2024秋高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优生问题举例达标练习含解析新人教A版选修2-2

PAGE2-第一章导数及其应用1.4生活中的优生问题举例A级基础巩固一、选择题1．正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()A.eq\r(3,V) B.eq\r(3,2V) C．2eq\r(3,V) D.eq\r(3,4V)解析：设底面边长为a，高为h，则V＝Sh＝eq\f(\r(3),4)a2h，所以h＝eq\f(4V,\r(3)a2)＝eq\f(4\r(3)V,3a2)，则表面积为S＝3ah＋2×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),2)a2＋eq\f(4\r(3)V,a)则S′＝eq\r(3)a－eq\f(4\r(3)V,a2)，令S′＝eq\r(3)a－eq\f(4\r(3)V,a2)＝0，可得eq\r(3)a＝eq\f(4\r(3)V,a2)，即a＝eq\r(3,4V).答案：D2．若一个球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为()A．2πr2 B．πr2 C．4πr2 D.eq\f(1,2)πr2解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，侧面积为S.则R＝rcosθ，l＝2rsinθ，所以S＝2πrcosθ·2rsinθ＝4πr2sinθcosθ，S′＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝4πr2cos2θ，令S′＝0，得θ＝eq\f(π,4).当θ＝eq\f(π,4)，即R＝eq\f(\r(2),2)r时，S最大且Smax＝2πr2.答案：A3．某出版社出版一读物，一页纸上所印文字占去150cm2，上、下要留1.5cm空白，左、右要留1cm空白，出版商为节约纸张，应选用的尺寸为()A．左右长12cm，上下长18cmB．左右长12cm，上下长19cmC．左右长11cm，上下长18cmD．左右长13cm，上下长17cm解析：设所印文字区域的左右长为xcm，则上下长为eq\f(150,x)cm，所以纸张的左右长为(x＋2)cm，上下长为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(150,x)＋3))cm，所以纸张的面积S＝(x＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(150,x)＋3))＝3x＋eq\f(300,x)＋156.所以S′＝3－eq\f(300,x2)，令S′＝0，解得x＝10.当x>10时，S单调递增；当0<x<10时，S单调递减．所以当x＝10时，Smin＝216(cm2)，此时纸张的左右长为12cm，上下长为18cm.故当纸张的边长分别为12cm，18cm时最节约．答案：A4．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，,90090，x>390，))则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A．150B．200C．250D．300解析：由题意得，总利润P(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，,70090－100x，x>390，))令P′(x)＝0，得x＝300，经检验当x＝300时总利润最大，故选D.答案：D5．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()A.eq\f(\r(3),3)cm B.eq\f(10\r(3),3)cmC.eq\f(16\r(3),3)cm D.eq\f(20\r(3),3)cm解析：设圆锥的高为x，则底面半径为eq\r(202－x2)，其体积为V＝eq\f(1,3)πx(400－x2)，0<x<20，V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝eq\f(20\r(3),3).当0<x<eq\f(20\r(3),3)时，V′＞0；当eq\f(20\r(3),3)<x<20时，V′<0，所以当x＝eq\f(20\r(3),3)时，V取最大值．答案：D二、填空题6．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．解析：由题设知y′＝x2－39x－40，令y′>0，解得x>40或x<－1，故函数y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x(x>0)在[40，＋∞]上递增，在(0，40)上递减．所以当x＝40时，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.答案：407．做一个无盖的圆柱体水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．解析：设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，所以L＝eq\f(27,R2)，要运用料最省，只需使圆柱表面积最小，因为S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋πeq\f(54,R)(R>0)，所以S表′(R)＝2πR－eq\f(54π,R2)，令S表′(R)＝0，得R＝3，所以当R＝3时，S表最小．答案：38．某公司一年购买某种货物400吨，每次购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x＝________．解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝eq\f(400,x)，所以总运费与总存储费之和(单位：万元)f(x)＝4n＋4x＝eq\f(1600,x)＋4x，f′(x)＝4－eq\f(1600,x2)，令f′(x)＝0，解得x＝20(－20舍去)，当0<x<20时，f′(x)<0，当20<x≤400时，f′(x)>0.所以x＝20是函数f(x)的微小值点，也是最小值点，故当x＝20时，运费与总存储费之和最小．答案：20三、解答题9.如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于始终线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？解：设C点距D点xkm，则AC＝50－x(km)，所以BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(x2＋402)(km)．又设总的水管费用为y元，依题意，得y＝3a(50－x)＋5aeq\r(x2＋402)(0<x<50)．y′＝－3a＋eq\f(5ax,\r(x2＋402)).令y′＝0，解得x＝30.在(0，50)上，y只有一个微小值点，依据问题的实际意义，函数在x＝30km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．故供水站建在A，D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．10.一个帐篷，它下部的形态是高为1m的正六棱柱，上部的形态是侧棱长为3m的正六棱锥(如图)．问当帐篷的顶点O究竟面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为xm(1＜x＜4)，底面正六边形的面积为Sm2，帐篷的体积为Vm3.则由题设可得正六棱锥底面边长为eq\r(32－（x－1）2)＝eq\r(82＋2x－x2)(m)，于是底面正六边形的面积为S＝6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(m2)，所以帐篷的体积为V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(x－1)＋eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)（x－1）＋1))＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)(m3)，求导数，得V′＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.当1<x<2时，V′＞0；当2<x<4时，V′<0.所以当x＝2时，V最大．即当OO1为2m时，帐篷的体积最大．B级实力提升1．某厂要围建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为()A．32m，16m B．30m，15mC．40m，20m D．36m，18m解析：设建堆料场与原墙平行的一边边长为xm，其他两边边长为ym，则xy＝512，堆料场的周长l＝x＋2y＝eq\f(512,y)＋2y(y>0)，令l′＝－eq\f(512,y2)＋2＝0，解得y＝16(另一负根舍去)，当0<y<16时，l′<0；当y>16时，l′>0，所以当y＝16时，函数取得微小值，也就是最小值，此时x＝eq\f(512,16)＝32.答案：A2．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD＝x，则点C坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0))，点B坐标为(eq\f(x,2)，1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(2))，所以矩形ACBD的面积S＝f(x)＝x·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))\s\up12(2)))＝－eq\f(x3,4)＋x，x∈(0，2)．由f′(x)＝－eq\f(3,4)x2＋1＝0，得x1＝－eq\f(2\r(3),3)(舍)，x2＝eq\f(2\r(3),3)，所以x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))时，f′(x)>0，f(x)是递增的，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2))时，f′(x)<0，f(x)是递减的，所以当x＝eq\f(2\r(3),3)时，f(x)取最大值eq\f(4\r(3),9).答案：eq\f(4\r(3),9)3．时下，网校教学越来越受到广高校生的宠爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满意的关系式y＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，其中2<x<6，m为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等全部开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数)．解：(1)因为x＝4时，y＝21，代入关系式y＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，得eq\f(m,2)＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y＝eq\f(10,x－2)＋4(x－6)2，所以每日销售套题所获得的利润f(x)＝(x－2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(10,x－2)＋4（x－6）2))＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2<x<6)，从而f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2<x<6)．令f′(x)＝