2024秋高中数学第三章统计案例3.2独立性检验的基本思想及其初步应用达标练习含解析新人教A版选修2-3

PAGE1-第三章统计案例3.2独立性检验的基本思想及其初步应用A级基础巩固一、选择题1．下面是2×2列联表：变量y1y2总计x1a2173x222527总计b46100则表中a，b的值分别为()A．94，96B．52，50C．52，54D．54，52解析：因为a＋21＝73，所以a＝52，又a＋2＝b，所以b＝54.答案：C2．在探讨打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是()A．100个心脏病患者中至少有99人打鼾B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾C．100个心脏病患者中肯定有打鼾的人D．100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有解析：这是独立性检验，犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”．这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.依据概率的意义可知答案应选D.答案：D3．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采纳独立性检验法抽取2019人，计算发觉K2的观测值k≈6.723，则依据这一数据，市政府断言“市民收入与旅游欲望有关系”犯错误的概率不超过()A．0.005 B．0.05 C．0.025 D．0.01解析：因为K2的观测值k≈6.723>6.635，所以断言“市民收入与旅游欲望有关系”犯错误的概率不超过0.01.答案：D4．在一次独立性检验中，得出列联表如下：分类AA总计B100400500B90a90＋a总计190400＋a590＋a且最终发觉，两个分类变量A和B没有任何关系，则a的可能值是()A．720 B．360 C．180 D．90参考公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)解析：因为两个分类变量A和B没有任何关系，所以k＝eq\f(（590＋a）（100a－90×400）2,190×（400＋a）（90＋a）×500)<2.702，代入验证可知a＝360满意．答案：B5．通过随机询问110名性别不同的高校生是否爱好某项运动，得到如下表的列联表：喜好程度男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋b）（a＋c）（b＋d）)算得，k＝eq\f(110×（40×30－20×20）2,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是()A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：由k≈7.8及P(K2≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．答案：C二、填空题6．下列关于K2的说法中，正确的有________．①K2的值越大，两个分类变量的相关性越大；②若求出K2＝4＞3.841，则有95%的把握认为两个分类变量有关系，即有5%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；③独立性检验就是选取一个假设H0条件下的小概率事务，若在一次试验中该事务发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则做出拒绝H0的推断．解析：对于①，K2的值越大，只能说明我们有更大的把握认为二者有关系，却不能推断相关性大小，故①错误；依据独立性检验的概念和临界值表知②③正确．答案：②③7．某部门通过随机调查89名工作人员的休闲方式，了解读书和健身的人数，得到的数据如表：分类读书健身总计女243155男82634总计325789在犯错误的概率不超过________的前提下认为性别与休闲方式有关系．参考公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)解析：由列联表中的数据，得K2的观测值为k＝eq\f(89×（24×26－31×8）2,55×34×32×57)≈3.689>2.706，因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与休闲方式有关系．答案：0.108.某卫朝气构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有________的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．解析：先作出如下糖尿病患者与遗传列联表(单位：人)：家族糖尿病发病糖尿病不发病总计阳性家族史1693109阴性家族史17240257总计33333366依据列联表中的数据，得到K2的观测值为k＝eq\f(366×（16×240－17×93）2,109×257×33×333)≈6.067＞5.024.故我们有97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．答案：97.5%三、解答题9．为调查某地区老年人是否须要志愿者供应帮助，用简洁随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否须要志愿者男女须要4030不须要160270(1)估计该地区老年人中，须要志愿者供应帮助的老年人的比例；(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否须要志愿者供应帮助与性别有关？解：(1)调查的500位老年人中有70位须要志愿者供应帮助，因此该地区老年人中，须要志愿者供应帮助的老年人的比例的估计值为eq\f(70,500)＝14%.(2)由表中数据，得K2的观测值为k＝eq\f(500×（40×270－30×160）2,70×430×200×300)≈9.967.因为9.967＞6.635，所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否须要志愿者供应帮助与性别有关．10．某校推广新课改，在两个程度接近的班进行试验，一班为新课改班级，二班为非课改班级，经过一个学期的教学后对期末考试进行分析评价，规定：总分超过550(或等于550分)为优秀，550以下为非优秀，得到以下列联表：分类优秀非优秀总计一班3513二班1725总计(1)请完成列联表；(2)依据列联表的数据，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为推广新课改与总成果是否优秀有关系？参考数据：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)解：(1)2×2的列联表如下：分类优秀非优秀总计一班351348二班172542总计523890(2)依据列联表中的数据，得到K2的观测值k＝eq\f(90×（35×25－13×17）2,48×42×52×38)≈9.66>7.879，则说明能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为推广新课改与总成果是否优秀有关系．B级实力提升1．有两个分类变量x，y，其2×2列联表如下表．其中a，15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“x与y之间有关系”，则a的取值应为()变量y1y2x1a20－ax215－a30＋aA.5或6 B.6或7C．7或8 D．8或9解析：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为K2之间有关系，则K2＞2.706，而K2＝eq\f(65[a（30＋a）－（20－a）（15－a）]2,20×45×15×50)＝eq\f(13（65a－300）2,60×45×50)＝eq\f(13（13a－60）2,60)，要使K2＞2.706得a＞7.19或a＜2.04.又因为a＞5且15－a＞5，a∈Z，所以a＝8或9，故当a取8或9时在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“x与y之间有关系”．答案：D2．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪探讨，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：分类又发作过心脏病未发作过心脏病总计心脏搭桥手术39157196血管清障手术29167196总计68324392试依据上述数据计算K2＝________，比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别_________．解析：提出假设H0：两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别．依据列联表中的数据，可以求得K2的观测值．k＝eq\f(392×（39×167－29×157）2,68×324×196×196)≈1.78.当H0成立时，K2＝1.78，又K2＜2.072的概率为0.85.所以，不能否定假设H0.也就是不能做出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．答案：1.78不能做出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论3．某校数学课外爱好小组为探讨数学成果是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成果的平均分(采纳百分制)，剔除平均分在30分以下的学生后，共有男生300名，女生200名．现采纳分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成果分为6组，得到如下所示频数分布表．分数段[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100)男生人数39181569女生人数64510132(1)估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果看，数学成果与性别是否有关；(2)规定80分以上为优秀(含80分)，请你依据已知条件作出2×2列联表，并推断是否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为数学成果与性别有关．性别优秀非优秀总计男生女生总计100解：eq\o(x,\s\up6(－))男＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1＋95×0.15＝71.5，eq\o(x,\s\up6(－))女＝45×0.15＋55×0.1＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95×0.05＝71.5，因为eq\o(x,\s\up6(－))男＝eq\o(x,\s\up6(－))女，所以从男、女生各自的平均分来看，并不能推断数学成