2024秋高中数学第一章导数及其应用1.1.2导数的概念学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE6-1.1.2导数的概念自主预习·探新知情景引入中国高速铁路，常被简称为“中国高铁”．中国是世界上高速铁路发展最快、系统技术最全、集成实力最强、运营里程最长、运营速度最快、在建规模最大的国家．同学们，高速列车，风驰电掣，咆哮而过，怎样确定它的瞬时速度？怎样探讨它的速度与路程的关系呢？新知导学1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．若物体运动的路程与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均改变率eq\f(ft0＋Δt－ft0,Δt)趋近于__常数__，我们就把这个__常数__叫做t0时刻的瞬时速度．即v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝__eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt)__.故瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时改变率．2．导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时改变率是eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝__eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)__.预习自测1．已知物体的运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的单位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为(D)A．3m/s B．2m/sC．1m/s D．0m/s[解析]ΔS＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－4(Δt)2，∴eq\f(ΔS,Δt)＝eq\f(－4Δt2,Δt)＝－4Δt，∴v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(ΔS,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(－4Δt)＝0.∴物体在t＝2s时的瞬时速度为0m/s.2．设f(x)＝2ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于(C)A．2 B．－2C．1 D．－1[解析]f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(x→1))eq\f(fx－f1,x－1)＝eq\o(lim,\s\do4(x→1))2a＝2a＝2.∴a＝1.3．设函数f(x)可导，则eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,3Δx)等于(C)A．f′(1) B．3fC．eq\f(1,3)f′(1) D．f′(3)[解析]原式＝eq\f(1,3)eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1,3)f′(1)．4．由导数的定义可求得，函数f(x)＝x2－2x在x＝1处的导数f′(1)＝__0__.[解析]f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1＋Δx2－21＋Δx＋1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))Δx＝0.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶瞬时速度典例1已知质点M按规律s＝2t2＋3做直线运动．(位移单位：cm，时间单位：s)(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求eq\f(Δs,Δt)；(2)当t＝2，Δt＝0.001时，求eq\f(Δs,Δt)；(3)求质点M在t＝2时的瞬时速度．[思路分析]先求Δs，Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝2(t＋Δt)2＋3－(2t2＋3)＝4t·Δt＋2(Δt)2，再求eq\f(Δs,Δt)，最终代值，Δt越接近于0，eq\f(Δs,Δt)就越接近某时刻的瞬时速度．[解析]eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st＋Δt－st,Δt)＝eq\f(2t＋Δt2＋3－2t2＋3,Δt)＝4t＋2Δt.(1)当t＝2，Δt＝0.01时，eq\f(Δs,Δt)＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)．(2)当t＝2，Δt＝0.001时，eq\f(Δs,Δt)＝4×2＋2×0.001＝8.002(cm/s)．(3)v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(4t＋2Δt)＝4t＝4×2＝8(cm/s)．『规律总结』求物体在时刻t0的瞬时速度的一般步骤是：首先要求出平均速度，然后求解当时间增量Δt趋近于零时平均速度所趋向的那个定值，这个定值即为物体在t0时刻的瞬时速度．┃┃跟踪练习1__■某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t3－2表示，则此物体在t＝1s时的瞬时速度(单位：m/s)为(B)A．1 B．3C．－1 D．0[解析]由s(t)＝t3－2，得s′(t)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(t＋Δt3－2－t3－2,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))3t2＋3t·Δt＋Δt2＝3t2，所以s′(1)＝3.则物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.故选B．命题方向❷利用定义求函数在某点处的导数典例2依据导数定义求函数y＝x2＋eq\f(1,x)＋5在x＝2处的导数．[思路分析]依据导数的定义求导数是求函数导数的基本方法．[解析]当x＝2时，Δy＝(2＋Δx)2＋eq\f(1,2＋Δx)＋5－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(22＋\f(1,2)＋5))＝4Δx＋(Δx)2＋eq\f(－Δx,22＋Δx)，所以eq\f(Δy,Δx)＝4＋Δx－eq\f(1,4＋2Δx)，所以y′|x＝2＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋Δx－\f(1,4＋2Δx)))＝4＋0－eq\f(1,4＋2×0)＝eq\f(15,4).『规律总结』用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均改变率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；(3)求极限eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).┃┃跟踪练习2__■求函数y＝x＋eq\f(1,x)在x＝1处的导数．[解析]因为Δy＝(1＋Δx)＋eq\f(1,1＋Δx)－(1＋1)＝Δx＋eq\f(1,1＋Δx)－1，所以eq\f(Δy,Δx)＝1－eq\f(1,1＋Δx)，所以eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(1－eq\f(1,1＋Δx))＝0.学科核心素养导数的应用求物体的初速度，即求物体在t＝0时刻的速度，很简单误认为v0＝0，有些函数表达式刻画的直线运动并不肯定是由静止起先的直线运动．典例3子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速运动s＝eq\f(1,2)at2，假如它的加速度是a＝5×105m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．[解析]运动方程为s＝eq\f(1,2)at2.因为Δs＝eq\f(1,2)a(t＋Δt)2－eq\f(1,2)at2＝atΔt＋eq\f(1,2)a(Δt)2，所以eq\f(Δs,Δt)＝at＋eq\f(1,2)aΔt.所以eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝at.由题意知，a＝5×105m/s2，t＝1.6×10所以at＝8×102＝800(m/s)，即子弹射出枪口的瞬时速度为800m/s.『规律总结』利用导数解决问题的关键是建立数学模型，特殊是对有关物理问题肯定要将其物理意义与导数联系起来．由导数的定义知，导数可以描述任何事物的瞬时改变率，它在现实生活中的作用是比较广泛的．┃┃跟踪练习3__■若一物体运动方程如下：(位移s：m，时间t：s)s＝f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(29＋3t－32，0≤t<3，,3t2＋2，t≥3.))求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．[思路分析]解答本题可先依据要求的问题选好运用的函数解析式，再依据求平均改变率和瞬时改变率的方法求解平均速度和瞬时速度．[解析](1)∵物体在t∈[3,5]内的时间改变量为Δt＝5－3＝2，位移改变量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵物体在t＝0旁边位移的平均改变率为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f0＋Δt－f0,Δt)＝eq\f(29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32,Δt)＝3Δt－18，∴物体在t＝0处位移的瞬时改变率为eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(3Δt－18)＝－18，即物体的初速度v0＝－18m/s.(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为物体在t＝1处位移的瞬时改变率．∵物体在t＝1旁边位移的平均改变率为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f1＋Δt－f1,Δt)＝eq\f(29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－32,Δt)＝3Δt－12，∴物体在t＝1处位移的瞬时改变率为eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(3Δt－12)＝－12，即物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s.易混易错警示不能精确理解导数的概念致误典例4若f′(x0)＝2，则eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(fx0－k－fx0,2k)等于(A)A．－1 B．－2C．1 D．eq\f(1,2)[错解]选C．∵f′(x0)＝2，∴eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(fx0＋k－fx0,k)＝2，∴eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(fx0－k－fx0,2k)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(fx0－fx0－k,－k)＝eq\f(1,2)×2＝1.[辨析]错解没有弄明白自变量的增量与函数的增量的含义及对应关系．当函数增量Δy＝f(x0)－f(x0－k)时，自变量的增量Δx＝x0－(x0－k)＝k，而不是－k.[正解]eq\o