九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）-重难点专项突破11解直角三角形之“叠合式”模型（解析版）

重难点专项突破11解直角三角形之“叠合式”模型【知识梳理】【考点剖析】一、单选题1．（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（

）．

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】设点到直线距离为米，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设点到直线距离为米，在中，，在中，，由题意得，，解得，（米，故选：．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．2．（2021春·重庆綦江·九年级重庆市綦江中学校考阶段练习）一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后上到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A点仰角为37°（身高忽略不计）．已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡长为2.6米，旗杆AB所在旗台高度EF为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上．则请问旗杆自身高度AB为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．10.2 B．9.8 C．11.2 D．10.8【答案】B【分析】如图，作交的延长线于，延长交的延长线于，作于．设，在中，根据，构造方程解决问题即可．【详解】解：如图，作DH⊥FC交FC的延长线于H，延长AB交CF的延长线于T，作DJ⊥AT于J．由题意四边形EFTB、四边形DHTJ是矩形，∴BT=EF=1.4米，JT=DH，在Rt△DCH中，∵CD=2.6米，=，∴DH=1（米），CH=2.4（米），∵∠ACT=45°，∠T=90°，∴AT=TC，设AT=TC=x．则DJ=TH=（x+2.4）米，AJ=（x﹣1）米，在Rt△ADJ中，∵tan∠ADJ==0.75，∴=0.75，解得x=2，∴AB=AT﹣BT=AT﹣EF=11.2﹣1.4=9.8（米），故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用测量高度问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，要熟练掌握仰角，坡度等概念，为中考常见题型．二、填空题3．（2021春·浙江杭州·九年级期末）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A、B两点的俯角分别为60°和45°．若飞机离地面的高度CO为900m，且点O，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为_______．（结果保留根号）【答案】（900﹣300）米【分析】根据平行线的性质可得∠CAO＝∠ACD＝60°，∠B＝∠BCD＝45°，然后根据锐角三角函数求出AO和OB，即可求出结论．【详解】解：由于CD∥OB，∴∠CAO＝∠ACD＝60°，∠B＝∠BCD＝45°在RtACO中，∠CAO＝60°∴AO＝＝300米，在RtOCB，∠B＝45°∴OB＝=900（米）．∴AB＝OB﹣OA＝（900﹣300）（米）故答案为：（900﹣300）米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是利用锐角三角函数求出AO和OB．4．（2020·山西太原·统考二模）圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表两个部件组成，垂直于地面的直杆叫表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”如图是小彬根据学校所在地理位置设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角，夏至时正午阳光入射角．已知“表”高，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离约为_______．（精确到；参考数据：）【答案】10【分析】分别在与中，运用正切函数解题，分别计算DC，BC的长，再求二者的差即可解题．【详解】根据题意，在中，，即在中，，即即故答案为：10【点睛】本题考查解直角三角形，其中涉及锐角三角函数，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．5．（2020秋·九年级课时练习）如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A，又在河的另一岸边取两个点B、C，测得∠a=30°，∠β=45°，量得BC的长为200米，则河的宽度为_________．（结果保留根号）【答案】（+1）m【分析】直接过点A作AD⊥BC于点D，利用tan30°==，进而得出答案．【详解】过点A作AD⊥BC于点D，∵∠β=45°，∠ADC=90°，∴AD=DC，设AD=DC=xm，则tan30°=，解得：x=100（+1），答：河的宽度为100（+1）m．故答案是：100（+1）m．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用、特殊角的的三角函数值，正确得出AD=CD是解题关键．三、解答题6．（2021秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）如图，王刚想测量楼CD的高度，楼在围墙内，王刚只能在围墙外测量，他无法测得观测点到楼底的距离，于是王刚在A处仰望楼顶，测得仰角为37°，再往楼的方向前进30米至B处，测得楼顶的仰角为53°（A，B，C三点在一条直线上），求楼CD的高度（，，结果精确到1米，王刚的身高忽略不计）．【答案】楼CD的高度为52米【分析】设CD=xm，根据AC=BC-AB，构建方程即可解决问题；【详解】解：设CD=xm，在Rt△ACD中，tan∠A=，∴AC=，同法可得：BC=，∵AC—BC=AB，∴﹣=30，解得x=52，答：楼CD的高度为52米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．7．（2020·云南昆明·统考模拟预测）科技改变生活，时代将对我们的生活产生意想不到的改变．某数学兴趣小组要测量信号塔的高度，如图，在起点处用高米(米)的测量仪测得信号塔的顶端的仰角为，在同一剖面沿水平地面向前走米到达处，测得顶端的仰角为，求信号塔的高度约为多少米?(精确到米．参考数据：)【答案】该信号塔的高度约为米【分析】本题首先假设AB的长度为x，继而表示BE的长度，利用正切三角函数表示DE，进一步表示CE，最后再次利用正切三角函数列式求解．【详解】由已知得：，，设为米，则米，在中，，，，在中，．，求解得：（米）．故该信号塔的高度约为米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题关键在于对各种三角函数概念的理解，并结合具体图形情况，适时选取合适的三角函数以提升解题效率．8．（2020·河南·校联考模拟预测）如图，在一次空中表演中，水平飞行的歼——10飞机在点发现航展观礼台在俯角为21°方向上.飞机继续向前飞行了800米到达点.此时测得点在点俯角为45°的方向上.请你计算当飞机飞到点的正上方点时（点、、在同一直线上），竖直高度约为多少米？（结果保留整数，参考数值：，，）【答案】竖直高度约为490米．【分析】根据题意直接利用解直角三角形的方法进行求解即可．【详解】解：如图：∴∵∴∵∴∴．答：竖直高度约为490米．【点睛】本题主要考查解直角三角形，关键是根据题意利用三角函数进行求解即可．9．（2020秋·江苏无锡·九年级统考阶段练习）如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝16米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角是30°，塔顶A的仰角是45°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．（结果保留根号）【答案】【分析】分别解和，得到、，根据即可求解．【详解】解：在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，解得，∴．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握正切的定义是解题的关键．10．（2020秋·四川凉山·九年级阶段练习）四川省委书记杜青林、国家旅游局副局长张希钦2006年12月16日向获得“中国优秀旅游城市”称号的西昌市授牌，并修建了标志性建筑——马踏飞燕，如图．某学习小组把测量“马踏飞燕”雕塑的最高点离地面的高度作为一次课题活动，制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：课题测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度测量示意图如图，雕塑的最高点B到地面的高度为，在测点C用仪器测得点B的仰角为α，前进一段距离到达测点E，再用该仪器测得点B的仰角为β，且点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内，点A，C，E在同一条直线上．测量数据的度数的度数的长度仪器（）的高31°42°3米1.65米请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留到十分位）．（参考数据：，，，，，）【答案】米【分析】在两个直角三角形中，用BG表示DG、FG，进而用DG−FG＝DF＝3列方程求出BG即可．【详解】如图，延长DF与AB交于点G，设BG＝x米，在Rt△BFG中，FG＝，在Rt△BDG中，，由DG−FG＝DF得，，即，解得，x＝5.4，∴AB＝AG＋BG＝1.65＋5.4＝7.057.1（米），答：这座“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为7.1米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，用BG表示DG、FG是列方程求解的关键．11．（2020春·新疆·九年级校考期末）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE长1.2m，测得AB=1.6m，BC=8.4m，楼高CD是多少？【答案】楼高CD是7.5m【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．【详解】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，，∵BE=1.2，AB=1.6，BC=8.4，∴AC=10，∴CD=7.5．答：楼高CD是7.5m．【点睛】考点：相似三角形的应用．12．（2019·安徽·九年级专题练习）某中学九年级数学兴趣小组欲利用所学知识测量白塔的高度，测量过程如下：如图，先在点处用测角仪测得塔顶仰角为，然后沿方向前行12米到达点处，在点处用测角仪测得塔顶仰角为，已知测角仪高为1米，、、三点在一条直线上，求塔的高度.（结果保留根号）【答案】塔的高度为米.【分析】记EF的延长线交CD于G，首先证明FG＝DG，在Rt△DEG中，求出x即可解决问题．【详解】解：如解图，延长交于点，则.根据题意得：米，米，设米，∵在中，，∴米，在中，，∵，∴，解得，∴米，答：塔的高度为米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．13．（2020·河南商丘·校考模拟预测）炎黄二帝巨型塑像位于河南省郑州市西北部三十公里之处的黄河风景名胜区向阳山（始祖山）上，炎黄二帝巨塑背依邙山，面向黄河．数学活动小组的同学为测量像体的整体高度，在地面上选取两点和，且点，及其中像体在同一平面内，像体底部与点，在同一条直线上，同学们利用高1m的测倾仪在处测得像顶的仰角为，在处测得像顶的仰角为，且．根据测量小组提供的数据，求该塑像的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，．）【答案】该塑像的高度约为．【分析】延长CD交MN于E，则CE⊥MN，NE=BD=AC=1m，∠MDE=45°，∠MCE=35°，CD=AB=45m，在Rt△DEM中，求出ME=DE，在Rt△CEM中，利用勾股定理求出ME的长，即可得出答案．【详解】延长交于，如图所示：由题意得：，，，，在中，，∴，在中，，∴，解得：，∴；答：该塑像的高度约为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角问题；通过作辅助线得出直角三角形，正确求解是解题的关键．14．（2021·全国·九年级假期作业）如图，一艘渔船以40海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在处测得小岛在渔船的北偏东方向；半小时后，渔船到达处，此时测得小岛在渔船的北偏东方向．已知以小岛为中心，周围18海里以内为军事演习着弹危险区．如果这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有着弹危险？【答案】如果这艘渔船继续向东追赶鱼群有着弹危险，详见解析【分析】根据题意可知，实质是比较C点到AB的距离与18的大小．因此作CD⊥AB于D点，求CD的长．【详解】有着弹危险．理由如下：作于，根据题意，，，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，答：如果这艘渔船继续向东追赶鱼群有着弹危险．【点睛】本题考查了方位角问题，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用等，掌握方位角的概念、熟记含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．15．（2020春·河南新乡·九年级河南师大附中校考阶段练习）某校九年级数学兴趣小组的活动课题是“测量物体高度”．小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底面为圆形的古塔高度，以下是他们研究报告的部分记录内容：课题：测量古塔的高度小明的研究报告小红的研究报告图示测量方案与测量数据

用距离地面高度为1.6m的测角器测出古塔顶端的仰角为35°，再用皮尺测得测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离为30m．在点A用距离地面高度为1.6m的测角器测出古塔顶端的仰角为17°，然后沿AD方向走58.8m到达点B，测出古塔顶端的仰角为45°．参考数据sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30，≈1.41计算古塔高度（结果精确到0.1m）30×tan35°+1.6≈22.6（m）（1）写出小红研究报告中“计算古塔高度”的解答过程；（2）数学老师说小红的结果较准确，而小明的结果与古塔的实际高度偏差较大．针对小明的测量方案分析测量发生偏差的原因；（3）利用小明与小红的测量数据，估算该古塔底面圆直径的长度为m．【答案】（1）见解析；（2）小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离；（3）12．【分析】（1）设CH＝x，在Rt△CHF中根据∠CFH＝∠FCH＝45°，可知CH＝FH＝x，在Rt△CHE中根据tan∠CEH＝可得出x的值，由CD＝CH+DH即可得出结论；（2）小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离；（3）根据小明与小红的计算结果得出古塔底面的半径，进而可得出结论．【详解】解：（1）设CH＝x，在Rt△CHF中，∵∠CFH＝∠FCH＝45°，∴CH＝FH＝x，在Rt△CHE中，∵tan∠CEH＝，∴＝tan17°＝0.30，∴x＝25.2，即CH＝25.2（m），∴CD＝CH+DH＝25.2+1.6＝26.8（m），答：古塔CD的高度为26.8m；（2）原因：小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离．（3）如图，在EH上取一点P使∠CPH＝35°，则PG＝30，在Rt△CHP中，CH＝25.2，∴PH＝＝＝36，∴GH＝PH﹣PG＝6，∴该古塔底面圆直径的长度＝2×6＝12（m）．故答案为：12．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．【过关检测】一、填空题1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在一笔直的海岸线上有相距的两个观测站，站在站的正东方向上，从站测得船在北偏东的方向上，从站测得船在北偏东的方向上，则船到海岸线的距离是________．

【答案】【分析】过点C作CD⊥AB于点D，然后根据等腰三角形和判定和性质以及解直角三角形的应用即可求出答案．【详解】过点C作CD⊥AB于点D，

根据题意得：∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=4km，在Rt△CBD中，∴CD=BC•sin60°()∴船C到海岸线的距离是．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用－方向角问题，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．2．（2023·湖北黄石·校考一模）永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是_____米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）【答案】74【分析】首先证明BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由∠A＝30°，推出AD＝CD，由此构建方程即可解决问题．【详解】如图，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°，∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AD＝CD，∴52+x＝x，∴x＝≈74（m），故答案为74，【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．二、解答题3．（2023秋·九年级单元测试）如图所示，在一个坡度的山坡的顶端处竖直立着一个电视发射塔．为测得电视发射塔的高度，小明站在山脚的平地处测得电视发射塔的顶端的仰角为40°，若测得斜坡长为米，点到点的水平距离米，求电视发射塔的高度．（参考数值：，，，结果保留整数）【答案】85米【分析】如图，根据坡比设BE=x，EC=2x，在RtBEC中，根据勾股定理列出关于x的方程求出BE和CE；在中，利用正切的定义求出AE问题得解．【详解】解：如图，作交DC的延长线于点，在中，∵，设，则，，根据勾股定理得，解得，∴（米），（米），∴（米），在中，∵，∴，∴（米），答：电视发射塔的高度约为85米．【点睛】本题考查了坡比的概念、仰角概念及锐角三角函数定义，要求学生能借助仰角、坡比构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．4．（2022春·北京东城·八年级校考阶段练习）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．【答案】15﹣5【分析】过点B作BM⊥FD于点M，解Rt△ACB求出BC，在Rt△BMC中求出CM，BM，推出BM=DM，即可求得答案．【详解】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝AC•tan60°＝10，∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°．∴BM＝BC•sin30°＝10×＝5，CM＝BC•cos30°＝10×＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质．关键是能通过解直角三角形求出线段CM，MD的长．5．（2022春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶测得处的俯角为，处的俯角为，乙在山下测得，之间的距离为100米．已知，，在同一水平面的同一直线上，求山高（结果保留根号）．【答案】米【分析】设，由题意可知，，CD=100米，即可得，，在中，由可得，由此即可求得，即可得山高为米．【详解】解：设，由题意可知：，，∴∴，在中，∴，∴解得：，∴山高为米．【点睛】本考查了解直角三角形的应用，正确构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解决问题的关键．6．（2021·贵州铜仁·统考三模）如图，小明去观赏一棵千年古银杏树，当走到点A处时，测得银杏树CD的仰角为30°，当向树前进40米到B处时，又测得树顶端C的仰角为75°．请求出这棵千年古银杏树的高．（结果精确到0.1米）．（参考数据：tan75°＝2+，＝1.732，＝1.414）【答案】27.3米【分析】通过解直角△ACD得到：AD=CD；通过解直角△BCD得到BD=【详解】设CD=x米．在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴tan30°=，∴AD=x，∴BD=AD-AB=x-40，在Rt△BCD中，tan75°=，∴2+=，解得x≈27.3，答：这棵千年古银杏树的高为27.3米．【点睛】此题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．7．（2021秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点处测得小岛在北偏东方向，之后轮船继续向正东方向行驶到达处，这时小岛在船的北偏东方向海里处．（1）求轮船从处到处的航速．（2）如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？【答案】（1）海里/小时．（2）小时．【分析】（1）过作，利用特殊三角函数解直角三角形，分别求得OC、BC、AC的长，进而可求得AB的长，再根据速度=路程÷时间解答即可；（2）如图，根据题意可判断△OCD为等腰直角三角形，则CD=OC，进而可得BD的长，再由时间=路程除速度求解即可．【详解】（1）过作，由题意得海里，，，（海里），（海里），（海里），（海里），速度：（海里/小时）．（2）如图，由题意，，点在的东南方向，∴△OCD为等腰直角三角形，∴（海里），（海里），（小时），经过小时后到达．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，理解方位角的概念，熟练运用三角函数解直角三角形是解答的关键．8．（2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌，小明在斜坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿斜坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为，已知斜坡的坡度，米，米，求宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：，，【答案】宣传牌的高度为2米．【分析】过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、C，则CF=EG，CG=EF，然后在、、中解直角三角形即可．【详解】解：过分别作、的垂线，设垂足为、，则，，在中，斜坡的坡度，米，设米，米，，，米，米，在中，，米，（米），在中，（米），（米）．答：宣传牌的高度为2米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，正确作出辅助线、构建直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．9．（2023春·湖南永州·九年级统考期中）如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到达点B，测得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛离地面1.6m，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程．【答案】出塔的高度DE为131.6m．过程见解析．【分析】先根据等腰三角形的判定可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据线段的和差即可得．【详解】解：由题意得：，，，，，在中，，，即塔的高度DE为．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形的外角性质、直角三角形的性质，线段和差等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．10．（2022·河南周口·周口市第一初级中学校考模拟预测）（如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少米？（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：，以上结果均保留到小数点后两位）【答案】（1）1.66米；（2）这样改造能行．【分析】（1）滑滑板增加的长度实际是（AD﹣AB）的长．在Rt△ABC中，通过解直角三角形求出AC的长，进而在Rt△ACD中求出AD的长得解；（2）分别在Rt△ABC、Rt△ACD中求出BC、CD的长，即可求出BD的长，进而可求出改造后滑滑板前方的空地长．若此距离大于等于3米则这样改造安全，反之则不安全．【详解】（1）在Rt△ABC中，，∴，Rt△ACD中，，，（米）答：改善后滑滑板会加长1.66米；（2）Rt△ACD中，，，∵．∴这样改造能行．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，在直角三角形中正确利用三角函数，特别是特殊角的三角函数值是解题的关键．11．（2023春·江苏南京·九年级南京市第一中学校考阶段练习）如图1是某商场从一楼到二楼的自动扶梯，图2是侧面示意图，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，点C在MN上，且位于自动扶梯顶端B点的正上方，BC⊥MN．测得AB＝10米，在自动扶梯底端A处测得点C的仰角为50°，点B的仰角为30°，求二楼的层高BC（结果保留根号）（参考数据：sin50°＝0.77，cos50°＝0.64，tan50°＝1.20）【答案】米【分析】延长CB交PQ于点D，在Rt△ADB中，求出BD，AD的长，然后在直角△CDA中利用三角函数即可求得CD的长，则BC即可得到．【详解】解：延长CB交PQ于点D．∵MN∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ．在Rt△ABD中，∵AB＝10米，∠BAD＝30°，∴（米），（米），在Rt△CDA中，∠CDA＝90°，∠CAD＝50°，∴（米），∴（米）．【点睛】本题考查仰角和坡度的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．12．（2023·广东·模拟预测）某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图所示，测得树底部中心到斜坡底的水平距离为.在阳光下某一时刻测得米的标杆影长为，树影落在斜坡上的部分.已知斜坡的坡比i=1：，求树高.