2024秋高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布达标练习含解析新人教A版选修2-3

PAGE4-其次章随机变量及其分布2.4正态分布A级基础巩固一、选择题1．已知随机变量X听从正态分布N(a，4)，且P(X>1)＝0.5，则实数a的值为()A．1B．2C．3D．4解析：随机变量X听从正态分布N(a，4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5，可知μ＝a＝1.答案：A2．已知随机变量ξ听从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝()A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2解析：由P(ξ＜4)＝0.8，知P(ξ＞4)＝P(ξ＜0)＝0.2，故P(0＜ξ＜2)＝0.3，故选C.答案：C3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)听从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为()[附：若随机变量ξ听从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%]A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%解析：由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.6826，P(－6＜ξ＜6)＝0.9544，故P(3＜ξ＜6)＝eq\f(P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3）,2)＝eq\f(0.9544－0.6826,2)＝0.1359＝13.59%.答案：B4．已知随机变量X听从正态分布N(2，σ2)，P(X≤4)＝0.84，则P(0≤X≤2)＝()A．0.64 B．0.16 C．0.32 D．0.34解析：因为随机变量X听从正态分布N(2，σ2)，μ＝2，所以对称轴是x＝2，P(X≤4)＝0.84，所以P(X>4)＝P(X<0)＝0.16，所以P(0≤X≤2)＝0.5－0.16＝0.34.答案：D5．设两个正态分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1>0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有()A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2;σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2.答案：A二、填空题6．已知随机变量ξ听从正态分布，且落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.答案：0.27．某地区成年男性的身高X(cm)近似听从N(175，36)，则该地区成年男性的身高不在(157，193)内的人数约占________．解析：因为X～N(175，36)，所以μ＝175，σ＝6.所以P(175－3×6<X<175＋3×6)＝P(157<X<193)＝99.7%.所以该地区成年男性的身高不在(157，193)内的人数约占1－99.7%＝0.3%.答案：0.3%8．若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________．解析：由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x＝10为对称轴知，P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4，即P(10≤ξ≤11)＝0.2，又P(ξ≥10)＝0.5，所以P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.答案：0.3三、解答题9．已知随机变量X～N(μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P(72<X≤88)＝0.6826.(1)求参数μ，σ的值；(2)求P(64<X≤80)．解：(1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80.又P(72<x≤88)＝0.6826.结合P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，可知σ＝8.(2)因为P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝P(64<X≤96)＝0.9544.又因为P(X≤64)＝P(X>96)，所以P(X≤64)＝eq\f(1,2)(1－0.9544)＝eq\f(1,2)×0.0456＝0.0228.由μ＝80，知P(X≤80)＝0.5，所以P(64<X≤80)＝P(X≤80)－P(X≤64)＝0.5－0.0228＝0.4772.10.已知某地农夫工年均收入ξ(单位：元)听从正态分布，其密度函数图象如图所示．(1)写出此地农夫工年均收入的概率密度曲线函数式；(2)求此地农夫工年均收入在8000～8500元的人数百分比．解：设农夫工年均收入ξ～N(μ，σ2)，结合图象可知μ＝8000，σ＝500.(1)此地农夫工年均收入的概率密度曲线函数式P(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)＝eq\f(1,500\r(2π))e－eq\f(（x－8000）2,2×5002)，x∈(－∞，＋∞)．(2)因为P(7500<ξ≤8500)＝P(8000－500<ξ≤8000＋500)＝0.6826.所以P(8000<ξ≤8500)＝eq\f(1,2)P(7500<ξ≤8500)＝0.3413，即农夫工年均收入在8000～8500元的人数占总体的34.13%.B级实力提升1．正态分布N(1，9)在区间(2，3)和(－1，0)上取值的概率分别为m，n，则()A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．不确定解析：正态分布N(1，9)的曲线关于x＝1对称，区间(2，3)与(－1，0)到对称轴距离相等，故m＝n.答案：C2．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X听从正态分布N(60，102)，考生共10000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成果在全部考生中的名次是第________名．解析：依题意，P(60－20＜X≤60＋20)＝0.9544，P(X＞80)＝eq\f(1,2)(1－0.9544)＝0.0228，故成果高于80分的考生人数为10000×0.0228＝228(人)．所以该生的综合成果在全部考生中的名次是第229名．答案：2293．一投资者要在两个投资方案中选择一个，这两个方案的利润ξ(万元)分别听从正态分布N(8，32)和N(3，22)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应选择哪个方案？解：由题意知，只需求出两个方案中“利润超过5万元”的概率哪个大，大的即为最佳选择方案．对于第一套方案ξ～N(8，32)，则μ＝8，σ＝3.于是P(8－3<ξ≤8＋3)＝P(5<ξ≤11)≈0.6826.所以P(ξ≤5)＝eq\f(1,2)[1－P(5<ξ≤11)]≈eq\f(1,2)(1－0.6826)＝0.1587.所以P