2024秋高中数学第一章常用逻辑用语章末整合提升学案含解析新人教A版选修2-1

PAGE1-章末整合提升网络构建·理脉落学问整合·悟素养1．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若¬p，则¬q逆否命题若¬q，则¬p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)假如p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)分类：①p是q的充要条件：p⇒q且q⇒p，记作p⇔q；②p是q的充分不必要条件：p⇒q，qeq\o(⇒,/)p；③p是q的必要不充分条件：q⇒p，peq\o(⇒,/)q；④p是q的既不充分也不必要条件：peq\o(⇒,/)q且qeq\o(⇒,/)p.3．简洁的逻辑联结词(1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q，可得p∧q，p∨q，¬p.(2)命题p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与¬p必定是一真一假．4．全称量词与存在量词(1)全称量词与全称命题．全称量词用符号“∀”表示．全称命题用符号简记为∀x∈M，p(x)．(2)存在量词与特称命题．存在量词用符号“∃”表示．特称命题用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．5．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，¬p(x)专题突破·启智能专题命题及其真假推断可以推断真假的陈述句为命题、反问句也是命题，但疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．典例1下列语句哪些是命题，是命题的推断其真假．(1)方程x2－2x＝0的根是自然数；(2)sin(α＋β)＝sinα＋sinβ(α，β是随意角)；(3)垂直于同一个平面的两个平面平行；(4)函数y＝12x＋1是单调增函数；(5)非典型肺炎是怎样传染的？(6)奇数的平方仍是奇数；(7)好人一生平安！(8)解方程3x＋1＝0；(9)方程3x＋1＝0只有一个解；(10)3x＋1＝0.[解析](1)(2)(3)(4)(6)(9)都是命题，其中(1)(4)(6)(9)为真命题．『规律总结』(5)是疑问句，(7)是感叹句，(8)是祈使句都不是命题，(10)中由于x的值未给，故无法推断此句的真假，因而不是命题．典例2推断命题：“若a＋b≠7，则a≠3，且b≠4”的真假．[解析]其逆否命题为：“若a＝3或b＝4，则a＋b＝7”．明显这是一个假命题，∴原命题为假．『规律总结』复合命题的真假推断是个难点，当干脆推断不易着手时，可转为推断它的等价命题——逆否命题，这是一种重要的处理技巧．专题四种命题的关系1．留意：若p，则q，不能写作“p⇒q”，因为若p，则q真假未知，而“p⇒q”是说“若p，则q”是一个真命题．2．原命题与其逆否命题等价，原命题的逆命题与原命题的否命题也等价．从而四种命题中有两对同真同假．3．互逆或互否的两个命题不等价，其真假没有联系．典例3写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判定其真假：(1)∀n∈N，若n是完全平方数，则eq\r(n)∈N；(2)∀a，b∈R，假如a＝b，则a2＝ab；(3)对于平面对量a、b、c，若a·b＝a·c，则b＝c.[解析](1)逆命题：∀n∈N，若eq\r(n)∈N，则n是完全平方数．(真)否命题：∀n∈N，若n不是完全平方数，则eq\r(n)∉N.(真)逆否命题：∀n∈N，若eq\r(n)∉N，则n不是完全平方数．(真)(2)逆命题：∀a，b∈R，若a2＝ab，则a＝b.(假)否命题：∀a，b∈R，若a≠b，则a2≠ab.(假)逆否命题：∀a，b∈R，若a2≠ab，则a≠b.(真)(3)逆命题：对于平面对量a、b、c，若b＝c，则a·b＝a·c.(真)否命题：对于平面对量a、b、c，若a·b≠a·c，则b≠c.(真)逆否命题：对于平面对量a、b、c，若b≠c，则a·b≠a·c.(假)典例4写出下列命题的否定，并推断真假．(1)p：有些三角形是直角三角形；(2)p：方程2x＋1＝0有一负实根；(3)p：三角形的两边之和大于第三边；(4)p：存在实数q<0，使方程x2＋2x＋q＝0无实根．[解析](1)¬p：“没有一个三角形是直角三角形”．(假)(2)¬p：“方程2x＋1＝0无负实根”．(假)(3)¬p：“存在某个三角形，两边之和小于或等于第三边”．(假)(4)¬p：“对随意实数q<0，方程x2＋2x＋q＝0都有实数根”．(真)专题充分条件与必要条件1．充分条件、必要条件的判定问题始终是高考的热点，可以说历年来每年必考．这是因为一方面充分条件、必要条件很好地体现了数学上逻辑推理的纯粹性与完备性；另一方面是这一逻辑学问可以和本学科内的许多学问相联系、相结合．2．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：(1)充分不必要条件，即p⇒q，而qeq\o(⇒,/)p.(2)必要不充分条件，即peq\o(⇒,/)q，而q⇒p.(3)充要条件，既有p⇒q，又有q⇒p.(4)既不充分也不必要条件，既有peq\o(⇒,/)q，又有qeq\o(⇒,/)p.3．充分条件与必要条件的推断(1)干脆利用定义推断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．(条件与结论是相对的)(2)利用等价命题的关系推断：“p⇒q”的等价命题是“¬q⇒¬p”，即“若¬q⇒¬p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．(3)利用集合间的包含关系进行推断：假如条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若p⊇q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件．典例5“10a>10b”是“lga>lgb”的(B)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]由10a>10b得a>b，由lga>lgb可得a>b>0，故“10a>10b”是“lga>lg典例6已知直线y＝2x上一点P的横坐标为a，有两个点A(－1,1)、B(3,3)，那么使向量eq\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(PB,\s\up6(→))的夹角为钝角的一个充分不必要条件是(B)A．－1<a<2 B．0<a<1C．－eq\f(\r(2),2)<a<eq\f(\r(2),2) D．0<a<2[解析]由题设条件知P(a,2a∵eq\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(PB,\s\up6(→))的夹角为钝角，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))<0，∵eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－1－a,1－2a)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(3－a,3－2a)，∴(－1－a)(3－a)＋(1－2a)(3－2解得0<a<2，又∵eq\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(PB,\s\up6(→))方向相反时，a＝1，∴0<a<1或1<a<2，故选B．专题含逻辑联结词的命题1．逻辑联结词：在数学中，有时会运用一些联结词，如“或”“且”“非”．2．“p且q”记作p∧q；“p或q”记作p∨q；“非p”记作¬p.3．命题p∧q，p∨q和¬p的真假可以用下表来推断(即真值表)：pqp∧qp∨q¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真上述语句可以描述为：对于p∧q而言“一假必假”；对于p∨q而言“一真必真”；对于¬p而言“真假相反”．典例7设集合A＝{x|－2－a<x<a，a>0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则a的取值范围是(C)A．0<a<1或a>2 B．0<a<1或a≥2C．1<a≤2 D．1≤a≤2[解析]若p为真时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2－a<1<a，,a>0，))得a>1.若q为真时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2－a<2<a，,a>0，))得a>2.∵p∨q为真，p∧q为假，∴p，q中一真一假．当p真q假时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,0<a≤2，))⇒1<a≤2.当p假q真时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a≤1，,a>2，))无解．∴1<a≤2，故选C．专题全称命题与特称命题1．全称命题与特称命题含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．推断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，推断全称命题为假命题，只需举出反例．推断特称命题为真命题，只要找到一例即可，而推断特称命题为假时，要有严格的逻辑证明．2．含有一个量词的命题的否定这是高考考查的重点，对全称命题和特称命题的考查主要以考查它们的否定为主，多以客观题为主，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．典例8推断下列命题是全称命题还是特称命题，写出命题的否定，并推断其真假：(1)p：∀x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)≥0；(2)p：全部的正方形都是矩形；(3)p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋8≤0；(4)p：至少有一个实数x0，使xeq\o\al(3,0)＋1＝0.[解析](1)是全称命题，¬p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0＋eq\f(1,4)<0.因为对于随意的x，x2－x＋eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2≥0，所以¬p为假命题．(2)是全称命题，¬p：存在一个正方形，它不是矩形．正方形是特别的矩形，所以¬p为假命题．(3)是特称命题，¬p：∀x∈R，x2＋2x＋8>0.因为对于随意的x，x2＋2x＋8＝(x＋1)2＋7≥7>0，所以¬p为真命题．(4)是特称命题，¬p：∀x∈R，x3＋1≠0.因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以¬p为假命题．即时巩固一、选择题1．(2024·陕西汉中市汉台中学联考)命题“对随意x∈R，都有x2≥0”的否定为(D)A．对随意x∈R，都有x2<0B．不存在x∈R，都有x2<0C．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)≥0D．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)<02．已知a、b∈R，ab≠0，则“a>0，b>0”是“eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)”的(C)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]当a>0，b>0时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)当且仅当a＝b时取等号．反之，当eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)时，a，b同号时，即a>0，b>0或a<0，b<0而当a<0，b<0时，eq\f(a＋b,2)<eq\r(ab)∴a>0，b>0成立，∴选C．二、填空题3．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是__末位数字是0或5的整数，不能被5整除__；否命题是__末位数字不是0且不是5的整数，不能被5整除__.[解析]“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是“末位数字是0或5的整数，不能被5整除”，“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否命题是“末位数字不是0且不是5的整数，不能被5整除”．4．下列命题：①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；②“b2－4ac<0”是“不等式ax2＋bx＋c<0解集为R③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；④“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的必要而不充分条件．其中真命题的序号为__④__.[解析]