切线相互平行，且分别交轴于，两点，则的最小值为．【答案】【分析】利用给定条件得到，再把目标式化为一元函数，求导研究最值即可.【详解】易知，设，则，设切线斜率为，则，所以，设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以的最小值为，所以的最小值为．故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是利用给定条件得到，然后把目标式表示为，求导得到单调性，再求最值即可．考点七、公切线问题1．（2024·全国·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.【答案】【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由得，，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.故答案为：2．（全国·高考真题）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【详解】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f′（x0）（x−x0）．注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．3．（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出两曲线的切线方程，再构造函数，利用导数求得单调性和最值，即可求得的取值范围.【详解】两个函数求导分别为，设，图象上的切点分别为，，则过这两点处的切线方程分别为，，则，，所以，设，，，令，所以，所以在上单调递增，且，则在上单调递减，在上单调递增，所以，.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的定义得到，从而构造函数即可得解.1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线是曲线和的公切线，则实数a=．【答案】3【分析】先设在上的切点，然后求出切点和切线，然后再设在上的切点，即可求出a的值.【详解】设直线l与曲线相切于点，由，得，因为l与曲线相切，所以消去，得，解得．设l与曲线相切于点，由，得，即，因为是l与曲线的公共点，所以消去，得，即，解得．故答案为：3.2．（2024·上海·三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为.【答案】2【分析】根据两曲线在有公切线，则是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出的值，则答案可求.【详解】由已知得，解得，又，所以得，所以，所以.故答案为：23．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设曲线切点为，的切点为，求出切线方程，根据有两条公切线转化为方程具有两个解，构造函数利用导数求解取值范围，判断选项.【详解】设曲线切点为，的切点为，则曲线在点处的切线方程为，即，同理，在点处的切线方程为，根据与有两条公切线，则，所以，化简可得具有两个交点，转化为有两个解，构造函数，则，当，，单调递增；当，，单调递减，故在时有极大值即为最大值，故，当时，，当时，，故的取值范围为，故选：A考点八、切线（方程）的综合应用1．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.2．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设切点点，写出切线方程，将点代入切线方程得，此方程有两个不同的解，利用导数求b的范围.【详解】在曲线上任取一点，，所以曲线在点处的切线方程为.由题意可知，点在直线上，可得，令函数，则.当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以.设，所以，所以当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以，所以，所以，当时，，所以，当时，，所以，的图象如图：由题意可知，直线与的图象有两个交点，则.故选：B3．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线恒在曲线的上方，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设直线与曲线切于点，根据题意由在直线上方，由求解.【详解】解：设直线与曲线切于点，则，所以切线方程为，所以，，所以，设，，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.故选：A.1．（2024·全国·模拟预测）若直线与曲线相切，则的最小值为（

）A． B．－2 C．－1 D．0【答案】C【详解】根据直线与函数相切，可得以及，即可换元构造函数，利用导数求解函数的最值求解.【分析】设切点坐标为．由已知，得，则，解得．又切点在切线与曲线上，所以，所以．令，则．令，解得．当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减．所以，即，所以，则的最小值为－1．故选：C．2．（2024·全国·模拟预测）若直线与曲线（且）无公共点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由时，易知直线与曲线必有一个公共点，当时，由直线与曲线相切，利用导数法求得，再由图象位置判断．【详解】解：当时，直线与曲线必有一个公共点，不合题意，当时，若直线与曲线相切，设直线与曲线相切于点，则，得．由切点在切线上，得，由切点在曲线上，得，所以，．如图所示：故当直线与曲线（且）无公共点时，．故选：D【点睛】思路点睛：时，由单调递增，单调递减容易判断；时，利用导数法研究直线与曲线相切时a的值，再根据对数函数在第一象限内随底数a的增大,图象向x轴靠近而得解.3．（2024·重庆·模拟预测）已知直线与曲线相切于点，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由导数几何意义可得，，所以，令，对求导，得到的单调性和最值，即可得出答案.【详解】因为，所以，∴．又∵切点在直线上，∴，解得．∴．令，则，，令，解得：；令，解得：；可得在上单调递增，在上单调递减，时，，时，，当趋近负无穷时，趋近，；，故的取值范围为．故选：B．一、单选题1．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线的一条切线方程为，则实数（）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据切线的斜率的几何意义可知，求出切点，代入切线即可求出.【详解】设切点为因为切线，所以，解得（舍去）代入曲线得，所以切点为代入切线方程可得，解得.故选：D.2．（2024·河北保定·三模）已知二次函数（且）的图象与曲线交于点P，与x轴交于点A（异于点O），若曲线在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数求解直线l的斜率，即可根据垂直关系得，结合，即可求解.【详解】易知，设，联立与可得，故，由得，所以，，因为，所以，即，又，所以.故选：B.3．（2024·全国·模拟预测）若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用导数的几何意义求出与直线平行且与曲线相切的直线与曲线相切的切点坐标，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】的定义域为，由函数，可得，令，可得，负值舍去，又，所以平行于直线且与曲线相切的直线与曲线的切点坐标为．点到直线的距离，即点到直线的距离的最小值为.故选：C．4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（

）A．3 B． C．7 D．【答案】C【分析】利用导数求出切线斜率，再结合垂直关系列式计算即得.【详解】由，求导得，当时，，由曲线在处的切线与直线垂直，得，所以.故选：C5．（23-24高二下·山东枣庄·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由导数的几何意义求得曲线上与直线平行的切线方程的切点坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离．【详解】直线的斜率，函数定义域为，点是曲线上任意一点，设，由，令，解得或（舍去），，此时，∴曲线上与直线平行的切线的切点为，所以曲线上点到直线的最小距离，为点到直线的距离.故选：C.6．（2024·河南·模拟预测）函数与直线相切于点，则点的横坐标为（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【分析】设出，求导，直线的斜率为，根据导数的几何意义得到方程，求出横坐标【详解】设函数与直线相切于点，直线的斜率为，，所以，所以．故选：B．二、填空题7．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为.【答案】/【分析】对原函数进行求导,代入得出切线斜率.曲线在处的切线倾斜角为可得出斜率.构造关于的方程，解方程即可.【详解】曲线的导数,∵曲线在处的切线的倾斜角为,∴,∴,∴故答案为:.8．（2024·山西朔州·模拟预测）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为.【答案】/【分析】利用数形结合思想可知切点到直线的距离是最小值，从而利用导数来求出切点，再用点到直线的距离公式求出最小值即可.【详解】由题意的最小值为曲线上点A到直线距离的最小值，而点A就是曲线与直线相切的切点，因为曲线上其它点到直线的距离都大于，对求导有，由可得，即，故.故答案为：.9．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程是，若，则的值为.【答案】【分析】首先通过切线方程将，算出，再求出，将代入计算即可.【详解】将代入切线方程，得，故，由切线方程斜率可知，，，故答案为:.10．（2024·四川·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则．【答案】2【分析】根据导数的几何意义设切点坐标为，求导由斜率可得的值，从而代入曲线方程与切线方程可得，即可得的值.【详解】设切点坐标为，对函数求导得，则切线斜率，得，所以，且，则，即．故答案为：2.一、单选题1．（2024·四川德阳·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】求出函数的导函数，设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可得到方程组，解答即可.【详解】由，可得，设切点为，则，则切线方程为，即，又直线与曲线相切，所以，解得.故选：D2．（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，在根据导数的几何意义算.【详解】依题意得，设直线的方程为，由直线和圆相切可得，，解得，当时，和相切，设切点为，根据导数的几何意义，，又切点同时在直线和曲线上，即，解得，即和相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位，和仍会保持相切状态，即时，，综上所述，或.故选：A3．（2024·重庆渝中·模拟预测）若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（

）A． B．1 C．3 D．或3【答案】D【分析】设直线与曲线的切点为，先根据导数的几何意义求出在切点处的切线方程，再根据直线与圆相切和圆心到直线距离的关系列式求解即可．【详解】设直线l与曲线的切点为，由，则，则，，即切点为，所以直线l为，又直线l与圆都相切，则有，解得或.故选：D.4．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设与相切于点，与相切于点，利用导数的几何意义，得到和，再由，求得，得到，令，利用导数求得函数的单调性与最值，求得，即可求解.【详解】设与曲线相切于点，与相切于点，由，可得的斜率，所以①，又由，可得，所以，即②，又因为③，将②③代入①中，可得，由③易知，,则④，将④代入③，可得，则，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增．所以，当且仅当时取等号，故，可得，所以，所以的方程为，即．故选：B．【点睛】方法技巧：对于利用导数解决函数综合问题问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．5．（2024·浙江金华·三模）若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数分别求得与相切的切线方程，可得，进而可得有解，从而利用导数可求的范围.【详解】设直线与相切与点，因为，所以切线方程，即，设直线与相切与点，因为，所以切线方程，即，，所以有解，令，，所以函数在，上单调递减，在，上单调递增，因为，，所以，所以，的范围为.故选：A.【点睛】思路点睛：本题考查曲线公切线相关问题的求解，求解曲线公切线的基本思路是假设切点坐标，利用导数的几何意义分别求得两曲线的切线方程，根据切线方程的唯一性构造方程组来进行求解.二、填空题6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，若曲线与直线相切，则．【答案】【分析】设出切点，利用切点在曲线上也在直线上和切点处的导数等于斜率列方程求解。【详解】设，与直线相切的切点为，则，故在点处的切线方程可写为，即，若切线为，则且，得，所以，设则，所以，所以，所以又因为，所以解得．故答案为：7．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是．【答案】【分析】由题意可得有两个不相等的正实数根，法一：令，利用导数求出函数的单调区间及最值即可得解；法二：可得关于的方程有两个不相等的正实数根，再根据一元二次方程根的分布情况求解即可.【详解】由题意知，曲线在点处的切线斜率都是2，所以关于的方程有两个不相等的正实数根，解法一：令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，即函数在上单调递减，在上单调递增，又当时，，当时，，所以，解得，所以实数的取值范围是.解法二：可得关于的方程有两个不相等的正实数根，则，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）若直线为曲线的一条切线，则的最大值为.【答案】/【分析】设，切点为，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意求出的关系，再构造新的函数，利用导数求出最大值即可.【详解】设，则，设切点为，则，则切线方程为，整理可得，所以，解得，所以，所以，设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取得最大值，所以的最大值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：设出切点，根据直线为曲线的一条切线，求出的关系，是解决本题的关键.9．（2024·山东临沂·二模）若直线与曲线相切，则的取值范围为.【答案】【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得，则，构造并研究单调性，进而求值域即可.【详解】函数的导数为，设切点为，所以，则，即又因为在上，所以，所以，即，所以，所以，令，，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.当趋近正无穷时，趋近正无穷.所以的取值范围为：.故答案为：.10．（23-24高三上·江苏无锡·期末）已知函数，若函数的图象在点和点处的两条切线相互平行且分别交轴于、两点，则的取值范围为.【答案】【分析】由可得出，利用弦长公式得出，利用导数求出函数在上的值域，即可为所求.【详解】当时，，，则，当时，，，则，因为函数的图象在点和点处的两条切线相互平行，则，即，则，，，所以，，令，其中，则，当时，，此时函数在上单调递减，当时，，此时函数在上单调递增，所以，，因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】关