2024秋高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词课堂演练含解析新人教A版选修1-1

PAGE1-第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词A级基础巩固一、选择题1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使eq\f(1,x)＞2解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为eq\r(3)＋(－eq\r(3))＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有eq\f(1,x)＜0，所以D是假命题．答案：B2．下列命题中，是全称命题且是真命题的是()A．对随意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∀x∈R，eq\r(x2)＝xD．对数函数在定义域上是单调函数解析：A中的命题是全称命题，但是a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称命题，但是假命题；C中的命题是全称命题，但eq\r(x2)＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称命题且是真命题，故选D.答案：D3．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝xC．∃x0∉R，xeq\o\al(2,0)≠x0 D．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＝x0解析：全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＝x0”．答案：D4．下列命题中是假命题的是()A．∃x0∈R，lgx0＝0 B．∃x0∈R，tanx0＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0解析：对于A，当x＝1时，lgx＝0，正确；对于B，当x＝eq\f(π,4)时，tanx＝1，正确；对于C，当x<0时，x3<0，错误；对于D，∀x∈R，2x>0，正确．答案：C5．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x2－2ax)＜33x＋a2恒成立，则实数a的取值范围是()A．0＜a＜1 B．a＞eq\f(3,4)C．0＜a＜eq\f(3,4) D．a＜eq\f(3,4)解析：由题意，得－x2＋2ax＜3x＋a2，即x2＋(3－2a)x＋a2＞0恒成立，所以Δ＝(3－2a)2－4a2＜0，解得a＞eq\f(3,4).答案：B二、填空题6．已知命题p：∀x>2，x3－8>0，那么¬p是________．解析：命题p为全称命题，其否定为特称命题，则¬p：∃x>2，x3－8≤0.答案：∃x>2，x3－8≤07．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“全部正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．答案：①②③④8．下面四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；②∃x0∈Q，xeq\o\al(2,0)＝2；③∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1＝0；④∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．解析：x2－3x＋2＞0，Δ＝(－3)2－4×2＞0，所以当x＞2或x＜1时，x2－3x＋2＞0才成立，所以①为假命题．当且仅当x＝±eq\r(2)时，x2＝2，所以不存在x∈Q，使得x2＝2，所以②为假命题．对∀x∈R，x2＋1≠0，所以③为假命题.4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，所以④为假命题．所以①②③④均为假命题．答案：0三、解答题9．推断下列各命题的真假，并写出命题的否定．(1)有一个实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a＞0恒成立；(2)对随意实数x，不等式|x＋2|≤0恒成立；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．解：(1)方程x2－(a＋1)x＋a＝0的判别式Δ＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≥0，则不存在实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a＞0恒成立，所以原命题为假命题．它的否定：对随意实数a，不等式x2－(a＋1)x＋a＞0不恒成立．(2)当x＝1时，|x＋2|＞0，所以原命题是假命题．它的否定：存在实数x，使不等式|x＋2|＞0成立．(3)由一元二次方程解的状况，知该命题为真命题．它的否定：在实数范围内，全部的一元二次方程都有解．10．对于随意实数x，不等式sinx＋cosx>m恒成立，求实数m的取值范围．解：令y＝sinx＋cosx，则y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]．因为∀x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，所以只要m<－eq\r(2)即可，所以所求m的取值范围是(－∞，－eq\r(2))．B级实力提升1．已知命题p：∀b∈[0，＋∞]，f(x)＝x2＋bx＋c在[0，＋∞]上为增函数，命题q：∃x0∈Z，使log2x0>0，则下列命题为真命题的是()A．(¬p)∨(¬q) B．(¬p)∧(¬q)C．p∧(¬q) D．p∨(¬q)解析：f(x)＝x2＋bx＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2)))eq\s\up12(2)＋c－eq\f(b2,4)，对称轴为x＝－eq\f(b,2)≤0，所以f(x)在[0，＋∞]上为增函数，命题p为真命题，¬p为假命题，令x0＝4∈Z，则log2x0＝2>0，所以命题q是真命题，¬q为假命题，p∨(¬q)为真命题．故选D.答案：D2．已知命题“∃x0∈R，2xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋eq\f(1,2)≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．解析：由题意可得“对∀x∈R，2x2＋(a－1)x＋eq\f(1,2)＞0恒成立”是真命题，令Δ＝(a－1)2－4＜0，得－1＜a＜3.答案：(－1，3)3．若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对随意实数x恒成立，求实数m的取值范围．解：①当m＋1＝0即m＝－1时，原不等式为2x－6<0，不恒成立．②当m＋1≠0时，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al