2024秋高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1命题课时作业含解析新人教A版选修2-1

PAGE1-第一章1.11.1.1请同学们仔细完成练案[1]A级基础巩固一、选择题1．下列语句是命题的个数为(C)①{0}∈N；②他长得很高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.A．0 B．1C．2 D．3[解析]①④是命题，②③不是命题．地球上的四大洋是不完整的句子．2．语句“若a>1，则函数f(x)＝ax是增函数”(B)A．不是命题B．是真命题C．是假命题D．是命题，但真假与x的取值有关[解析]当a>1时，指数函数f(x)＝ax是增函数，故“若a>1，则函数f(x)＝ax是增函数”是真命题．3．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是(B)A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④[解析]①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B．4．(2024·山东潍坊高二期末)已知a，b，m∈R，则下列说法正确的是(D)A．若a>b，则eq\r(a)>eq\r(b)B．若a<b，则am2<bm2C．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，则a>bD．若a3>b3，则a>b[解析]选项A中，a>b得不出eq\r(a)>eq\r(b)，比如，a＝4，b＝－2时；选项B中，m＝0时，a<b得不出am2<bm2；选项C中，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)得不出a>b，比如，a＝－2，b＝4；选项D中，∵y＝x3是增函数，∴a3>b3得出a>b.故选D．二、填空题5．(1)三角形的三个内角的和等于180°.(2)2024年奥运会的举办城市是英国伦敦．(3)这是一棵大树呀！(4)实数的平方是正数．(5)能被4整除的数肯定能被2整除．上述语句中是命题的序号是__(1)(2)(4)(5)__.[解析](3)是感叹句不是命题，(1)(2)(4)(5)是命题．6．设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是__0__.[解析]∵垂直于同始终线的两条直线不肯定平行，∴命题①不正确；∵与同始终线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确；∵与同始终线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；∵当两平面的相交直线为直线b时，两平面内分别可以作出直线a与c，即直线a与c不肯定共面，∴命题④不正确．综上所述，真命题的个数为0.三、解答题7．推断下列语句中哪些是命题，是命题的并推断真假．(1)末位是0的整数能被5整除；(2)△ABC中，若∠A＝∠B，则sinA＝sinB；(3)余弦函数是周期函数吗？(4)求证：当x∈R时，方程x2＋x＋2＝0无实根．[解析](1)是命题，真命题．(2)是命题，真命题．(3)、(4)不是命题．8．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并推断真假．(1)对角线相等的四棱柱是长方体；(2)整数的平方是非负整数；(3)能被10整除的数既能被2整除，也能被5整除．[解析](1)可写为：“若四棱柱的对角线相等，则它是长方体”，这个命题是假命题，如底面是等腰梯形的直四棱柱．(2)可写为：“若一个数是整数，则它的平方是非负整数”，真命题．(3)可写为：“若一个数能被10整除，则它既能被2整除，也能被5整除”，真命题．B级素养提升一、选择题1．“若x2－2x－8<0，则p”为真命题，那么p是(A)A．{x|－2<x<4} B．{x|2<x<4}C．{x|x>4或x<－2} D．{x|x>4或x<2}[解析]x2－2x－8<0解得－2<x<4，∴p是{x|－2<x<4}，故选A．2．(2024－2024学年南康中学平川中学信丰中学联考)设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：(1)若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；(2)若m⊂a，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；(3)m⊥β，n⊥α，m⊥n⇒α⊥β；(4)若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中正确的命题是(D)A．(1)(3) B．(2)(3)C．(2)(4) D．(3)(4)[解析](1)若α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能相交，也可能平行，所以不正确．(2)若m⊂a，n⊂α，m∥β，n∥β，当直线m，n相交时，才能得出α∥β，所以不正确．(3)若m⊂α(或n⊂β)时明显有α⊥β成立．当m⊄α且n⊄β时，明显α，β相交，设α∩β＝CD，过直线m上一点N作n′∥n，则n′⊥α.因为m⊥β，所以m⊥CD，同理n′⊥CD.设m和β的交点是A，n′和α的交点是β，则CD⊥平面NAB.将平面NAB延展与直线CD相交于点E，连接AE，BE，则有BE⊥CD，AE⊥CD，所以∠BEA为二面角α－CD－β的平面角．明显有∠BEA＝90°，即α⊥β；所以正确．(4)因为α∩β＝l，l⊂α，l⊂β，又l∥γ，β∩γ＝m，依据线面平行的性质有l∥m.同理再由γ∩α＝n，得l∥n.所以m∥n，所以正确．故选D．3．(多选题)下面的命题中是假命题的是(ACD)A．y＝sin2x的最小正周期为2πB．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则eq\f(c,a)>0C．假如M⊆N，那么M∪N＝MD．在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0，则△ABC为锐角三角形[解析]y＝sin2x＝eq\f(1－cos2x,2)，T＝eq\f(2π,2)＝π，故A为假命题；当M⊆N时，M∪N＝N，故C为假命题；当eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0时，向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角为锐角，B为钝角，故D为假命题．二、填空题4．给出下列四个命题：①若a>b>0，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；②若a>b>0，则a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)；③若a>b>0，则eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)；④若a>0，b>0，且2a＋b＝1，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的最小值为9.其中正确命题的序号是__②④__.(把你认为正确命题的序号都填上)[解析]①在a>b>0两端同乘以eq\f(1,ab)可得eq\f(1,b)>eq\f(1,a)，故①错；②由于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,b)))＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ab)))>0，故②正确；③由于eq\f(2a＋b,a＋2b)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,a＋2bb)<0，即eq\f(2a＋b,a＋2b)<eq\f(a,b)，故③错；④由eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))·(2a＋b)＝5＋eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b)≥5＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(2a,b))＝9，当且仅当eq\f(2b,a)＝eq\f(2a,b)，即a＝b＝eq\f(1,3)时取得等号，故④正确．5．(2024·北京文改编)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：条件为__②③__，结论为__①__.[解析]②③⇒①.证明如下：∵m∥α，∴依据线面平行的性质定理，知存在n⊂α，使得m∥n.又∵l⊥α，∴l⊥n，∴l⊥m.①③⇒②.证明略．三、解答题6．设p：关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，假如p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围．[解析]若p真，则0<a<1，若p假，则a≥1或a≤0.又若q真，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝1－4a2<0))⇒a>eq\f(1,2).若q假，a≤eq\f(1,2)，又p和q有且仅有一个正确，当p真q假时，0<a≤eq\f(1,2).当p假q真时，a≥1，故综上所述得a∈(0，eq\f(1,2)]∪[1，＋∞)．7．已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：0<x<4，若命题p是真命题，命题